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18. 定义：我们把不等式组解集中的整数叫做这个不等式组的“核”，把解集中整数的个数称为该不等式组的“核数”.例如，不等式组$\begin{cases} x ＞ -1, \\ x ≤ 3 \end{cases}$的解集中存在0，1，2，3这4个“核”，这个不等式组的“核数”为4.
（1）下列不等式组中，“核数”为2的有________（填序号）；
①$\begin{cases} x ＞ -1 \\ x ≤ 1 \end{cases}$ ②$\begin{cases} x ＞ 0 \\ x ≥ 2 \end{cases}$ ③$\begin{cases} x ＞ 1 \\ x ≤ \dfrac{5}{2} \end{cases}$
（2）不等式组$\begin{cases} x ＞ k, \\ x ≤ k+3 \end{cases}$的“核数”为$a$，不等式组$\begin{cases} x ≥ 1-k, \\ x ≤ 2k \end{cases}$的“核数”为$b$.
①若$a = b$，求整数$k$的值；
②若关于$m$、$y$、$z$的三元一次方程组$\begin{cases} m + y + z = a, \\ 3m + 2y + z = b, \\ 2m - y - z = 0 \end{cases}$的解都是正数，直接写出整数$k$的值.
（1）下列不等式组中，“核数”为2的有________（填序号）；
①$\begin{cases} x ＞ -1 \\ x ≤ 1 \end{cases}$ ②$\begin{cases} x ＞ 0 \\ x ≥ 2 \end{cases}$ ③$\begin{cases} x ＞ 1 \\ x ≤ \dfrac{5}{2} \end{cases}$
（2）不等式组$\begin{cases} x ＞ k, \\ x ≤ k+3 \end{cases}$的“核数”为$a$，不等式组$\begin{cases} x ≥ 1-k, \\ x ≤ 2k \end{cases}$的“核数”为$b$.
①若$a = b$，求整数$k$的值；
②若关于$m$、$y$、$z$的三元一次方程组$\begin{cases} m + y + z = a, \\ 3m + 2y + z = b, \\ 2m - y - z = 0 \end{cases}$的解都是正数，直接写出整数$k$的值.
答案
(1)①
(2)①$\because k+3-k=3$，
$\therefore$ 不等式组$\begin{cases}x＞k, \\x≤ k+3\end{cases}$的“核数”为3；
故 $a=3$.
$\therefore a=b=3$，
$\therefore$ 不等式组$\begin{cases}x≥ 1-k, \\x≤ 2k\end{cases}$的“核数”为3，
$\therefore 3＞2k-(1-k)≥ 2$，
解得$\dfrac{4}{3}＞k≥ 1$，
则整数 $k$ 的值为 1.
②$k$ 的值为 2.
(2)①$\because k+3-k=3$，
$\therefore$ 不等式组$\begin{cases}x＞k, \\x≤ k+3\end{cases}$的“核数”为3；
故 $a=3$.
$\therefore a=b=3$，
$\therefore$ 不等式组$\begin{cases}x≥ 1-k, \\x≤ 2k\end{cases}$的“核数”为3，
$\therefore 3＞2k-(1-k)≥ 2$，
解得$\dfrac{4}{3}＞k≥ 1$，
则整数 $k$ 的值为 1.
②$k$ 的值为 2.
解析
【分析】
首先明确题目中“核”“核数”的定义：不等式组解集中的整数是“核”，整数的个数就是“核数”。
（1）分别求出3个不等式组的解集，数出解集中整数的个数，筛选出核数为2的即可。
（2）①先分析第一个不等式组的解集长度，确定其核数$a$的值，由$a=b$可得第二个不等式组的核数也为3，再根据核数为3的条件列关于$k$的不等式，求解后取整数$k$即可；②先解三元一次方程组，根据解都是正数得到$a$、$b$的取值关系，再结合核数的定义求出对应的整数$k$。
【解析】
（1）分别计算三个不等式组的核数：
①解不等式组$\begin{cases} x＞-1 \\ x≤1 \end{cases}$，解集为$-1＜x≤1$，整数解为0、1，核数为2，符合要求；
②解不等式组$\begin{cases} x＞0 \\ x≥2 \end{cases}$，解集为$x≥2$，整数解有无数个，核数不为2，不符合要求；
③解不等式组$\begin{cases} x＞1 \\ x≤\dfrac{5}{2} \end{cases}$，解集为$1＜x≤2.5$，整数解只有2，核数为1，不符合要求；
因此核数为2的是①。
（2）①对于不等式组$\begin{cases}x＞k \\x≤k+3\end{cases}$，解集长度为$(k+3)-k=3$，解集中的整数为$k+1、k+2、k+3$，共3个，因此核数$a=3$。
已知$a=b$，所以$b=3$，即不等式组$\begin{cases}x≥1-k \\x≤2k\end{cases}$的核数为3。
若核数为3，则解集长度满足$2≤2k-(1-k)＜3$，
化简得：$2≤3k-1＜3$，
不等式各边加1得：$3≤3k＜4$，
各边除以3得：$1≤k＜\dfrac{4}{3}$，
所以整数$k$的值为1。
②解三元一次方程组$\begin{cases} m + y + z = a \quad(1)\\ 3m + 2y + z = b \quad(2)\\ 2m - y - z = 0 \quad(3) \end{cases}$
将(1)+(3)得：$3m=a$，解得$m=\dfrac{a}{3}$；
将(2)-(1)得：$2m+y=b-a$，把$m=\dfrac{a}{3}$代入得：$y=b-\dfrac{5a}{3}$；
把$m=\dfrac{a}{3}$代入(3)得：$y+z=\dfrac{2a}{3}$，则$z=\dfrac{7a}{3}-b$。
由①可知$a=3$，代入得$m=1＞0$（满足正数要求），结合$y＞0$、$z＞0$可得：
$\begin{cases}b-5＞0 \\7-b＞0 \end{cases}$，解得$5＜b＜7$，因为$b$是核数为正整数，所以$b=6$。
即不等式组$\begin{cases}x≥1-k \\x≤2k\end{cases}$的核数为6，因此解集长度满足$5≤3k-1＜6$，
化简得$6≤3k＜7$，解得$2≤k＜\dfrac{7}{3}$，所以整数$k$的值为2。
【答案】
(1)①
(2)①整数$k$的值为1；②整数$k$的值为2
【知识点】
一元一次不等式组的整数解，三元一次方程组的解法，新定义应用
【点评】
本题结合新定义考查不等式组整数解的应用，同时融合了三元一次方程组的求解，需要先准确理解“核”“核数”的定义，再结合不等式组解集的长度判断整数解的个数，解题时注意整数的限制条件，注重对知识综合应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
首先明确题目中“核”“核数”的定义：不等式组解集中的整数是“核”，整数的个数就是“核数”。
（1）分别求出3个不等式组的解集，数出解集中整数的个数，筛选出核数为2的即可。
（2）①先分析第一个不等式组的解集长度，确定其核数$a$的值，由$a=b$可得第二个不等式组的核数也为3，再根据核数为3的条件列关于$k$的不等式，求解后取整数$k$即可；②先解三元一次方程组，根据解都是正数得到$a$、$b$的取值关系，再结合核数的定义求出对应的整数$k$。
【解析】
（1）分别计算三个不等式组的核数：
①解不等式组$\begin{cases} x＞-1 \\ x≤1 \end{cases}$，解集为$-1＜x≤1$，整数解为0、1，核数为2，符合要求；
②解不等式组$\begin{cases} x＞0 \\ x≥2 \end{cases}$，解集为$x≥2$，整数解有无数个，核数不为2，不符合要求；
③解不等式组$\begin{cases} x＞1 \\ x≤\dfrac{5}{2} \end{cases}$，解集为$1＜x≤2.5$，整数解只有2，核数为1，不符合要求；
因此核数为2的是①。
（2）①对于不等式组$\begin{cases}x＞k \\x≤k+3\end{cases}$，解集长度为$(k+3)-k=3$，解集中的整数为$k+1、k+2、k+3$，共3个，因此核数$a=3$。
已知$a=b$，所以$b=3$，即不等式组$\begin{cases}x≥1-k \\x≤2k\end{cases}$的核数为3。
若核数为3，则解集长度满足$2≤2k-(1-k)＜3$，
化简得：$2≤3k-1＜3$，
不等式各边加1得：$3≤3k＜4$，
各边除以3得：$1≤k＜\dfrac{4}{3}$，
所以整数$k$的值为1。
②解三元一次方程组$\begin{cases} m + y + z = a \quad(1)\\ 3m + 2y + z = b \quad(2)\\ 2m - y - z = 0 \quad(3) \end{cases}$
将(1)+(3)得：$3m=a$，解得$m=\dfrac{a}{3}$；
将(2)-(1)得：$2m+y=b-a$，把$m=\dfrac{a}{3}$代入得：$y=b-\dfrac{5a}{3}$；
把$m=\dfrac{a}{3}$代入(3)得：$y+z=\dfrac{2a}{3}$，则$z=\dfrac{7a}{3}-b$。
由①可知$a=3$，代入得$m=1＞0$（满足正数要求），结合$y＞0$、$z＞0$可得：
$\begin{cases}b-5＞0 \\7-b＞0 \end{cases}$，解得$5＜b＜7$，因为$b$是核数为正整数，所以$b=6$。
即不等式组$\begin{cases}x≥1-k \\x≤2k\end{cases}$的核数为6，因此解集长度满足$5≤3k-1＜6$，
化简得$6≤3k＜7$，解得$2≤k＜\dfrac{7}{3}$，所以整数$k$的值为2。
【答案】
(1)①
(2)①整数$k$的值为1；②整数$k$的值为2
【知识点】
一元一次不等式组的整数解，三元一次方程组的解法，新定义应用
【点评】
本题结合新定义考查不等式组整数解的应用，同时融合了三元一次方程组的求解，需要先准确理解“核”“核数”的定义，再结合不等式组解集的长度判断整数解的个数，解题时注意整数的限制条件，注重对知识综合应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
