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(1) 为了用尽可能少的次数保证找出次品，你会怎样对待测物品进行分组？(其中有1个次品且知轻重)
(1) 为了用尽可能少的次数保证找出次品，你会怎样对待测物品进行分组？(其中有1个次品且知轻重)
答案
(2,2,2)
(5,5,5)
(6,6,7)
(8,8,9)
(5,5,5)
(6,6,7)
(8,8,9)
解析
【分析】
要保证用最少次数找出已知轻重的次品，需遵循最优分组思路：将待测物品分成3组，且每组数量尽可能平均。因为分成3组后，称量其中两组，若平衡则次品在第三组，若不平衡可根据次品轻重确定在其中一组，每次能排除约2/3的物品，最快缩小范围；若物品总数不能被3整除，让三组数量相差不超过1（两组数量相同，第三组多1或少1）即可。
【解析】
1. 对待测物品6个：6能被3整除，6÷3=2，所以分成(2,2,2)；
2. 对待测物品15个：15能被3整除，15÷3=5，所以分成(5,5,5)；
3. 对待测物品19个：19÷3=6……1，分成两组6个，一组7个，即(6,6,7)；
4. 对待测物品25个：25÷3=8……1，分成两组8个，一组9个，即(8,8,9)。
【答案】
(2,2,2)；(5,5,5)；(6,6,7)；(8,8,9)
【知识点】
找次品最优分组策略
【点评】
本题聚焦找次品的核心分组方法，通过“尽量平均分成3组”的策略，可最大限度减少称量次数，快速缩小次品范围，需要学生理解该分组逻辑的合理性，掌握此类问题的解题思路。
【难度系数】
0.7
要保证用最少次数找出已知轻重的次品，需遵循最优分组思路：将待测物品分成3组，且每组数量尽可能平均。因为分成3组后，称量其中两组，若平衡则次品在第三组，若不平衡可根据次品轻重确定在其中一组，每次能排除约2/3的物品，最快缩小范围；若物品总数不能被3整除，让三组数量相差不超过1（两组数量相同，第三组多1或少1）即可。
【解析】
1. 对待测物品6个：6能被3整除，6÷3=2，所以分成(2,2,2)；
2. 对待测物品15个：15能被3整除，15÷3=5，所以分成(5,5,5)；
3. 对待测物品19个：19÷3=6……1，分成两组6个，一组7个，即(6,6,7)；
4. 对待测物品25个：25÷3=8……1，分成两组8个，一组9个，即(8,8,9)。
【答案】
(2,2,2)；(5,5,5)；(6,6,7)；(8,8,9)
【知识点】
找次品最优分组策略
【点评】
本题聚焦找次品的核心分组方法，通过“尽量平均分成3组”的策略，可最大限度减少称量次数，快速缩小次品范围，需要学生理解该分组逻辑的合理性，掌握此类问题的解题思路。
【难度系数】
0.7
(2) 在13颗外观相同的螺丝钉中，有1颗次品，它稍重一些。如果用天平称，那么至少称(
3
)次才能保证找出这个次品。答案
3
解析
【分析】
要解决“保证找出稍重次品”的问题，需利用天平平衡原理，采用最优分组策略——尽量将物品平均分成三组，这样能最快缩小次品所在范围。解题时必须考虑最坏情况，不能只看运气好的情况，要确保每一种可能的情况都能在最少次数内找到次品。具体思路：先把13颗螺丝钉合理分组，通过天平称重判断次品所在组，再逐步缩小范围，直到确定次品。
【解析】
步骤1：第一次分组称重
将13颗螺丝钉分成3组，分别是4颗、4颗、5颗。把两组4颗的螺丝钉放在天平两端：
若天平平衡，说明次品在剩下的5颗中；
若天平不平衡，说明次品在较重的那4颗中。
步骤2：针对不同情况进行第二次分组称重
情况一：次品在5颗中
把5颗分成3组：2颗、2颗、1颗。将两组2颗的放在天平两端：
若天平平衡，剩下的1颗就是次品（此为幸运情况，但题目要求“保证找出”，需考虑最坏情况）；
若天平不平衡，次品在较重的2颗中。
情况二：次品在4颗中
把4颗分成2组：2颗、2颗。将两组放在天平两端，次品在较重的2颗中。
步骤3：第三次称重确定次品
针对步骤2中较重的2颗，将它们分别放在天平两端，较重的那颗就是次品。
综上，无论哪种情况，保证找出次品至少需要3次。
【答案】
3
【知识点】
天平找次品策略
【点评】
本题考查找次品的最优策略，核心是尽量将物品平均分成三组，通过天平称重逐步缩小次品范围，解题时必须考虑最坏情况，才能得到“保证找出”的最少次数，避免只考虑幸运情况导致错误。
【难度系数】
0.6
要解决“保证找出稍重次品”的问题，需利用天平平衡原理，采用最优分组策略——尽量将物品平均分成三组，这样能最快缩小次品所在范围。解题时必须考虑最坏情况，不能只看运气好的情况，要确保每一种可能的情况都能在最少次数内找到次品。具体思路：先把13颗螺丝钉合理分组，通过天平称重判断次品所在组，再逐步缩小范围，直到确定次品。
【解析】
步骤1：第一次分组称重
将13颗螺丝钉分成3组，分别是4颗、4颗、5颗。把两组4颗的螺丝钉放在天平两端：
若天平平衡，说明次品在剩下的5颗中；
若天平不平衡，说明次品在较重的那4颗中。
步骤2：针对不同情况进行第二次分组称重
情况一：次品在5颗中
把5颗分成3组：2颗、2颗、1颗。将两组2颗的放在天平两端：
若天平平衡，剩下的1颗就是次品（此为幸运情况，但题目要求“保证找出”，需考虑最坏情况）；
若天平不平衡，次品在较重的2颗中。
情况二：次品在4颗中
把4颗分成2组：2颗、2颗。将两组放在天平两端，次品在较重的2颗中。
步骤3：第三次称重确定次品
针对步骤2中较重的2颗，将它们分别放在天平两端，较重的那颗就是次品。
综上，无论哪种情况，保证找出次品至少需要3次。
【答案】
3
【知识点】
天平找次品策略
【点评】
本题考查找次品的最优策略，核心是尽量将物品平均分成三组，通过天平称重逐步缩小次品范围，解题时必须考虑最坏情况，才能得到“保证找出”的最少次数，避免只考虑幸运情况导致错误。
【难度系数】
0.6
(3) 有5个外观相同的零件，其中有1个是次品，质量轻一些。根据右图可以推断，(
①②⑤
)号零件一定是正品。答案
①②⑤
解析
【分析】
首先明确次品的特点是质量轻一些。观察天平状态：左侧放①②，右侧放③④，左侧下沉，说明左侧总质量大于右侧总质量，由此可推断次品在质量较轻的右侧（③或④中）。那么天平左侧的①②不可能是次品，未参与称重的⑤也不可能是次品，因此①②⑤一定是正品。
【解析】
根据天平平衡的原理，次品质量较轻，天平左侧下沉，说明①②的总质量大于③④的总质量，因此次品在③或④之中。
因为①②所在侧更重，所以①②不是次品；未参与称重的⑤也没有成为次品的可能，因此①②⑤一定是正品。
【答案】
①②⑤
【知识点】
天平平衡原理、找次品
【点评】
本题通过天平的倾斜情况考查逻辑推理能力，需要结合次品质量轻的特点，判断出次品的范围，进而确定正品，理清推理逻辑是解题关键。
【难度系数】
0.7
首先明确次品的特点是质量轻一些。观察天平状态：左侧放①②，右侧放③④，左侧下沉，说明左侧总质量大于右侧总质量，由此可推断次品在质量较轻的右侧（③或④中）。那么天平左侧的①②不可能是次品，未参与称重的⑤也不可能是次品，因此①②⑤一定是正品。
【解析】
根据天平平衡的原理，次品质量较轻，天平左侧下沉，说明①②的总质量大于③④的总质量，因此次品在③或④之中。
因为①②所在侧更重，所以①②不是次品；未参与称重的⑤也没有成为次品的可能，因此①②⑤一定是正品。
【答案】
①②⑤
【知识点】
天平平衡原理、找次品
【点评】
本题通过天平的倾斜情况考查逻辑推理能力，需要结合次品质量轻的特点，判断出次品的范围，进而确定正品，理清推理逻辑是解题关键。
【难度系数】
0.7
2. 某口香糖一箱有18瓶，其中17瓶质量相同，另外1瓶质量不足，轻一些。至少称几次能保证找出这瓶口香糖？
请用图表示找的过程。
请用图表示找的过程。
答案
答：至少称8次能保证找出这瓶口香糖。
解析
【分析】
要找出质量不足的口香糖，我们可以利用天平“平衡时两边物品质量相等，不平衡时轻的一侧有次品”的原理，采用分组称量的方法，每次尽量将物品平均分成3组，这样能最快缩小次品所在的范围，保证用最少次数找到次品。具体思路如下：
1. 先把18瓶口香糖平均分成3组，每组6瓶，通过第一次称量确定次品在哪一组；
2. 再把含有次品的6瓶平均分成3组，每组2瓶，第二次称量确定次品所在的2瓶组；
3. 最后把这2瓶分别放在天平两侧，第三次称量就能找出轻的那瓶次品。
【解析】
步骤1：将18瓶口香糖分成3组，每组6瓶，标记为A组、B组、C组。把A组和B组放在天平两端：
若天平平衡，说明次品在C组；
若天平不平衡，次品在较轻的那一组。
步骤2：把含有次品的6瓶再分成3组，每组2瓶，标记为a组、b组、c组。把a组和b组放在天平两端：
若天平平衡，次品在c组；
若天平不平衡，次品在较轻的那一组。
步骤3：把含有次品的2瓶分别放在天平两端，较轻的那一瓶就是质量不足的口香糖。
【答案】
答：至少称3次能保证找出这瓶口香糖。
【知识点】
找次品问题、天平平衡原理
【点评】
解决找次品问题的关键是合理分组，优先将物品平均分成3组，这样每次称量后能排除三分之二的正品，最快缩小次品的范围，确保用最少的次数保证找到次品。
【难度系数】
0.6
要找出质量不足的口香糖，我们可以利用天平“平衡时两边物品质量相等，不平衡时轻的一侧有次品”的原理，采用分组称量的方法，每次尽量将物品平均分成3组，这样能最快缩小次品所在的范围，保证用最少次数找到次品。具体思路如下：
1. 先把18瓶口香糖平均分成3组，每组6瓶，通过第一次称量确定次品在哪一组；
2. 再把含有次品的6瓶平均分成3组，每组2瓶，第二次称量确定次品所在的2瓶组；
3. 最后把这2瓶分别放在天平两侧，第三次称量就能找出轻的那瓶次品。
【解析】
步骤1：将18瓶口香糖分成3组，每组6瓶，标记为A组、B组、C组。把A组和B组放在天平两端：
若天平平衡，说明次品在C组；
若天平不平衡，次品在较轻的那一组。
步骤2：把含有次品的6瓶再分成3组，每组2瓶，标记为a组、b组、c组。把a组和b组放在天平两端：
若天平平衡，次品在c组；
若天平不平衡，次品在较轻的那一组。
步骤3：把含有次品的2瓶分别放在天平两端，较轻的那一瓶就是质量不足的口香糖。
【答案】
答：至少称3次能保证找出这瓶口香糖。
【知识点】
找次品问题、天平平衡原理
【点评】
解决找次品问题的关键是合理分组，优先将物品平均分成3组，这样每次称量后能排除三分之二的正品，最快缩小次品的范围，确保用最少的次数保证找到次品。
【难度系数】
0.6
3. 有29瓶同样的水，彤彤往其中1瓶加了一些糖。假如用天平称，那么至少称几次才能保证找出加糖的那瓶水？
答案
答：至少称4次才能保证找出加糖的那瓶水。
解析
【分析】
这是一道找次品问题，加糖的水比普通水重，我们可以利用天平“平衡则目标在未称组，不平衡则目标在较重组”的原理，采用三分法（将待测物品尽量平均分成三组）来缩小范围，因为天平有左重、右重、平衡三种状态，三分法能最大程度每次排除无关物品，保证在最不利情况下用最少次数找到目标。具体思考步骤如下：
1. 第一次分组：29瓶无法完全平均分成三组，就分成10、10、9，先称两个10瓶，确定加糖的水在10瓶组还是9瓶组；
2. 第二次分组：针对第一次的结果，若在9瓶则分成3、3、3，若在10瓶则分成3、3、4，再次称量缩小范围到3瓶或4瓶；
3. 第三次分组：3瓶分成1、1、1，4瓶分成1、1、2，继续称量缩小到1瓶或2瓶；
4. 第四次称量：若剩下2瓶，再称一次就能确定较重的那瓶是加糖的水，综合最不利情况，至少需要4次。
【解析】
我们采用三分法，结合天平称量的最不利情况推导：
1. 第一次称量：把29瓶水分成10瓶、10瓶、9瓶，将两组10瓶分别放在天平两端。
若天平平衡，加糖的水在剩余9瓶中；
若天平不平衡，加糖的水在较重的10瓶中。
2. 第二次称量：
若目标在9瓶中：将9瓶平均分成3组（每组3瓶），取两组放在天平两端。平衡则目标在剩余3瓶，不平衡则在较重的3瓶；
若目标在10瓶中：将10瓶分成3瓶、3瓶、4瓶，取两组3瓶放在天平两端。平衡则目标在剩余4瓶，不平衡则在较重的3瓶。
3. 第三次称量：
若目标在3瓶中：将3瓶分成1瓶、1瓶、1瓶，取两组1瓶称量。平衡则剩余1瓶是目标，不平衡则较重的是目标；
若目标在4瓶中：将4瓶分成1瓶、1瓶、2瓶，取两组1瓶称量。不平衡则较重的是目标，平衡则目标在剩余2瓶。
4. 第四次称量：若第三次后剩余2瓶，将这2瓶放在天平两端，较重的就是加糖的水。
综上，在最不利情况下，至少称4次才能保证找出加糖的那瓶水。
【答案】
至少称4次才能保证找出加糖的那瓶水。
【知识点】
找次品问题（三分法策略）
【点评】
本题考查找次品的最优解题策略，核心是利用天平的三种状态合理分组，通过逐步缩小范围确定目标物品。解题时需考虑最不利情况，确保“保证找到”，能有效锻炼逻辑推理和统筹规划能力。
【难度系数】
0.3
这是一道找次品问题，加糖的水比普通水重，我们可以利用天平“平衡则目标在未称组，不平衡则目标在较重组”的原理，采用三分法（将待测物品尽量平均分成三组）来缩小范围，因为天平有左重、右重、平衡三种状态，三分法能最大程度每次排除无关物品，保证在最不利情况下用最少次数找到目标。具体思考步骤如下：
1. 第一次分组：29瓶无法完全平均分成三组，就分成10、10、9，先称两个10瓶，确定加糖的水在10瓶组还是9瓶组；
2. 第二次分组：针对第一次的结果，若在9瓶则分成3、3、3，若在10瓶则分成3、3、4，再次称量缩小范围到3瓶或4瓶；
3. 第三次分组：3瓶分成1、1、1，4瓶分成1、1、2，继续称量缩小到1瓶或2瓶；
4. 第四次称量：若剩下2瓶，再称一次就能确定较重的那瓶是加糖的水，综合最不利情况，至少需要4次。
【解析】
我们采用三分法，结合天平称量的最不利情况推导：
1. 第一次称量：把29瓶水分成10瓶、10瓶、9瓶，将两组10瓶分别放在天平两端。
若天平平衡，加糖的水在剩余9瓶中；
若天平不平衡，加糖的水在较重的10瓶中。
2. 第二次称量：
若目标在9瓶中：将9瓶平均分成3组（每组3瓶），取两组放在天平两端。平衡则目标在剩余3瓶，不平衡则在较重的3瓶；
若目标在10瓶中：将10瓶分成3瓶、3瓶、4瓶，取两组3瓶放在天平两端。平衡则目标在剩余4瓶，不平衡则在较重的3瓶。
3. 第三次称量：
若目标在3瓶中：将3瓶分成1瓶、1瓶、1瓶，取两组1瓶称量。平衡则剩余1瓶是目标，不平衡则较重的是目标；
若目标在4瓶中：将4瓶分成1瓶、1瓶、2瓶，取两组1瓶称量。不平衡则较重的是目标，平衡则目标在剩余2瓶。
4. 第四次称量：若第三次后剩余2瓶，将这2瓶放在天平两端，较重的就是加糖的水。
综上，在最不利情况下，至少称4次才能保证找出加糖的那瓶水。
【答案】
至少称4次才能保证找出加糖的那瓶水。
【知识点】
找次品问题（三分法策略）
【点评】
本题考查找次品的最优解题策略，核心是利用天平的三种状态合理分组，通过逐步缩小范围确定目标物品。解题时需考虑最不利情况，确保“保证找到”，能有效锻炼逻辑推理和统筹规划能力。
【难度系数】
0.3
4. 【提优挑战】一架天平，只有5g和30g的砝码各1个。现在有300g白糖需要平均分成3份，这架天平至少要称几次，怎样称？
答案
答：至少称3次。第1次用5g和30g砝码称出35g糖；第2次把35g糖看作为砝码与30g砝码称出65g白糖，这样两次称出的白糖共100g；第3次以100g白糖作为砝码称出第2个100g白糖，那么剩下的白糖也是100g。
解析
【分析】
我们的目标是将300g白糖平均分成3份（每份100g），但现有砝码仅为5g和30g，无法直接称出100g，因此需要灵活利用已称出的白糖作为新砝码来简化步骤。首先用现有砝码称出固定重量的白糖；接着把已称出的白糖当作砝码，结合原有砝码凑出100g；最后用凑好的100g白糖作为砝码，称出第二份100g，剩余部分自然就是第三份100g，以此实现最少次数完成任务。
【解析】
1. 第1次称重：将5g和30g砝码放在天平一侧，另一侧放白糖至天平平衡，称出35g白糖；
2. 第2次称重：把称好的35g白糖与30g砝码放在天平一侧，另一侧放白糖至天平平衡，此时称出的白糖重量为35g+30g=65g，将第一次的35g白糖与此次的65g白糖合并，得到100g白糖；
3. 第3次称重：把已得到的100g白糖放在天平一侧，另一侧放白糖至天平平衡，称出第二份100g白糖，剩余白糖重量为300g-100g-100g=100g，完成平均分。
【答案】
至少称3次。第1次用5g和30g砝码称出35g糖；第2次把35g糖看作为砝码与30g砝码称出65g白糖，这样两次称出的白糖共100g；第3次以100g白糖作为砝码称出第2个100g白糖，那么剩下的白糖也是100g。
【知识点】
天平称重技巧、等量代换、逻辑推理
【点评】
本题考查对天平称重原理的灵活运用，核心是学会将已称出的物品转化为新“砝码”，通过等量代换逐步凑出目标重量，锻炼了逻辑思维与实际问题解决能力。
【难度系数】
0.3
我们的目标是将300g白糖平均分成3份（每份100g），但现有砝码仅为5g和30g，无法直接称出100g，因此需要灵活利用已称出的白糖作为新砝码来简化步骤。首先用现有砝码称出固定重量的白糖；接着把已称出的白糖当作砝码，结合原有砝码凑出100g；最后用凑好的100g白糖作为砝码，称出第二份100g，剩余部分自然就是第三份100g，以此实现最少次数完成任务。
【解析】
1. 第1次称重：将5g和30g砝码放在天平一侧，另一侧放白糖至天平平衡，称出35g白糖；
2. 第2次称重：把称好的35g白糖与30g砝码放在天平一侧，另一侧放白糖至天平平衡，此时称出的白糖重量为35g+30g=65g，将第一次的35g白糖与此次的65g白糖合并，得到100g白糖；
3. 第3次称重：把已得到的100g白糖放在天平一侧，另一侧放白糖至天平平衡，称出第二份100g白糖，剩余白糖重量为300g-100g-100g=100g，完成平均分。
【答案】
至少称3次。第1次用5g和30g砝码称出35g糖；第2次把35g糖看作为砝码与30g砝码称出65g白糖，这样两次称出的白糖共100g；第3次以100g白糖作为砝码称出第2个100g白糖，那么剩下的白糖也是100g。
【知识点】
天平称重技巧、等量代换、逻辑推理
【点评】
本题考查对天平称重原理的灵活运用，核心是学会将已称出的物品转化为新“砝码”，通过等量代换逐步凑出目标重量，锻炼了逻辑思维与实际问题解决能力。
【难度系数】
0.3
