7. (2025·德州中考)如图,从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片,为了计算剩余部分的面积,在图中作出一条小圆的切线,并使它平行于大圆的直径.设这条切线交大圆于点 A,B,量得 AB 的长是 5 cm,则剩余部分的面积是 （）


A.$25π\ \mathrm{cm^2}$
B.$\dfrac{25}{2}π\ \mathrm{cm^2}$
C.$\dfrac{25}{4}π\ \mathrm{cm^2}$
D.$\dfrac{25}{8}π\ \mathrm{cm^2}$

7.D 解析:如图,平移小圆,使小圆的圆心与点O重合,小圆与AB相切于C,连接OC,OA,
∵小圆与AB相切于C,
∴OC⊥AB,
∴$AC=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{5}{2}(\mathrm{cm})$,在Rt△AOC中,$OA^2-OC^2=AC^2=\dfrac{25}{4}$,则剩余部分的面积为$\dfrac{1}{2}×π× OA^2-\dfrac{1}{2}×π× OC^2=\dfrac{1}{2}π×\dfrac{25}{4}=\dfrac{25}{8}π(\mathrm{cm^2})$,故选D.

【分析】
要计算剩余部分的面积，观察图形可知，剩余面积为大半圆面积减去小半圆面积。通过平移小半圆，使小圆圆心与大半圆圆心O重合，此时AB是大圆的弦且为小圆的切线，结合垂径定理和勾股定理，可求出大圆半径与小圆半径的平方差，进而计算面积差。
【解析】
设大半圆的半径为$ R $，小半圆的半径为$ r $。
将小半圆平移，使其圆心与点$ O $重合，此时$ AB $为大圆的弦，且与小圆相切于点$ C $。
根据切线的性质，$ OC ⊥ AB $，由垂径定理得：$ AC = \frac{1}{2}AB = \frac{5}{2}\ \mathrm{cm} $。
在$ \mathrm{Rt}△ AOC $中，由勾股定理：$ OA^2 - OC^2 = AC^2 $，即$ R^2 - r^2 = (\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4} $。
剩余部分的面积 = 大半圆面积 - 小半圆面积，即：
$\begin{aligned}&\frac{1}{2}π R^2 - \frac{1}{2}π r^2\\=&\frac{1}{2}π (R^2 - r^2)\\=&\frac{1}{2}π × \frac{25}{4}\\=&\frac{25}{8}π\ \mathrm{cm^2}\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
圆的切线性质、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题通过平移小半圆将不规则面积差转化为两个半圆的面积差，利用几何定理简化计算，体现了转化思想在圆的面积问题中的应用，是圆相关计算的典型题型。
【难度系数】
0.5

8. 小明将直径为6 cm 的半圆绕点 A 逆时针旋转$60°$设计了如图所示的图案,那么图中阴影部分的面积是（）


A.$4.5π\ \mathrm{cm}^2$
B.$6π\ \mathrm{cm}^2$
C.$9π\ \mathrm{cm}^2$
D.$18π\ \mathrm{cm}^2$

8.B 解析:
∵$S_{阴影}=S_{半圆AB'}+S_{扇形ABB'}-S_{半圆AB}$,而根据旋转的性质可知$S_{半圆AB'}=S_{半圆AB}$,
∴$S_{阴影}=S_{半圆AB'}+S_{扇形ABB'}-S_{半圆AB}=S_{扇形ABB'}$.由题意可知AB=6 cm,∠BAB'=60°,
∴$S_{阴影}=\dfrac{60·π·6^2}{360}=6π(\mathrm{cm^2})$.故选B.

【分析】
要计算阴影部分的面积，观察图形可知阴影部分由半圆AB'、扇形ABB'和半圆AB组合而成，结合旋转的性质，旋转前后对应图形的面积相等，可通过面积的加减抵消相同部分，将阴影面积转化为规则图形的面积来计算。
【解析】
根据图形的面积关系，阴影部分面积可表示为：$S_{阴影}=S_{半圆AB'}+S_{扇形ABB'}-S_{半圆AB}$。
由于半圆AB'是半圆AB绕点A旋转得到的，根据旋转的性质，旋转前后图形的面积不变，所以$S_{半圆AB'}=S_{半圆AB}$。
因此$S_{阴影}=S_{半圆AB'}+S_{扇形ABB'}-S_{半圆AB}=S_{扇形ABB'}$。
已知AB=6 cm，旋转角∠BAB'=60°，根据扇形面积公式$S=\frac{nπr^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为扇形半径），代入得：
$S_{阴影}=\frac{60×π×6^2}{360}=6π(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质、扇形面积计算、组合图形面积
【点评】
本题通过旋转的性质将不规则的阴影面积转化为规则的扇形面积，运用了转化思想，解题关键是利用旋转前后半圆面积相等抵消重叠部分，难度适中，考查学生对图形变换和面积计算的综合应用能力。
【难度系数】
0.5

9. (1) 如图①,将半径为 2,圆心角为 $90°$ 的扇形$BAC$ 绕点 $A$ 逆时针旋转,在旋转过程中,点 $B$落在扇形 $BAC$ 的弧上的点 $B'$ 处,点 $C$ 的对应点为点 $C'$,则阴影部分的面积为.

(2)(2025·郑州模拟) 如图②,在扇形 $OAB$中,圆心角 $∠ O=120°$, 半径 $OA=4$, 将扇形$OAB$ 绕半径 $OB$ 的中点 $M$ 顺时针旋转 $60°$,得到扇形 $O'A'B'$,连接 $O'B$,则图中阴影部分的面积为.

9.(1)$\sqrt{3}+\dfrac{1}{3}π$ 解析:如图①,连接BB',过点A作AF⊥BB'于点F,则∠AFB=90°.由旋转的性质得扇形ABC和扇形AB'C'的面积相等,AB=AB'=BC=BB'=2,
∴△ABB'是等边三角形,
∴∠ABF=60°,
∴∠BAF=30°,
∴$BF=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×2=1$.由勾股定理,得$AF=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$,
∴$S_{阴影}=S_{扇形ABC}-(S_{扇形ABB'}-S_{△ ABB'})=\dfrac{90π×2^2}{360}-(\dfrac{60π×2^2}{360}-\dfrac{1}{2}×2×\sqrt{3})=\sqrt{3}+\dfrac{1}{3}π$.
(2)$\dfrac{8π}{3}-2\sqrt{3}$ 解析:连接OO',如图②,由题意知,∠OMO'=60°,
∵M为OB的中点,OA=OB=4,
∴$OM=\dfrac{1}{2}OB=2$,根据旋转的性质,得O'M=OM=2,
∴△OO'M是等边三角形,
∴∠OO'M=∠O'OM=60°,OO'=OM=2.
∵∠A'O'B'=∠AOB=120°,
∴∠OO'A'=∠OO'M+∠A'O'B'=180°,
∴点O,O',A'共线.设$\overset{\frown}{AB}$与O'A'交于点D,则$S_{扇形OBD}=\dfrac{60}{360}×4^2π=\dfrac{8π}{3}$,过点O'作O'E⊥OB,交OB于点E,$O'E=\dfrac{\sqrt{3}}{2}OO'=2×\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$,
∴$S_{△ OBO'}=\dfrac{1}{2}OB· O'E=\dfrac{1}{2}×4×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$,
∴阴影部分的面积为$S_{扇形OBD}-S_{△ OBO'}=\dfrac{8π}{3}-2\sqrt{3}$.

【分析】
(1) 要求阴影部分面积，利用旋转前后扇形面积相等的性质，将不规则阴影面积转化为规则图形面积的差；通过作辅助线构造直角三角形，结合旋转性质判断△ABB'为等边三角形，进而计算各部分面积。
(2) 要求阴影部分面积，连接OO'，利用旋转性质和中点条件证明△OO'M为等边三角形，确定相关角度与线段长度；将阴影面积转化为扇形OBD与△OBO'的面积差，分别计算后得到结果。
【解析】
(1) 如图①，连接BB'，过点A作AF⊥BB'于点F，则∠AFB=90°。
由旋转性质得：扇形ABC与扇形AB'C'面积相等，AB=AB'=2，因点B'在弧BC上，故AB'=BB'=2，即△ABB'为等边三角形，∠ABF=60°，∠BAF=30°。
计算得：BF=1/2 AB=1，由勾股定理得AF=√(2²-1²)=√3。
各部分面积：
S扇形ABC=90π×2²/360=π；
S扇形ABB'=60π×2²/360=2π/3；
S△ABB'=1/2×2×√3=√3；
故S阴影=S扇形ABC - (S扇形ABB' - S△ABB')=π - (2π/3 - √3)=√3 + 1/3 π。
(2) 如图②，连接OO'。
由题意：M为OB中点，OB=OA=4，故OM=2；旋转得O'M=OM=2，∠OMO'=60°，则△OO'M为等边三角形，∠O'OM=60°，OO'=2。
因∠AOB=120°，故∠OO'A'=60°+120°=180°，即O、O'、A'共线。
计算得：S扇形OBD=60π×4²/360=8π/3；过O'作O'E⊥OB于E，O'E=√3/2×OO'=√3，故S△OBO'=1/2×4×√3=2√3；
因此S阴影=S扇形OBD - S△OBO'=8π/3 - 2√3。
【答案】
(1)√3 + 1/3 π；(2)8π/3 - 2√3
【知识点】
扇形面积计算、旋转的性质、等边三角形的判定与性质
【点评】
本题通过割补法将不规则阴影面积转化为规则图形的面积和差，结合旋转性质与等边三角形的性质求解，重点考查几何图形面积的转化能力，是几何计算的典型题型。
【难度系数】
0.5

10. (铜仁中考)如图,在边长为6的正方形ABCD中,以BC长为直径画半圆,则阴影部分的面积是 （）

A.9
B.6
C.3
D.12

10.A 解析:设AC与半圆交于点E,半圆的圆心为O,连接BE,OE.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠OCE=45°.
∵OE=OC,
∴∠OEC=∠OCE=45°,
∴∠EOC=90°,
∴OE垂直平分BC,
∴BE=CE,
∴$S_{弓形BE}=S_{弓形CE}$,
∴$S_{阴影}=S_{△ ABE}=S_{△ ABC}-S_{△ BCE}=\dfrac{1}{2}×6×6-\dfrac{1}{2}×6×3=9$,故选A.

【分析】
要计算阴影部分的面积，需利用正方形和半圆的性质，通过辅助线转化不规则阴影的面积。首先设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为BC中点O，连接BE、OE；利用正方形的内角为45°，结合半圆半径相等的性质，可推出弓形BE与弓形CE的面积相等，进而将阴影部分面积转化为规则三角形的面积，再通过三角形面积公式计算即可。
【解析】
设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为BC中点O，连接BE、OE。
1. 因为四边形ABCD是正方形，所以∠ACB=45°，且BC=AB=6。
2. 由于OE=OC（均为半圆的半径），△OCE是等腰三角形，故∠OEC=∠OCE=45°，因此∠EOC=180°-45°-45°=90°，即OE⊥BC；又O是BC中点，所以OE垂直平分BC，得BE=CE，因此弓形BE的面积等于弓形CE的面积。
3. 由此可知，阴影部分的面积等于△ABE的面积，而△ABE的面积=△ABC的面积 - △BCE的面积。
4. 计算△ABC的面积：$\frac{1}{2}×AB×BC=\frac{1}{2}×6×6=18$；
计算△BCE的面积：$\frac{1}{2}×BC×OE=\frac{1}{2}×6×3=9$（OE是半圆半径，长度为3）；
5. 阴影部分面积=18-9=9。
【答案】
9
【知识点】
正方形性质、三角形面积、圆的面积
【点评】
本题运用转化思想（割补法），将不规则阴影面积转化为规则图形的面积差，关键是通过辅助线找到弓形面积的等量关系，简化计算，是几何面积计算的典型题型。
【难度系数】
0.5

11. (滨州中考)如图,某玩具品牌的标志由半径为 1 cm 的三个等圆构成,且三个等圆$\odot O_{1}$,$\odot O_{2}$,$\odot O_{3}$相互经过彼此的圆心,则图中三个阴影部分的面积之和为（）

A.$\dfrac{1}{4}π\ \mathrm{cm}^{2}$
B.$\dfrac{1}{3}π\ \mathrm{cm}^{2}$
C.$\dfrac{1}{2}π\ \mathrm{cm}^{2}$
D.$π\ \mathrm{cm}^{2}$

11.C 解析:根据圆的对称性可知,图中三个阴影部分的面积相等.如图,连接$AO_1,AO_2,O_1O_2$,则$AO_1=AO_2=O_1O_2$,$△ AO_1O_2$是等边三角形,
∴∠$AO_1O_2$=60°,弓形$AO_1,AO_2,O_1O_2$的面积相等,
∴上面的阴影部分的面积=$S_{扇形O_2AO_1}=\dfrac{60π×1^2}{360}=\dfrac{1}{6}π(\mathrm{cm^2})$,
∴图中三个阴影部分的面积之和=$3×\dfrac{1}{6}π=\dfrac{1}{2}π(\mathrm{cm^2})$.故选C.

【分析】首先观察图形，三个等圆半径均为1cm且互相经过彼此圆心，利用圆的对称性可知三个阴影部分面积相等。接下来，通过连接圆的交点与圆心，构造等边三角形，确定单个阴影部分对应的扇形圆心角，再利用扇形面积公式计算单个阴影面积，最后乘以3得到总面积。
【解析】因为三个圆是半径为1cm的等圆，且互相经过彼此的圆心，所以任意两个圆心间的距离等于半径，即$O_1O_2=O_1A=O_2A=1\mathrm{cm}$，故$△ AO_1O_2$是等边三角形，其内角$∠ AO_1O_2=60°$。根据圆的对称性，三个阴影部分面积相等，取其中一个阴影部分（如上方阴影），其面积等于圆心角为$60°$、半径为1cm的扇形面积。根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，代入$n=60$，$r=1$，得单个阴影面积为$\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}\mathrm{cm^2}$。因此三个阴影部分面积之和为$3×\frac{π}{6}=\frac{1}{2}π\mathrm{cm^2}$。
【答案】C
【知识点】圆的对称性，扇形面积计算，等边三角形性质
【点评】本题通过图形转化，将不规则阴影面积转化为规则扇形面积，核心是利用对称性和等边三角形的性质确定扇形圆心角，考查几何面积计算的转化思想，属于中等难度的几何题。
【难度系数】0.5

12. (朝阳中考) 如图,点 A,B,C 是$\odot O$上的点,连接 A B, A C, B C, 且$∠ ACB=15°$,过点 O 作$OD// AB$交$\odot O$于点 D,连接 AD,BD,已知$\odot O$半径为 2,则图中阴影面积为.

12.$\dfrac{π}{3}$ 解析:
∵∠ACB=15°,
∴∠AOB=30°.
∵OD//AB,
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ABO}$,
∴$S_{阴影}=S_{扇形AOB}=\dfrac{30π×2^2}{360}=\dfrac{π}{3}$.

【分析】
要计算阴影部分面积，首先利用圆周角定理求出圆心角∠AOB的度数；再根据平行线的性质得到三角形面积相等，将不规则的阴影面积转化为规则扇形的面积，最后用扇形面积公式计算即可。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，且∠ACB=15°，因此∠AOB=2×∠ACB=2×15°=30°。
2. 因为OD//AB，所以△ABD和△ABO以AB为底时，高均为两条平行线OD与AB之间的距离，即两三角形同底等高，故$S_{△ ABD}=S_{△ ABO}$。
3. 结合图形可知，阴影部分的面积等于$S_{△ ABD}$，进一步转化得$S_{阴影}=S_{扇形AOB}$。
4. 扇形面积公式为$S_{扇形}=\dfrac{nπ r^2}{360}$，其中圆心角n=30°，半径r=2，代入得：
$S_{阴影}=\dfrac{30π×2^2}{360}=\dfrac{120π}{360}=\dfrac{π}{3}$。
【答案】
$\dfrac{π}{3}$
【知识点】
圆周角定理，扇形面积计算，平行线性质
【点评】
本题通过几何性质将不规则阴影面积转化为扇形面积，考查了圆周角定理、平行线的性质及扇形面积公式的应用，需要学生具备图形转化能力，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5

13. (2025·聊城模拟)半圆的直径AB在直尺上所对的刻度如图所示,点C在半圆上,且$\widehat{AC}=2\widehat{BC}$,连接AC,取AC的中点D,连接BD,则图中阴影部分的面积为.

13.$\dfrac{25π}{6}$ 解析:如图,取AB的中点O,连接OD,OC,BC,由题意得,AB=16-6=10,
∴OA=OB=5.
∵点D为AC的中点,
∴OD//BC,
∴$S_{△ BCO}=S_{△ BCD}$,
∴$S_{阴影}=S_{扇形BCO}$.
∵$\overset{\frown}{AC}=2\overset{\frown}{BC}$,
∴∠AOC=2∠BOC.
∵∠AOC+∠BOC=180°,
∴∠BOC=60°,
∴$S_{阴影}=S_{扇形BCO}=\dfrac{60π×5^2}{360}=\dfrac{25π}{6}$.

【分析】
要解决阴影部分面积问题，首先根据直尺刻度确定半圆直径长度，得到半径；再利用弧长与圆心角的关系求出扇形的圆心角；接着通过三角形中位线性质转化阴影部分面积，将不规则阴影面积转化为规则扇形面积，最后用扇形面积公式计算。
【解析】
1. 求半圆直径与半径：由图可知，点A对应刻度6，点B对应刻度16，因此半圆直径$AB=16-6=10$，半圆的半径$OA=OB=OC=\frac{AB}{2}=5$。
2. 求圆心角：因为$\widehat{AC}=2\widehat{BC}$，同圆中弧长比等于对应圆心角的比，所以$∠ AOC=2∠ BOC$。又$∠ AOC+∠ BOC=180°$，代入得$2∠ BOC+∠ BOC=180°$，解得$∠ BOC=60°$。
3. 转化阴影面积：取AB的中点O，连接OD、OC、BC。因为D是AC的中点，O是AB的中点，所以OD是$△ ABC$的中位线，故$OD// BC$，则$△ BCO$与$△ BCD$同底等高，面积相等，因此$S_{阴影}=S_{扇形BCO}$。
4. 计算扇形面积：根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），代入$n=60°$，$r=5$，得$S_{阴影}=\frac{60π×5^2}{360}=\frac{25π}{6}$。
【答案】
$\dfrac{25π}{6}$
【知识点】
扇形面积计算、圆的性质、三角形中位线
【点评】
本题将直尺刻度、圆的弧长关系与三角形中位线结合，通过面积转化把不规则阴影面积转化为规则扇形面积，是圆中面积计算的典型题型，需掌握面积转化的核心方法。
【难度系数】
0.5