8 如果$(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63$,那么$(a+b)^{2}=$.

16 【解析】由题意,得$(2a+2b)^2-1=63,\therefore 4(a+b)^2=64$,即$(a+b)^2=16.$

【分析】
这道题可利用整体思想和平方差公式求解。首先观察等式左边的两个因式，符合平方差公式的结构特征，把(2a+2b)看作一个整体，应用平方差公式展开后简化计算，进而求出(a+b)²的值。
【解析】
解：将(2a+2b)看作一个整体，根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，对等式左边展开：
$(2a+2b+1)(2a+2b-1)=(2a+2b)^2 - 1^2$
已知该式等于63，因此：
$(2a+2b)^2 - 1 = 63$
移项得：$(2a+2b)^2 = 64$
因为$2a+2b=2(a+b)$，所以$(2(a+b))^2=4(a+b)^2$，代入上式：
$4(a+b)^2=64$
两边同时除以4，得：$(a+b)^2=16$
【答案】
16
【知识点】
平方差公式、整体思想、代数式求值
【点评】
本题考查平方差公式的应用，通过整体代换简化运算，避免了分别求解a、b的繁琐步骤，体现了代数运算中的整体思想，是初中整式乘法的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7

9 已知 $x+\dfrac{1}{x}=3$,求下面各式的值：
(1) $(x-\dfrac{1}{x})^2$;
(2) $x^4+\dfrac{1}{x^4}$.

(1) $\because (x+\dfrac{1}{x})^2=x^2+2+\dfrac{1}{x^2},\therefore (x-\dfrac{1}{x})^2=x^2-2+\dfrac{1}{x^2}=(x+\dfrac{1}{x})^2-4=3^2-4=5$
(2) $\because (x-\dfrac{1}{x})^2=x^2-2+\dfrac{1}{x^2},\therefore x^2+\dfrac{1}{x^2}=(x-\dfrac{1}{x})^2+2=5+2=7. \because (x^2+\dfrac{1}{x^2})^2=x^4+2+\dfrac{1}{x^4},\therefore x^4+\dfrac{1}{x^4}=(x^2+\dfrac{1}{x^2})^2-2=7^2-2=47$

【分析】
这道题是利用完全平方公式的变形求代数式的值，已知$x+\dfrac{1}{x}=3$，无需直接求解$x$，而是通过完全平方公式的结构特征，将所求式子转化为与已知式子相关的形式，运用整体代入思想简化计算。第(1)问中，$(x-\dfrac{1}{x})^2$与$(x+\dfrac{1}{x})^2$仅中间项符号不同，两者相差4，可直接用已知值计算；第(2)问需先求出$x^2+\dfrac{1}{x^2}$，再对其平方后减2，即可得到$x^4+\dfrac{1}{x^4}$的值。
【解析】
(1) 根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，可得：
$(x+\dfrac{1}{x})^2=x^2+2· x·\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=x^2+2+\dfrac{1}{x^2}$，
$(x-\dfrac{1}{x})^2=x^2-2· x·\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=x^2-2+\dfrac{1}{x^2}$，
因此$(x-\dfrac{1}{x})^2=(x+\dfrac{1}{x})^2-4$，
将$x+\dfrac{1}{x}=3$代入得：$(x-\dfrac{1}{x})^2=3^2-4=9-4=5$。
(2) 由(1)知$(x-\dfrac{1}{x})^2=x^2-2+\dfrac{1}{x^2}=5$，故$x^2+\dfrac{1}{x^2}=5+2=7$，
再根据完全平方公式：$(x^2+\dfrac{1}{x^2})^2=x^4+2· x^2·\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^4}=x^4+2+\dfrac{1}{x^4}$，
因此$x^4+\dfrac{1}{x^4}=(x^2+\dfrac{1}{x^2})^2-2$，
将$x^2+\dfrac{1}{x^2}=7$代入得：$x^4+\dfrac{1}{x^4}=7^2-2=49-2=47$。
【答案】
(1) $5$；(2) $47$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题是完全平方公式的典型变形应用，核心是利用公式的结构特征，通过整体代入避免求解复杂的$x$值，简化计算过程，属于代数运算的基础题型，能有效考查学生对公式的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.6

10 已知算式$-2×(3+1)×(3^{2}+1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)×(3^{32}+1)-1$.
(1) 计算出算式的结果；
(2) 结果的个位数字是几？

(1) 原式$=-(3-1)×(3+1)×(3^2+1)×(3^4+1)×(3^8+1)×(3^{16}+1)×(3^{32}+1)-1=-(3^2-1)×(3^2+1)×(3^4+1)×(3^8+1)×(3^{16}+1)×(3^{32}+1)-1=-3^{64}$
(2) 个位数字是1

【分析】
本题可通过构造平方差公式简化计算：观察原式中的-2，可将其变形为-(3-1)，使原式转化为多个平方差公式的乘积形式，逐步计算后处理剩余的-1即可得到结果；对于结果的个位数字，需先找出3的幂次的个位数字循环规律，再根据指数判断对应个位。
【解析】
(1) 先将原式中的-2变形为-(3-1)，利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$逐步计算：
$\begin{aligned}原式&=-(3-1)×(3+1)×(3^2+1)×(3^4+1)×\dots×(3^{32}+1)-1\\&=-(3^2 -1)×(3^2 +1)×\dots×(3^{32}+1)-1\\&=-(3^4 -1)×\dots×(3^{32}+1)-1\\&\dots\\&=-(3^{64} -1)-1\\&=-3^{64} +1 -1\\&=-3^{64}\end{aligned}$
(2) 观察3的幂次的个位数字规律：$3^1=3$（个位3），$3^2=9$（个位9），$3^3=27$（个位7），$3^4=81$（个位1），$3^5=243$（个位3），可见个位数字以“3、9、7、1”为周期循环，周期为4。
因为$64÷4=16$，余数为0，所以$3^{64}$的个位数字与$3^4$的个位数字相同，为1，因此$-3^{64}$的个位数字为1。
【答案】
(1) $-3^{64}$；(2) 1
【知识点】
平方差公式，幂的运算，数字规律探究
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活运用，通过构造公式简化复杂乘积运算，同时结合幂的个位数字的周期性规律解决个位问题，解题思路清晰，需熟练掌握平方差公式及数字循环规律的应用。
【难度系数】
0.5

11 先阅读下面的内容,再解决问题.
例题:若 $m^{2}+2mn+2n^{2}-6n+9=0$,求 $m$ 和 $n$ 的值.
解: $\because m^{2}+2mn+2n^{2}-6n+9=0$,
$\therefore (m^{2}+2mn+n^{2})+(n^{2}-6n+9)=0.$
$\therefore (m+n)^{2}+(n-3)^{2}=0.$
$\therefore m+n=0,n-3=0.$
$\therefore m=-3,n=3.$
问题:
(1) 若 $x^{2}+2y^{2}-2xy+4y+4=0$,求 $x^{2}+y^{2}$ 的值;
(2) 已知等腰三角形 $ABC$ 的三边长分别为 $a,b,c$,其中 $a,b$ 满足 $a^{2}+b^{2}+45=12a+6b$,求$△ ABC$ 的周长.

(1) 由$x^2+2y^2-2xy+4y+4=0$,得$(x^2-2xy+y^2)+(y^2+4y+4)=0$,即$(x-y)^2+(y+2)^2=0. \therefore x-y=0,y+2=0. \therefore x=y=-2. \therefore x^2+y^2=(-2)^2+(-2)^2=4+4=8$
(2) 由$a^2+b^2+45=12a+6b$,得$(a^2-12a+36)+(b^2-6b+9)=0$,即$(a-6)^2+(b-3)^2=0. \therefore a-6=0,b-3=0$,解得$a=6,b=3$. ① 若$c=6$,则$△ ABC$的周长为$6+6+3=15$;② 若$c=3,\because 3+3=6,\therefore$ 不能构成三角形,此种情况不存在.综上所述,$△ ABC$的周长是15

【分析】本题通过配方将给定等式转化为完全平方和为0的形式，利用平方的非负性求出未知数的值；再根据问题要求，计算代数式的值或结合等腰三角形性质、三角形三边关系解决问题，关键是正确配方及验证三角形三边。
【解析】
(1) 对等式$x^2 + 2y^2 - 2xy + 4y + 4 = 0$分组配方：
$\begin{aligned}x^2 + 2y^2 - 2xy + 4y + 4&=0\\(x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 + 4y + 4)&=0\\(x - y)^2 + (y + 2)^2&=0\end{aligned}$
因为平方数非负，即$(x - y)^2 ≥ 0$，$(y + 2)^2 ≥ 0$，要使和为0，则：
$x - y = 0$，$y + 2 = 0$，解得$y = -2$，$x = -2$。
因此$x^2 + y^2 = (-2)^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8$。
(2) 对等式$a^2 + b^2 + 45 = 12a + 6b$移项配方：
$\begin{aligned}a^2 - 12a + b^2 - 6b + 45&=0\\(a^2 - 12a + 36) + (b^2 - 6b + 9)&=0\\(a - 6)^2 + (b - 3)^2&=0\end{aligned}$
同理，平方和为0，则$a - 6 = 0$，$b - 3 = 0$，解得$a = 6$，$b = 3$。
等腰三角形$ABC$的三边长为$a,b,c$，分情况讨论：
① 若$c = 6$，则三边长为6,3,6，满足三角形三边关系（3+6＞6），周长为$6 + 6 + 3 = 15$；
② 若$c = 3$，则三边长为6,3,3，因为$3 + 3 = 6$，不满足三角形三边关系，此种情况不存在。
综上，$△ ABC$的周长为15。
【答案】(1) 8；(2) 15
【知识点】完全平方公式、非负数的性质、三角形三边关系
【点评】本题考查配方思想的应用，利用平方的非负性求未知数，结合等腰三角形性质和三角形三边关系解题，需注意配方的分组技巧及三角形三边的验证，避免漏解或错解。
【难度系数】0.6