12. 如图9所示,将底面积为$40\ \mathrm{cm}^2$的茶壶放在面积为$0.8\ \mathrm{m}^2$的水平桌面中央,茶壶内盛有$0.6\ \mathrm{kg}$水,水面到壶底的高度为$12\ \mathrm{cm}$,此时整个茶壶对桌面的压强为$2\ 500\ \mathrm{Pa}$,$g$取$10\ \mathrm{N/kg}$。求:
(1)水对茶壶底部的压强;
(2)茶壶底部受到水的压力;
(3)空茶壶的质量。

(1) 水对茶壶底部的压强为$1200\ \mathrm{Pa}$；(2) 茶壶底部受到水的压力为$4.8\ \mathrm{N}$；(3) 空茶壶的质量为$0.4\ \mathrm{kg}$。

(1) 首先统一单位，水深$h=12\ \mathrm{cm}=0.12\ \mathrm{m}$，根据液体压强公式$p=\rho gh$，代入水的密度$\rho_{\mathrm{水}}=1×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$、$g=10\ \mathrm{N/kg}$计算水对茶壶底部的压强。
(2) 先将茶壶底面积换算为国际单位：$S=40\ \mathrm{cm^2}=4×10^{-3}\ \mathrm{m^2}$，根据压强公式变形$F=pS$，代入第(1)问得到的水对壶底的压强，计算水对茶壶底部的压力。
(3) 水平面上物体对桌面的压力等于自身总重力，根据$F'=p'S$计算出茶壶对桌面的总压力，得到茶壶和水的总重力$G_{\mathrm{总}}=F'$，再由$G=mg$变形得到总质量$m_{\mathrm{总}}=\frac{G_{\mathrm{总}}}{g}$，减去已知的水的质量，即可得到空茶壶的质量。
计算过程：
(1) $p_1=\rho_{\mathrm{水}}gh=1×10^3\ \mathrm{kg/m^3} × 10\ \mathrm{N/kg} × 0.12\ \mathrm{m}=1200\ \mathrm{Pa}$
(2) $F_1=p_1S=1200\ \mathrm{Pa} × 4×10^{-3}\ \mathrm{m^2}=4.8\ \mathrm{N}$
(3) 茶壶对桌面总压力$F_2=p_2S=2500\ \mathrm{Pa} × 4×10^{-3}\ \mathrm{m^2}=10\ \mathrm{N}$，总重力$G_{\mathrm{总}}=F_2=10\ \mathrm{N}$，总质量$m_{\mathrm{总}}=\frac{G_{\mathrm{总}}}{g}=\frac{10\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=1\ \mathrm{kg}$，空茶壶质量$m_{\mathrm{壶}}=m_{\mathrm{总}}-m_{\mathrm{水}}=1\ \mathrm{kg}-0.6\ \mathrm{kg}=0.4\ \mathrm{kg}$

13.一底面积为$200\ \mathrm{cm}^2$的圆柱形容器置于水平桌面上，里面盛有$30\ \mathrm{cm}$深的水。把一个体积为$1× 10^{-3}\ \mathrm{m}^3$的实心小球用细线拴好并放入水中，当小球刚好浸没在水中时（如图10甲所示），细线所受拉力刚好为$5\ \mathrm{N}$；然后手松开细线，小球静止在水中时（如图10乙所示）。$g$取$10\ \mathrm{N/kg}$。求：
(1)小球浸没在水中时受到的浮力大小；
(2)小球的密度；
(3)松开细线后，小球静止在水中时容器底部受到水的压强。

(1) $\boldsymbol{10\ \mathrm{N}}$
(2) $\boldsymbol{1.5× 10^3\ \mathrm{kg/m}^3}$
(3) $\boldsymbol{3500\ \mathrm{Pa}}$

(1) 小球浸没在水中时，排开水的体积等于小球自身的体积，即$V_{\mathrm{排}}=V_{\mathrm{球}}=1× 10^{-3}\ \mathrm{m}^3$。根据阿基米德原理：
$F_{\mathrm{浮}}=\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排}}=1.0× 10^3\ \mathrm{kg/m}^3× 10\ \mathrm{N/kg}× 1× 10^{-3}\ \mathrm{m}^3=10\ \mathrm{N}$
(2) 图甲中小球静止，受力平衡：小球受到向下的重力$G$、向上的浮力$F_{\mathrm{浮}}$、向上的细线拉力$F_{\mathrm{拉}}$，因此：
$G=F_{\mathrm{浮}}+F_{\mathrm{拉}}=10\ \mathrm{N}+5\ \mathrm{N}=15\ \mathrm{N}$
小球的质量：
$m=\frac{G}{g}=\frac{15\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=1.5\ \mathrm{kg}$
小球的密度：
$\rho_{\mathrm{球}}=\frac{m}{V_{\mathrm{球}}}=\frac{1.5\ \mathrm{kg}}{1× 10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=1.5× 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
(3) 松开细线后，小球密度大于水，沉在容器底部，仍完全浸没在水中，排开水的体积不变。水面上升的高度：
$\Delta h=\frac{V_{\mathrm{排}}}{S}=\frac{1× 10^{-3}\ \mathrm{m}^3}{200× 10^{-4}\ \mathrm{m}^2}=0.05\ \mathrm{m}$
此时容器内总水深：
$h=h_0+\Delta h=0.3\ \mathrm{m}+0.05\ \mathrm{m}=0.35\ \mathrm{m}$
容器底部受到水的压强：
$p=\rho_{\mathrm{水}}gh=1.0× 10^3\ \mathrm{kg/m}^3× 10\ \mathrm{N/kg}× 0.35\ \mathrm{m}=3500\ \mathrm{Pa}$