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8 若实数 $k , b$ 是一元二次方程 $x^2+2x=3$ 的两个根,且 $k＜b$,则一次函数 $y=kx+b$ 的图象不经过（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
8. C
解析
【分析】要解决本题，需先求解给定的一元二次方程得到两个根，根据k＜b确定k、b的取值，再利用一次函数y=kx+b中k、b的符号判断函数图象经过的象限，进而确定不经过的象限。
【解析】解：先将一元二次方程整理为标准形式：$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得方程的两个根为$x_1=-3$，$x_2=1$。因为$k＜b$，所以$k=-3$，$b=1$。则一次函数为$y=-3x+1$，其中$k=-3＜0$，$b=1＞0$，根据一次函数图象性质，该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
【答案】C
【知识点】一元二次方程的解；一次函数的图象与性质
【点评】本题综合考查一元二次方程的求解和一次函数图象的性质，解题关键是先确定k、b的取值，再根据k、b的符号判断函数图象所在象限，属于基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】解：先将一元二次方程整理为标准形式：$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得方程的两个根为$x_1=-3$，$x_2=1$。因为$k＜b$，所以$k=-3$，$b=1$。则一次函数为$y=-3x+1$，其中$k=-3＜0$，$b=1＞0$，根据一次函数图象性质，该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
【答案】C
【知识点】一元二次方程的解；一次函数的图象与性质
【点评】本题综合考查一元二次方程的求解和一次函数图象的性质，解题关键是先确定k、b的取值，再根据k、b的符号判断函数图象所在象限，属于基础题型。
【难度系数】0.6
9(易错题)若$(x^{2}+4x-5)^{0}=x^{2}-5x+5$,则$x=$
4
.答案
9. 4
易错分析：9. 忽视零次幂的底数不能为0而致错.
易错分析：9. 忽视零次幂的底数不能为0而致错.
解析
【分析】
要解决这个问题，需牢记零指数幂的核心性质：非零数的零次幂等于1，即$a^0=1$的前提是$a≠0$。解题分两步：①先根据零指数幂的底数不为0，列出限制条件；②令等式右边等于1，解一元二次方程，最后筛选出满足底数不为0的解，即为最终答案。
【解析】
解：根据零指数幂的定义，$(x^2 + 4x -5)^0 =1$的前提是底数不为0，即：
$x^2 +4x -5 ≠0$ ①
同时原方程可转化为：
$x^2 -5x +5 =1$ ②
先解方程②：
移项得：$x^2 -5x +4 =0$
因式分解：$(x-1)(x-4)=0$
解得：$x=1$ 或 $x=4$
再代入①检查底数是否为0：
当$x=1$时，$x^2 +4x -5 =1+4-5=0$，不满足条件，舍去；
当$x=4$时，$x^2 +4x -5 =16+16-5=27≠0$，满足条件。
因此，$x=4$。
【答案】
4
【知识点】
零指数幂，一元二次方程的解法
【点评】
本题为易错题，核心陷阱是忽略零指数幂中“底数不能为0”的隐含条件，若直接解方程得到两个解，会因未筛选而出错，需牢记零指数幂的定义前提，避免此类错误。
【难度系数】
0.4
要解决这个问题，需牢记零指数幂的核心性质：非零数的零次幂等于1，即$a^0=1$的前提是$a≠0$。解题分两步：①先根据零指数幂的底数不为0，列出限制条件；②令等式右边等于1，解一元二次方程，最后筛选出满足底数不为0的解，即为最终答案。
【解析】
解：根据零指数幂的定义，$(x^2 + 4x -5)^0 =1$的前提是底数不为0，即：
$x^2 +4x -5 ≠0$ ①
同时原方程可转化为：
$x^2 -5x +5 =1$ ②
先解方程②：
移项得：$x^2 -5x +4 =0$
因式分解：$(x-1)(x-4)=0$
解得：$x=1$ 或 $x=4$
再代入①检查底数是否为0：
当$x=1$时，$x^2 +4x -5 =1+4-5=0$，不满足条件，舍去；
当$x=4$时，$x^2 +4x -5 =16+16-5=27≠0$，满足条件。
因此，$x=4$。
【答案】
4
【知识点】
零指数幂，一元二次方程的解法
【点评】
本题为易错题，核心陷阱是忽略零指数幂中“底数不能为0”的隐含条件，若直接解方程得到两个解，会因未筛选而出错，需牢记零指数幂的定义前提，避免此类错误。
【难度系数】
0.4
10 一个直角三角形的两边长分别是方程 $x^{2}-8x+15=0$ 的两根,则这个直角三角形的第三边长为
$\sqrt{34}$或4
.答案
10. $\sqrt{34}$或4 【解析】一元二次方程$x^2-8x+15=0$的解为$x_1=3,x_2=5$.当3与5分别为直角三角形的直角边长时,斜边长为$\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$;当直角三角形的斜边长为5时,另一直角边长为$\sqrt{5^2-3^2}=4$.综上所述,这个直角三角形的第三边长为$\sqrt{34}$或4.
解析
【分析】首先需先求解一元二次方程得到两根，再结合直角三角形边的性质，分两种情况讨论两根作为直角边或斜边时的第三边长度，利用勾股定理计算，注意不能漏解。
【解析】解方程$x^2 -8x +15=0$，因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=5$。
分两种情况：
① 当3和5均为直角三角形的直角边长时，第三边为斜边，根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{3^2 +5^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$；
② 当5为直角三角形的斜边长，3为直角边长时，第三边为另一条直角边，根据勾股定理，直角边长为$\sqrt{5^2 -3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$。
综上，这个直角三角形的第三边长为$\sqrt{34}$或4。
【答案】$\sqrt{34}$或4
【知识点】一元二次方程的解法、勾股定理、直角三角形的性质
【点评】本题考查一元二次方程求解与勾股定理的应用，核心是根据直角三角形边的身份分类讨论，避免漏解，属于基础易错题，需考虑全面。
【难度系数】0.6
【解析】解方程$x^2 -8x +15=0$，因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=5$。
分两种情况：
① 当3和5均为直角三角形的直角边长时，第三边为斜边，根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{3^2 +5^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$；
② 当5为直角三角形的斜边长，3为直角边长时，第三边为另一条直角边，根据勾股定理，直角边长为$\sqrt{5^2 -3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$。
综上，这个直角三角形的第三边长为$\sqrt{34}$或4。
【答案】$\sqrt{34}$或4
【知识点】一元二次方程的解法、勾股定理、直角三角形的性质
【点评】本题考查一元二次方程求解与勾股定理的应用，核心是根据直角三角形边的身份分类讨论，避免漏解，属于基础易错题，需考虑全面。
【难度系数】0.6
11 用适当的方法解方程：
(1) $[2026$ 海门段测 $] x^{2}+2 x-3=0$；
(2) $[2026$ 崇川段测 $](x-2)^{2}+2 x(x-2)=0$；
(3) $[2026$ 如皋段测 $] x(2 x+3)-3(2 x+3)=0$；(4) $[2026$ 崇川段测 $](x-3)^{2}=12-4 x$。
(1) $[2026$ 海门段测 $] x^{2}+2 x-3=0$；
(2) $[2026$ 崇川段测 $](x-2)^{2}+2 x(x-2)=0$；
(3) $[2026$ 如皋段测 $] x(2 x+3)-3(2 x+3)=0$；(4) $[2026$ 崇川段测 $](x-3)^{2}=12-4 x$。
答案
11. (1) $x_1=-3,x_2=1$
(2) $x_1=2,x_2=\dfrac{2}{3}$
(3) $x_1=-\dfrac{3}{2},x_2=3$
(4) $x_1=3,x_2=-1$
(2) $x_1=2,x_2=\dfrac{2}{3}$
(3) $x_1=-\dfrac{3}{2},x_2=3$
(4) $x_1=3,x_2=-1$
解析
【分析】
解一元二次方程需根据方程的结构特点选择合适的方法，优先选用计算简便的因式分解法（提公因式法、十字相乘法等）。本题4道小题均适合用因式分解法求解，需先观察方程是否有公因式，或整理后可通过因式分解转化为两个一次式乘积为0的形式，进而求解。
【解析】
(1) 对$x^2+2x-3=0$因式分解：
十字相乘得$(x+3)(x-1)=0$，
则$x+3=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=1$；
(2) 对$(x-2)^2+2x(x-2)=0$提公因式：
提取公因式$(x-2)$得$(x-2)(x-2+2x)=0$，即$(x-2)(3x-2)=0$，
则$x-2=0$或$3x-2=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=\dfrac{2}{3}$；
(3) 对$x(2x+3)-3(2x+3)=0$提公因式：
提取公因式$(2x+3)$得$(2x+3)(x-3)=0$，
则$2x+3=0$或$x-3=0$，
解得$x_1=-\dfrac{3}{2}$，$x_2=3$；
(4) 对$(x-3)^2=12-4x$整理后因式分解：
移项得$(x-3)^2 +4x -12=0$，将右边变形为$-4(x-3)$，则方程变为$(x-3)^2 +4(x-3)=0$，
提取公因式$(x-3)$得$(x-3)(x-3+4)=0$，即$(x-3)(x+1)=0$，
则$x-3=0$或$x+1=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$；
【答案】
(1) $x_1=-3,x_2=1$；(2) $x_1=2,x_2=\dfrac{2}{3}$；(3) $x_1=-\dfrac{3}{2},x_2=3$；(4) $x_1=3,x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题为一元二次方程解法的基础练习题，通过4道典型题目考查学生对因式分解法（提公因式法）的掌握，解题关键是观察方程结构，优先选择简便的因式分解法，熟练运用提公因式技巧即可快速求解，是巩固一元二次方程解法的核心题型。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程需根据方程的结构特点选择合适的方法，优先选用计算简便的因式分解法（提公因式法、十字相乘法等）。本题4道小题均适合用因式分解法求解，需先观察方程是否有公因式，或整理后可通过因式分解转化为两个一次式乘积为0的形式，进而求解。
【解析】
(1) 对$x^2+2x-3=0$因式分解：
十字相乘得$(x+3)(x-1)=0$，
则$x+3=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=1$；
(2) 对$(x-2)^2+2x(x-2)=0$提公因式：
提取公因式$(x-2)$得$(x-2)(x-2+2x)=0$，即$(x-2)(3x-2)=0$，
则$x-2=0$或$3x-2=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=\dfrac{2}{3}$；
(3) 对$x(2x+3)-3(2x+3)=0$提公因式：
提取公因式$(2x+3)$得$(2x+3)(x-3)=0$，
则$2x+3=0$或$x-3=0$，
解得$x_1=-\dfrac{3}{2}$，$x_2=3$；
(4) 对$(x-3)^2=12-4x$整理后因式分解：
移项得$(x-3)^2 +4x -12=0$，将右边变形为$-4(x-3)$，则方程变为$(x-3)^2 +4(x-3)=0$，
提取公因式$(x-3)$得$(x-3)(x-3+4)=0$，即$(x-3)(x+1)=0$，
则$x-3=0$或$x+1=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$；
【答案】
(1) $x_1=-3,x_2=1$；(2) $x_1=2,x_2=\dfrac{2}{3}$；(3) $x_1=-\dfrac{3}{2},x_2=3$；(4) $x_1=3,x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题为一元二次方程解法的基础练习题，通过4道典型题目考查学生对因式分解法（提公因式法）的掌握，解题关键是观察方程结构，优先选择简便的因式分解法，熟练运用提公因式技巧即可快速求解，是巩固一元二次方程解法的核心题型。
【难度系数】
0.8
12 我们知道可以用公式$x^{2}+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$来分解因式，从而解一元二次方程. 如$x^{2}+3x-4=0$，方程变形为$(x-1)(x+4)=0$；$x^{2}-7x-18=0$，方程变形为$(x+2)(x-9)=0$.爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程. 如$3x^{2}-$$7x+2=0$，将方程变形为$(x-2)(3x-1)=0$(如图)，从而可以快速求出方程的解. 这种解一元二次方程的方法叫作“十字相乘法”. 请你利用此方法尝试解下列方程：
(1)$x^{2}-5x-14=0$；
(2)$2x^{2}+x-6=0$；
(3)$4x^{2}-8x-5=0$.
(1)$x^{2}-5x-14=0$；
(2)$2x^{2}+x-6=0$；
(3)$4x^{2}-8x-5=0$.
答案
12. (1) 原方程化为$(x+2)(x-7)=0$,解得$x_1=-2,x_2=7$
(2) 原方程化为$(2x-3)(x+2)=0$,解得$x_1=\dfrac{3}{2},x_2=-2$
(3) 原方程化为$(2x-5)(2x+1)=0$,解得$x_1=\dfrac{5}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}$
(2) 原方程化为$(2x-3)(x+2)=0$,解得$x_1=\dfrac{3}{2},x_2=-2$
(3) 原方程化为$(2x-5)(2x+1)=0$,解得$x_1=\dfrac{5}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
用十字相乘法解一元二次方程的核心是将二次三项式$ax^2+bx+c$因式分解为两个一次式的乘积，步骤为：1. 分解二次项系数$a$为两个因数的乘积；2. 分解常数项$c$为两个因数的乘积；3. 调整两组因数，使交叉相乘的和等于一次项系数$b$；4. 令两个一次式分别为0，求解得到方程的根。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 -5x -14=0$，二次项系数为1，常数项为-14。寻找乘积为-14且和为-5的两个数，即2和-7。因式分解得：
$(x+2)(x-7)=0$
令$x+2=0$，解得$x_1=-2$；令$x-7=0$，解得$x_2=7$。
(2) 对于方程$2x^2 +x -6=0$，二次项系数2分解为$2×1$，常数项-6分解为$(-3)×2$。交叉相乘得$2×2 +1×(-3)=1$，匹配一次项系数。因式分解得：
$(2x-3)(x+2)=0$
令$2x-3=0$，解得$x_1=\frac{3}{2}$；令$x+2=0$，解得$x_2=-2$。
(3) 对于方程$4x^2 -8x -5=0$，二次项系数4分解为$2×2$，常数项-5分解为$(-5)×1$。交叉相乘得$2×1 +2×(-5)=-8$，匹配一次项系数。因式分解得：
$(2x-5)(2x+1)=0$
令$2x-5=0$，解得$x_1=\frac{5}{2}$；令$2x+1=0$，解得$x_2=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=-2, x_2=7$；(2) $x_1=\frac{3}{2}, x_2=-2$；(3) $x_1=\frac{5}{2}, x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
十字相乘法分解因式，解一元二次方程
【点评】
本题考查十字相乘法解一元二次方程，需掌握二次三项式的十字相乘分解方法，通过调整系数使交叉和匹配一次项，进而求解方程，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
用十字相乘法解一元二次方程的核心是将二次三项式$ax^2+bx+c$因式分解为两个一次式的乘积，步骤为：1. 分解二次项系数$a$为两个因数的乘积；2. 分解常数项$c$为两个因数的乘积；3. 调整两组因数，使交叉相乘的和等于一次项系数$b$；4. 令两个一次式分别为0，求解得到方程的根。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 -5x -14=0$，二次项系数为1，常数项为-14。寻找乘积为-14且和为-5的两个数，即2和-7。因式分解得：
$(x+2)(x-7)=0$
令$x+2=0$，解得$x_1=-2$；令$x-7=0$，解得$x_2=7$。
(2) 对于方程$2x^2 +x -6=0$，二次项系数2分解为$2×1$，常数项-6分解为$(-3)×2$。交叉相乘得$2×2 +1×(-3)=1$，匹配一次项系数。因式分解得：
$(2x-3)(x+2)=0$
令$2x-3=0$，解得$x_1=\frac{3}{2}$；令$x+2=0$，解得$x_2=-2$。
(3) 对于方程$4x^2 -8x -5=0$，二次项系数4分解为$2×2$，常数项-5分解为$(-5)×1$。交叉相乘得$2×1 +2×(-5)=-8$，匹配一次项系数。因式分解得：
$(2x-5)(2x+1)=0$
令$2x-5=0$，解得$x_1=\frac{5}{2}$；令$2x+1=0$，解得$x_2=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=-2, x_2=7$；(2) $x_1=\frac{3}{2}, x_2=-2$；(3) $x_1=\frac{5}{2}, x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
十字相乘法分解因式，解一元二次方程
【点评】
本题考查十字相乘法解一元二次方程，需掌握二次三项式的十字相乘分解方法，通过调整系数使交叉和匹配一次项，进而求解方程，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
