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6. 已知 $|x + y - 3| + \sqrt{2x - y} = 0$，则 $x - y$ 的值为
-1
。答案
6. -1
解析
解：因为$|x + y - 3| ≥ 0$，$\sqrt{2x - y} ≥ 0$，且$|x + y - 3| + \sqrt{2x - y} = 0$，所以$\begin{cases}x + y - 3 = 0 \\ 2x - y = 0\end{cases}$。
解方程组：
由$2x - y = 0$得$y = 2x$，代入$x + y - 3 = 0$，得$x + 2x - 3 = 0$，$3x = 3$，$x = 1$。
则$y = 2x = 2×1 = 2$。
所以$x - y = 1 - 2 = -1$。
-1
解方程组：
由$2x - y = 0$得$y = 2x$，代入$x + y - 3 = 0$，得$x + 2x - 3 = 0$，$3x = 3$，$x = 1$。
则$y = 2x = 2×1 = 2$。
所以$x - y = 1 - 2 = -1$。
-1
7. 用代入消元法解下列方程组：
(1)$\begin{cases}x - 2y = 0,\\3x + 2y = 8;\end{cases}$ (2)$\begin{cases}2x + y = 2,\\8x + 3y = 9。\end{cases}$
(1)$\begin{cases}x - 2y = 0,\\3x + 2y = 8;\end{cases}$ (2)$\begin{cases}2x + y = 2,\\8x + 3y = 9。\end{cases}$
答案
$7. (1) \begin{cases} x = 2, \\ y = 1 \end{cases} (2) \begin{cases} x = 1.5, \\ y = - 1 \end{cases} $
解析
(1) 解：由$x - 2y = 0$得$x = 2y$，将$x = 2y$代入$3x + 2y = 8$，得$3×2y + 2y = 8$，$6y + 2y = 8$，$8y = 8$，$y = 1$，则$x = 2×1 = 2$，所以$\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$
(2) 解：由$2x + y = 2$得$y = 2 - 2x$，将$y = 2 - 2x$代入$8x + 3y = 9$，得$8x + 3(2 - 2x) = 9$，$8x + 6 - 6x = 9$，$2x = 3$，$x = \frac{3}{2} = 1.5$，则$y = 2 - 2×1.5 = -1$，所以$\begin{cases} x = 1.5 \\ y = -1 \end{cases}$
(2) 解：由$2x + y = 2$得$y = 2 - 2x$，将$y = 2 - 2x$代入$8x + 3y = 9$，得$8x + 3(2 - 2x) = 9$，$8x + 6 - 6x = 9$，$2x = 3$，$x = \frac{3}{2} = 1.5$，则$y = 2 - 2×1.5 = -1$，所以$\begin{cases} x = 1.5 \\ y = -1 \end{cases}$
8. 解方程组 $\begin{cases}x + y = 4,\\\dfrac{x - 1}{2} + \dfrac{y + 1}{3} = 1。\end{cases}$
答案
$8. \begin{cases} x = - 1, \\ y = 5 \end{cases} $
解析
解：$\begin{cases} x + y = 4, \\ \dfrac{x - 1}{2} + \dfrac{y + 1}{3} = 1 \end{cases}$
由第一个方程得：$x = 4 - y$
将$x = 4 - y$代入第二个方程：
$\dfrac{(4 - y) - 1}{2} + \dfrac{y + 1}{3} = 1$
$\dfrac{3 - y}{2} + \dfrac{y + 1}{3} = 1$
两边同乘6：$3(3 - y) + 2(y + 1) = 6$
$9 - 3y + 2y + 2 = 6$
$-y + 11 = 6$
$-y = -5$
$y = 5$
将$y = 5$代入$x = 4 - y$：$x = 4 - 5 = -1$
所以方程组的解为$\begin{cases} x = -1 \\ y = 5 \end{cases}$
由第一个方程得：$x = 4 - y$
将$x = 4 - y$代入第二个方程：
$\dfrac{(4 - y) - 1}{2} + \dfrac{y + 1}{3} = 1$
$\dfrac{3 - y}{2} + \dfrac{y + 1}{3} = 1$
两边同乘6：$3(3 - y) + 2(y + 1) = 6$
$9 - 3y + 2y + 2 = 6$
$-y + 11 = 6$
$-y = -5$
$y = 5$
将$y = 5$代入$x = 4 - y$：$x = 4 - 5 = -1$
所以方程组的解为$\begin{cases} x = -1 \\ y = 5 \end{cases}$
9. 已知 $m$，$n$ 互为相反数，关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}mx + ny = 60,\\3x - y = 8\end{cases}$ 的解也互为相反数，求 $m$，$n$ 的值。
答案
9. m = 15，n = - 15
解析
因为$m$，$n$互为相反数，所以$m = -n$。
设方程组的解为$x = a$，$y = -a$（因为解互为相反数）。
将$x = a$，$y = -a$代入$3x - y = 8$，得$3a - (-a) = 8$，$4a = 8$，解得$a = 2$。
所以方程组的解为$x = 2$，$y = -2$。
将$x = 2$，$y = -2$代入$mx + ny = 60$，得$2m - 2n = 60$，即$m - n = 30$。
又因为$m = -n$，所以$-n - n = 30$，$-2n = 30$，解得$n = -15$，则$m = 15$。
$m = 15$，$n = -15$
设方程组的解为$x = a$，$y = -a$（因为解互为相反数）。
将$x = a$，$y = -a$代入$3x - y = 8$，得$3a - (-a) = 8$，$4a = 8$，解得$a = 2$。
所以方程组的解为$x = 2$，$y = -2$。
将$x = 2$，$y = -2$代入$mx + ny = 60$，得$2m - 2n = 60$，即$m - n = 30$。
又因为$m = -n$，所以$-n - n = 30$，$-2n = 30$，解得$n = -15$，则$m = 15$。
$m = 15$，$n = -15$
10. 小淇在解方程组 $\begin{cases}2x - 3y = 3,①\\2x - 5y = 5②\end{cases}$ 时，发现方程①和方程②之间存在一定的关系，他的解法如下：
将方程②变形为 $2x - 3y - 2y = 5$。③
将方程①代入方程③，得 $3 - 2y = 5$。
解得 $y = -1$。
将 $y = -1$ 代入方程①，得 $x = 0$。
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x = 0,\\y = -1。\end{cases}$
小淇的这种解法叫“整体换元”法，请用“整体换元”法解答下列问题：
(1)解方程组 $\begin{cases}2x + 5y = 3,①\\4x + 5y = 5②\end{cases}$ 时，将方程①代入方程②，则方程②变为 ______ ，故原方程组的解为 ______ 。
(2)解方程组 $\begin{cases}3x - 2y = 5,\\7x - 4y = 14。\end{cases}$
将方程②变形为 $2x - 3y - 2y = 5$。③
将方程①代入方程③，得 $3 - 2y = 5$。
解得 $y = -1$。
将 $y = -1$ 代入方程①，得 $x = 0$。
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x = 0,\\y = -1。\end{cases}$
小淇的这种解法叫“整体换元”法，请用“整体换元”法解答下列问题：
(1)解方程组 $\begin{cases}2x + 5y = 3,①\\4x + 5y = 5②\end{cases}$ 时，将方程①代入方程②，则方程②变为 ______ ，故原方程组的解为 ______ 。
(2)解方程组 $\begin{cases}3x - 2y = 5,\\7x - 4y = 14。\end{cases}$
答案
$10. (1) 2x + 3 = 5 \begin{cases} x = 1, \\ y = \dfrac { 1 } { 5 } \end{cases} (2) \begin{cases} x = 4, \\ y = \dfrac { 7 } { 2 } \end{cases} $
解析
(1)将方程②变形为$2x + (2x + 5y) = 5$，将方程①代入，得$2x + 3 = 5$，解得$x = 1$，将$x = 1$代入①，得$2×1 + 5y = 3$，解得$y = \dfrac{1}{5}$，故原方程组的解为$\begin{cases} x = 1 \\ y = \dfrac{1}{5} \end{cases}$
(2)将第二个方程变形为$x + 2(3x - 2y) = 14$，将$3x - 2y = 5$代入，得$x + 2×5 = 14$，解得$x = 4$，将$x = 4$代入$3x - 2y = 5$，得$3×4 - 2y = 5$，解得$y = \dfrac{7}{2}$，故原方程组的解为$\begin{cases} x = 4 \\ y = \dfrac{7}{2} \end{cases}$
(2)将第二个方程变形为$x + 2(3x - 2y) = 14$，将$3x - 2y = 5$代入，得$x + 2×5 = 14$，解得$x = 4$，将$x = 4$代入$3x - 2y = 5$，得$3×4 - 2y = 5$，解得$y = \dfrac{7}{2}$，故原方程组的解为$\begin{cases} x = 4 \\ y = \dfrac{7}{2} \end{cases}$
