1. 计算$\dfrac{m^2}{m-1}-\dfrac{2m-1}{m-1}$的结果是 （）

A.$m+1$
B.$m-1$
C.$m-2$
D.$-m-2$

1.B

【分析】
本题是同分母分式的减法运算，解题思路如下：第一步，根据同分母分式加减法则，分母不变，分子相减，注意给后面的分子整体加括号，避免出现符号错误；第二步，化简合并分子的整式，观察分子是否可以因式分解；第三步，将因式分解后的分子与分母约分，得到最简结果即可对应选项。
【解析】
解：两个分式为同分母分式，根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$\begin{aligned}原式&=\frac{m^2-(2m-1)}{m-1}\\&=\frac{m^2-2m+1}{m-1}\\&=\frac{(m-1)^2}{m-1}\\&=m-1 \quad (m≠1)\end{aligned}$
因此计算结果为$m-1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
同分母分式加减、完全平方公式、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查同分母分式的运算规则，解题时需注意分子相减时的符号处理，分子化简后结合因式分解约分即可快速得到结果，掌握基础运算法则是解题关键。
【难度系数】
0.8

2. 若将分式$\frac{3m}{m+n}$与$\frac{n}{2(m-n)}$通分，则分式$\frac{3m}{m+n}$的分子变为 （）

A.$6m^2 - 6mn$
B.$6m - 6n$
C.$2(m - n)$
D.$2(m - n)(m + m)$

2.A

【分析】
要解决通分后分式分子的问题，需按通分的逻辑逐步思考：第一步先找两个分式分母的最简公分母，两个分母分别是$m+n$和$2(m-n)$，二者没有公因式，因此最简公分母是$2(m+n)(m-n)$；第二步根据分式的基本性质，要将$\frac{3m}{m+n}$的分母变为最简公分母，需要给分母乘$2(m-n)$，为保证分式值不变，分子也要乘相同的$2(m-n)$，计算乘积即可得到通分后的分子。
【解析】
1. 确定最简公分母：
两个分式的分母分别为$m+n$、$2(m-n)$，没有公共因式，因此最简公分母为$2(m+n)(m-n)$。
2. 计算通分后$\frac{3m}{m+n}$的分子：
根据分式的基本性质，给$\frac{3m}{m+n}$的分子、分母同乘$2(m-n)$，此时分子变为：
$3m× 2(m-n)=6m(m-n)=6m^2-6mn$
【答案】
A
【知识点】
分式的通分，分式的基本性质，最简公分母
【点评】
本题考查分式通分的核心方法，解题关键是准确找到最简公分母，再利用分式的基本性质对分子做对应变形，计算整式乘法时要注意不要漏乘项。
【难度系数】
0.7

3. 化简$\frac{2a}{a^2 - 1} - \frac{1}{a - 1}$的结果为（）

A.$\frac{a + 1}{a - 1}$
B.$\frac{1}{a + 1}$
C.$-\frac{1}{a - 1}$
D.$-\frac{3}{a^2 - 1}$

3.B

【分析】
这是分式减法运算题，解题思路如下：第一步先对分母因式分解，确定最简公分母；第二步将异分母分式通分为同分母分式；第三步按同分母分式减法法则计算，最后约分得到最简结果。首先观察到第一个分式的分母$a^2-1$是平方差形式，可分解为$(a+1)(a-1)$，第二个分式分母为$a-1$，因此最简公分母是$(a+1)(a-1)$，把第二个分式分子分母同乘$(a+1)$转化为同分母分式后再计算即可。
【解析】
首先利用平方差公式分解第一个分式的分母：$a^2-1=(a+1)(a-1)$，
对原式通分可得：
$\frac{2a}{(a+1)(a-1)} - \frac{a+1}{(a+1)(a-1)}$
根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$=\frac{2a - (a + 1)}{(a+1)(a-1)}$
去括号化简分子：
$=\frac{2a - a -1}{(a+1)(a-1)} = \frac{a - 1}{(a+1)(a-1)}$
约去分子分母的公因式$(a-1)$（分式有意义时$a≠1$），得：
$=\frac{1}{a+1}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
分式的加减运算，平方差公式，分式约分
【点评】
本题属于分式运算基础题，解题核心是先对多项式分母因式分解，准确找到最简公分母通分，计算分子时注意去括号的符号变化，最终结果要化为最简分式。
【难度系数】
0.7

4. 若化简$(\dfrac{1}{x-4}+\dfrac{1}{x+4})÷\dfrac{△}{x^2-16}$的结果为整数，则“$△$”代表的式子可以是（）

A.$2x$
B.$x-2$
C.$x+4$
D.$4$

4.A

【分析】
解题时先按照分式混合运算的顺序处理已知部分：第一步先计算括号内的分式加法，利用通分计算；第二步将除法转化为乘法，结合平方差公式对$x^2-16$因式分解后约分，得到化简后的最简形式；最后结合“结果为整数”的要求，逐一验证选项即可得出答案。
【解析】
首先利用平方差公式因式分解：$x^2-16=(x-4)(x+4)$。
第一步：计算括号内的分式加法：
$\dfrac{1}{x-4}+\dfrac{1}{x+4}=\dfrac{x+4}{(x-4)(x+4)}+\dfrac{x-4}{(x-4)(x+4)}=\dfrac{(x+4)+(x-4)}{x^2-16}=\dfrac{2x}{x^2-16}$
第二步：将除法转化为乘法，再约分：
$(\dfrac{1}{x-4}+\dfrac{1}{x+4})÷\dfrac{△}{x^2-16}=\dfrac{2x}{x^2-16}×\dfrac{x^2-16}{△}=\dfrac{2x}{△}$
第三步：逐一验证选项：
A. 若$△=2x$，则$\dfrac{2x}{△}=\dfrac{2x}{2x}=1$，1是整数，符合要求；
B. 若$△=x-2$，则$\dfrac{2x}{x-2}$不是对所有有意义的$x$都为整数，不符合要求；
C. 若$△=x+4$，则$\dfrac{2x}{x+4}$不是对所有有意义的$x$都为整数，不符合要求；
D. 若$△=4$，则$\dfrac{2x}{4}=\dfrac{x}{2}$，仅当$x$为偶数时是整数，不是恒为整数，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分式混合运算，平方差公式，约分
【点评】
本题考查分式的化简与整数的判定，核心是先将原式化简为最简形式，再结合条件验证选项，是分式运算部分的典型基础题，熟练掌握分式加减乘除的运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.7

5. 化简$\dfrac{a^2 - b^2}{ab} - \dfrac{a^2 - ab}{ab - b^2}$的结果是________.

5.$-\frac{b}{a}$

【分析】
本题是分式的加减运算题，解题思路如下：第一步先观察两个分式，优先对可以因式分解的分子分母进行因式分解，将能约分的分式先约分简化，降低后续计算难度；第二步将化简后的分式进行异分母分式的减法运算，先通分化为同分母分式，再将分子相减、分母不变；最后对得到的结果约分，化为最简分式即可。
【解析】
解：先对第二个分式约分：
$\dfrac{a^2 - ab}{ab - b^2} = \dfrac{a(a - b)}{b(a - b)} = \dfrac{a}{b}$（隐含条件：$a≠ b$且$a≠0$，$b≠0$）
将化简结果代入原式：
原式$=\dfrac{a^2 - b^2}{ab} - \dfrac{a}{b}$
对$\dfrac{a}{b}$通分，分母变为$ab$，得$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a^2}{ab}$，因此：
原式$=\dfrac{a^2 - b^2}{ab} - \dfrac{a^2}{ab}$
$=\dfrac{(a^2 - b^2) - a^2}{ab}$
$=\dfrac{-b^2}{ab}$
约去分子分母的公因式$b$，得：
原式$=-\dfrac{b}{a}$
【答案】
$-\dfrac{b}{a}$
【知识点】
分式的基本性质；分式的加减运算；因式分解
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的核心是先约分再计算，避免直接通分导致的计算量增大，计算过程中要注意保证原分式的分母不为0，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.7

6. 某工程有库存原材料 $ x $ t，原计划每天用 $ a $ t. 若现在每天的用料比原计划节省一半，则可以多用天.

6.$\frac{x}{a}$

【分析】
解题时可按照三步思路推导：第一步，根据“使用天数=原材料总重量÷每天用料量”，先求出原计划的使用天数；第二步，先计算出节省后每天的实际用料量，再求出实际可使用的天数；第三步，用实际使用天数减去原计划使用天数，就能得到多用的天数。
【解析】
1. 计算原计划使用天数：
已知原材料总库存为$x$ t，原计划每天用$a$ t，根据公式可得原计划可用天数为：$\frac{x}{a}$ 天。
2. 计算实际使用天数：
现在每天用料比原计划节省一半，因此实际每天用料为$\frac{a}{2}$ t，实际可用天数为：$x ÷ \frac{a}{2} = \frac{2x}{a}$ 天。
3. 计算多用的天数：
多用天数=实际天数-原计划天数，即$\frac{2x}{a} - \frac{x}{a} = \frac{x}{a}$ 天。
【答案】
$\frac{x}{a}$
【知识点】
列代数式；分式的减法运算
【点评】
本题是代数式应用的基础题型，核心是理清总重量、日用量和使用天数三者的数量关系，计算同分母分式减法时遵循“分母不变，分子相减”的规则即可，解题时注意不要混淆原计划和实际的日用量。
【难度系数】
0.8

7. 分式$\frac{1}{3x(x-2)},\frac{1}{(x-2)(x+3)},\frac{1}{2(x+3)^2}$的最简公分母是$\underline{\hspace{5cm}}$.

7.$6x(x-2)(x+3)^2$

【分析】
要找几个分式的最简公分母，我们可以按照三步法思考：第一步先找各分母系数的最小公倍数；第二步找所有分母中出现的不同因式；第三步每个因式都取它出现的最高次幂，最后把系数最小公倍数和各因式的最高次幂相乘，得到的结果就是最简公分母。
【解析】
首先写出三个分式的分母：$3x(x-2)$、$(x-2)(x+3)$、$2(x+3)^2$。
1. 确定系数的最小公倍数：三个分母的系数分别为3、1、2，它们的最小公倍数是6；
2. 找出所有出现的不同因式：分别是$x$、$(x-2)$、$(x+3)$；
3. 取每个因式的最高次幂：$x$的最高次是1次，$(x-2)$的最高次是1次，$(x+3)$的最高次是2次；
4. 将系数最小公倍数与各因式的最高次幂相乘，得到最简公分母为$6 · x · (x-2) · (x+3)^2 = 6x(x-2)(x+3)^2$。
【答案】
$6x(x-2)(x+3)^2$
【知识点】
1. 最简公分母的求法
2. 最小公倍数计算
【点评】
本题考查分式最简公分母的确定，是分式通分、加减运算的必备基础，解题的核心是牢记找最简公分母的三个规则，掌握后即可快速作答。
【难度系数】
0.8

8. [2024·六安霍邱期末]先化简,再求值:$(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1})÷\dfrac{x}{2x^2-2}$,其中$-1≤ x≤2$,且$x$为整数.

8. 解:原式$=\dfrac{2}{(x-1)(x+1)}·\dfrac{2(x-1)(x+1)}{x}=\dfrac{4}{x}$. 因为$x+1≠0,x-1≠0,x≠0$,所以$x≠-1,x≠1,x≠0$. 又因为$-1≤x≤2$,且$x$为整数,所以$x$只能取2. 当$x=2$时,原式$=\dfrac{4}{2}=2$.

【分析】
这是一道分式化简求值题，解题思路分三步：第一步先处理分式混合运算，先计算括号内的异分母分式减法，通分后求出差；第二步将除法转化为乘法，同时对多项式因式分解，约分后得到最简结果；第三步根据分式有意义的条件（分母、除数均不为0）排除不符合要求的x值，再从给定的x取值范围内选取符合条件的整数代入最简式计算即可。
【解析】
先化简原式：
1. 计算括号内的减法：
$\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{2}{(x-1)(x+1)}$
2. 对除式的分母因式分解：
$2x^2-2=2(x^2-1)=2(x-1)(x+1)$
3. 将除法转化为乘法并约分：
原式$=\dfrac{2}{(x-1)(x+1)} ÷ \dfrac{x}{2(x-1)(x+1)}=\dfrac{2}{(x-1)(x+1)} × \dfrac{2(x-1)(x+1)}{x}=\dfrac{4}{x}$
4. 确定x的取值：
要使分式有意义，需满足$x-1≠0$，$x+1≠0$，且除数不为0，即$x≠1$，$x≠-1$，$x≠0$。
已知$-1≤ x≤2$且x为整数，所以符合条件的x只能取2。
5. 代入求值：
当$x=2$时，原式$=\dfrac{4}{2}=2$。
【答案】
$2$
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，代数式求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，既考查了分式的加减、乘除运算法则以及因式分解的应用，又设置了隐含的取值限制，需要注意排除使分式无意义的x值，避免因忽略限制条件代入错误的数值失分。
【难度系数】
0.7