1 若$\dfrac{a}{b}=\dfrac{4}{3}$,则$\dfrac{a-b}{b}$的值为（）

A.$\dfrac{1}{3}$
B.$-\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$-\dfrac{1}{4}$

1. A

【分析】这道题考查比例的变形运算，我们可以将所求分式$\dfrac{a-b}{b}$拆分简化，再代入已知条件计算，快速得到结果。
【解析】首先对所求分式变形：$\dfrac{a-b}{b}=\dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{b}=\dfrac{a}{b}-1$。已知$\dfrac{a}{b}=\dfrac{4}{3}$，将其代入上式得：$\dfrac{4}{3}-1=\dfrac{1}{3}$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】比例的性质、分式化简
【点评】本题是基础的比例变形题，通过拆分分式简化计算，属于代数入门类题目，难度较低。
【难度系数】0.8

2 如果$\dfrac{x+y}{y}=\dfrac{5}{4}$,那么$\dfrac{y}{x}=$.

2. 4

【分析】
这道题考查比例的基本变形，解题思路是先拆分已知等式左边的分式，简化后求出x与y的比值，再通过倒数关系得到y/x的值。具体步骤：第一步，将等式左边的分式(x+y)/y拆分为x/y +1；第二步，代入已知等式计算出x/y；第三步，根据倒数关系求出y/x。
【解析】
已知$\dfrac{x+y}{y}=\dfrac{5}{4}$，对等式左边拆分变形：
$\dfrac{x+y}{y}=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{y}=\dfrac{x}{y}+1$
因此原等式转化为：$\dfrac{x}{y}+1=\dfrac{5}{4}$
移项计算得：$\dfrac{x}{y}=\dfrac{5}{4}-1=\dfrac{1}{4}$
因为$\dfrac{y}{x}$是$\dfrac{x}{y}$的倒数，所以$\dfrac{y}{x}=1÷\dfrac{1}{4}=4$
【答案】
4
【知识点】
比例的性质、分式运算
【点评】
本题属于基础的比例变形题，核心是利用分式拆分简化已知条件，再结合倒数关系求解，难度较低，适合巩固比例相关的基础知识点。
【难度系数】
0.8

3 已知$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$，求证：$\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{c+d}{d}$。

3. 设$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k$，则$a = bk$，$c = dk$。$\therefore \dfrac{a+b}{b} = \dfrac{bk+b}{b} = \dfrac{b(k+1)}{b}=k+1$，$\dfrac{c+d}{d} = \dfrac{dk+d}{d} = \dfrac{d(k+1)}{d}=k+1$。$\therefore \dfrac{a+b}{b}=\dfrac{c+d}{d}$

【分析】
要证明$\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{c+d}{d}$，已知$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$，可采用设参数$k$的方法，将未知的$a$、$c$用$b$、$d$和$k$表示，代入待证等式的左右两边，若两边结果相等即可得证，这种方法能简化比例式的运算，避免复杂变形。
【解析】
证明：设$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k$，则$a = bk$，$c = dk$。
$\therefore \dfrac{a+b}{b} = \dfrac{bk + b}{b} = \dfrac{b(k + 1)}{b} = k + 1$，
$\dfrac{c + d}{d} = \dfrac{dk + d}{d} = \dfrac{d(k + 1)}{d} = k + 1$，
$\therefore \dfrac{a+b}{b}=\dfrac{c+d}{d}$。
【答案】
设$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k$，则$a = bk$，$c = dk$。$\therefore \dfrac{a+b}{b} = \dfrac{bk+b}{b} = \dfrac{b(k+1)}{b}=k+1$，$\dfrac{c+d}{d} = \dfrac{dk+d}{d} = \dfrac{d(k+1)}{d}=k+1$。$\therefore \dfrac{a+b}{b}=\dfrac{c+d}{d}$
【知识点】
比例的性质、参数法
【点评】
本题是比例性质的基础证明题，设参数法是解决比例问题的常用技巧，通过将比例转化为整式运算，直观易懂，适合巩固比例的合比性质，属于基础题型。
【难度系数】
0.7

4 (1) 分别求出当 $x=-6,-5,-4,-\dfrac{1}{5},-\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{5},4,5,6$ 时 $x^2+\dfrac{1}{x^2}$ 的值.

(2) 由表可知,当 $x^2+\dfrac{1}{x^2}=9\dfrac{1}{9}$ 时,$x$ 的值为; 当 $x^2+\dfrac{1}{x^2}=49\dfrac{1}{49}$ 时,$x$ 的值为.
(3) 解关于 $x$ 的方程 $x^2+\dfrac{1}{x^2}=n^2+\dfrac{1}{n^2}$.
(4) 根据以上探索,提出关于 $x^2+\dfrac{1}{x^2}$ 的值的一些猜想.

4. (1) $36\dfrac{1}{36}\quad 25\dfrac{1}{25}\quad 16\dfrac{1}{16}\quad 25\dfrac{1}{25}\quad 36\dfrac{1}{36}\quad 36\dfrac{1}{36}\quad 25\dfrac{1}{25}\quad 16\dfrac{1}{16}\quad 25\dfrac{1}{25}\quad 36\dfrac{1}{36}$
(2) $\pm3,\pm\dfrac{1}{3}\quad \pm7,\pm\dfrac{1}{7}$
(3) $\because x^2+\dfrac{1}{x^2}=n^2+\dfrac{1}{n^2}$，$\therefore x^2+\dfrac{1}{x^2}+2=n^2+\dfrac{1}{n^2}+2$。$\therefore (x+\dfrac{1}{x})^2=(n+\dfrac{1}{n})^2$。$\therefore x+\dfrac{1}{x}=n+\dfrac{1}{n}$或$x+\dfrac{1}{x}+n+\dfrac{1}{n}=0$。当$x+\dfrac{1}{x}=n+\dfrac{1}{n}$时，$x-n+\dfrac{n-x}{xn}=0$，即$(x-n)(1-\dfrac{1}{xn})=0$，解得$x=n$或$x=\dfrac{1}{n}$；当$x+\dfrac{1}{x}+n+\dfrac{1}{n}=0$时，即$(x+n)(1+\dfrac{1}{xn})=0$，解得$x=-n$或$x=-\dfrac{1}{n}$。$\therefore$ 原方程的解为$x=\pm n$或$x=\pm\dfrac{1}{n}$
(4) ① $x^2+\dfrac{1}{x^2}$的最小值为2；② 当$x=\pm m,\pm\dfrac{1}{m}(m≠0)$时，$x^2+\dfrac{1}{x^2}$的值相同（合理即可）

【分析】
本题分为四个小问题，解题思路如下：
1. 对于(1)，将给定的x值代入代数式$x^2+\frac{1}{x^2}$，利用平方的非负性，负数的平方等于其相反数的平方，互为相反数的x代入后结果相同，直接计算即可；
2. 对于(2)，根据(1)的计算结果，反向寻找满足对应等式的x值，注意x的正负性和倒数关系；
3. 对于(3)，利用完全平方公式变形$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 - 2$，将方程转化为关于$x+\frac{1}{x}$的方程，再通过因式分解求解分式方程；
4. 对于(4)，结合前面的计算结果，观察$x^2+\frac{1}{x^2}$的取值规律，提出合理猜想。
【解析】
(1) 分别将各x值代入$x^2+\frac{1}{x^2}$计算：
$x=-6$时，$(-6)^2+\frac{1}{(-6)^2}=36+\frac{1}{36}=36\frac{1}{36}$；
$x=-5$时，$(-5)^2+\frac{1}{(-5)^2}=25+\frac{1}{25}=25\frac{1}{25}$；
$x=-4$时，$(-4)^2+\frac{1}{(-4)^2}=16+\frac{1}{16}=16\frac{1}{16}$；
$x=-\frac{1}{5}$时，$(-\frac{1}{5})^2+\frac{1}{(-\frac{1}{5})^2}=\frac{1}{25}+25=25\frac{1}{25}$；
$x=-\frac{1}{6}$时，$(-\frac{1}{6})^2+\frac{1}{(-\frac{1}{6})^2}=\frac{1}{36}+36=36\frac{1}{36}$；
$x=\frac{1}{6}$时，$(\frac{1}{6})^2+\frac{1}{(\frac{1}{6})^2}=\frac{1}{36}+36=36\frac{1}{36}$；
$x=\frac{1}{5}$时，$(\frac{1}{5})^2+\frac{1}{(\frac{1}{5})^2}=\frac{1}{25}+25=25\frac{1}{25}$；
$x=4$时，$4^2+\frac{1}{4^2}=16+\frac{1}{16}=16\frac{1}{16}$；
$x=5$时，$5^2+\frac{1}{5^2}=25+\frac{1}{25}=25\frac{1}{25}$；
$x=6$时，$6^2+\frac{1}{6^2}=36+\frac{1}{36}=36\frac{1}{36}$。
(2) 由(1)的结果可知：
$9\frac{1}{9}=3^2+\frac{1}{3^2}=(-3)^2+\frac{1}{(-3)^2}=(\frac{1}{3})^2+\frac{1}{(\frac{1}{3})^2}=(-\frac{1}{3})^2+\frac{1}{(-\frac{1}{3})^2}$，故x的值为$\pm3,\pm\frac{1}{3}$；
$49\frac{1}{49}=7^2+\frac{1}{7^2}=(-7)^2+\frac{1}{(-7)^2}=(\frac{1}{7})^2+\frac{1}{(\frac{1}{7})^2}=(-\frac{1}{7})^2+\frac{1}{(-\frac{1}{7})^2}$，故x的值为$\pm7,\pm\frac{1}{7}$。
(3) 解方程$x^2+\frac{1}{x^2}=n^2+\frac{1}{n^2}$：
利用完全平方公式变形得$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 - 2$，同理$n^2+\frac{1}{n^2}=(n+\frac{1}{n})^2 - 2$，代入方程得：
$(x+\frac{1}{x})^2 - 2=(n+\frac{1}{n})^2 - 2$，化简得$(x+\frac{1}{x})^2=(n+\frac{1}{n})^2$，开平方得：
$x+\frac{1}{x}=n+\frac{1}{n}$ 或 $x+\frac{1}{x}=-(n+\frac{1}{n})$。
当$x+\frac{1}{x}=n+\frac{1}{n}$时，整理得$x^2 - (n+\frac{1}{n})x +1=0$，因式分解为$(x-n)(x-\frac{1}{n})=0$，解得$x=n$或$x=\frac{1}{n}$；
当$x+\frac{1}{x}=-(n+\frac{1}{n})$时，整理得$x^2 + (n+\frac{1}{n})x +1=0$，因式分解为$(x+n)(x+\frac{1}{n})=0$，解得$x=-n$或$x=-\frac{1}{n}$。
综上，方程的解为$x=\pm n$或$x=\pm\frac{1}{n}$。
(4) 猜想：
① 对于$x≠0$，$x^2+\frac{1}{x^2}$的最小值为2（当$x=\pm1$时取得）；
② 当$x$取$\pm m,\pm\frac{1}{m}(m≠0)$时，$x^2+\frac{1}{x^2}$的值相等（合理即可）。
【答案】
(1) $36\dfrac{1}{36},25\dfrac{1}{25},16\dfrac{1}{16},25\dfrac{1}{25},36\dfrac{1}{36},36\dfrac{1}{36},25\dfrac{1}{25},16\dfrac{1}{16},25\dfrac{1}{25},36\dfrac{1}{36}$；
(2) $\pm3,\pm\dfrac{1}{3}$；$\pm7,\pm\dfrac{1}{7}$；
(3) $x=\pm n$或$x=\pm\dfrac{1}{n}$；
(4) ① $x^2+\dfrac{1}{x^2}$的最小值为2；② 当$x=\pm m,\pm\dfrac{1}{m}(m≠0)$时，$x^2+\dfrac{1}{x^2}$的值相同（合理即可）。
【知识点】
代数式求值、完全平方公式、分式方程解法、规律探究
【点评】
本题综合考察代数运算、公式变形、分式方程求解及规律总结，难度适中，需要学生熟练掌握代数基础知识并具备观察分析能力。
【难度系数】
0.6