12.如图,把五个长为b,宽为a的小长方形,按图②和图③两种方式放在一个宽为m的大长方形上(相邻的小长方形既无重叠,又不留空隙).设图②中两块阴影部分的周长和为$ C_1 $,图③中阴影部分的周长为$ C_2 $,若大长方形的长比宽大$ (5-a) $,则$ C_2 - C_1 $的值为.

12.$10$

【分析】
解题时先分别表示出$C_1$和$C_2$，再代入已知条件计算差值即可：第一步先分析图②中两块阴影的长宽，计算周长和并化简，可消去无关量$b$得到$C_1$的表达式；第二步逐段计算图③阴影的周长，化简得到$C_2$的表达式；第三步结合“大长方形的长比宽大$(5-a)$”的条件，将长用宽$m$表示后代入$C_2$，最后计算$C_2-C_1$即可得到结果。
【解析】
1. 计算$C_1$：
观察图②，上方阴影长为$b$，高为$(m-3a)$，下方阴影长为$2a$，高为$(m-b)$。
两块阴影周长和为：
$\begin{aligned}C_1&=2[b+(m-3a)]+2[2a+(m-b)]\\&=2b+2m-6a+4a+2m-2b\\&=4m-2a\end{aligned}$
2. 计算$C_2$：
设大长方形的长为$L$，由题意得$L=m+(5-a)$。
沿图③阴影边界逐段求和：
$\begin{aligned}C_2&=L+m+(L-5a)+b+5a+(m-b)\\&=2L+2m\end{aligned}$
3. 计算$C_2-C_1$：
将$L=m+5-a$代入$C_2$得：
$C_2=2(m+5-a)+2m=4m-2a+10$
因此：
$C_2-C_1=(4m-2a+10)-(4m-2a)=10$
【答案】
$\boxed{10}$
【知识点】
整式的加减、周长计算、代数式化简
【点评】
本题综合考查了周长计算和整式的加减运算，解题核心是准确表示阴影部分的周长，化简过程中无关未知量会自动抵消，不需要单独求解每个字母的值，侧重对整体运算思想的考查。
【难度系数】
0.6

13.计算：
(1)$-2x-[x^2-2(x^2-3x)]$；
(2)$7a^2b-[4ab-3(ab-\dfrac{7}{3}a^2b)+ab]$。

13.解:(1)原式$=-2x-(x^2-2x^2+6x)=-2x-(-x^2+6x)=-2x+x^2-6x=x^2-8x.$
(2)原式$=7a^2b-(4ab-3ab+7a^2b+ab)=7a^2b-7a^2b-2ab=-2ab.$

【分析】
这两道题都是整式的加减运算，解题核心思路是“先去括号，再合并同类项”。运算时遵循从内层括号到外层括号的顺序，先处理小括号，再处理中括号：去括号时若括号前是负号，去掉括号后括号内每一项都要变号；若括号前有系数，要先将系数乘到括号内的每一项再去括号，最后合并同类项得到最简结果。
【解析】
(1) 先去小括号，将系数$-2$乘进小括号内：
原式$=-2x-(x^2-2x^2+6x)$
合并小括号内的同类项：
$=-2x-(-x^2+6x)$
再去中括号，括号前为负号，各项变号：
$=-2x+x^2-6x$
合并同类项得：
$=x^2-8x$
(2) 先去最内层小括号，将系数$-3$乘进小括号内：
原式$=7a^2b-(4ab-3ab+7a^2b+ab)$
合并中括号内的同类项：
$=7a^2b-(7a^2b+2ab)$
去中括号，括号前为负号，各项变号：
$=7a^2b-7a^2b-2ab$
合并同类项得：
$=-2ab$
【答案】
(1)$x^2-8x$；(2)$-2ab$
【知识点】
去括号法则，合并同类项，整式的加减
【点评】
本题属于整式加减的基础运算题，重点考查去括号时的符号处理能力和同类项合并的方法，计算时要注意括号前为负号时，去括号后括号内所有项都要变号，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.8

14. (1)已知$x=\frac{1}{2}$,求$(2x^2 - \frac{1}{2} + 3x) - 4(x - x^2 + \frac{1}{2})$的值；
(2)先化简,再求值:$2a^2 - [\frac{1}{2}(4a^2 - ab) + 8ab] - \frac{1}{2}ab$,其中$a=1,b=\frac{1}{4}$.

14.解:(1)原式$=2x^2-\frac{1}{2}+3x-4x+4x^2-2=6x^2-x-\frac{5}{2}.$
因为$x=\frac{1}{2}$,所以原式$=6×\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}.$
(2)原式$=2a^2-(2a^2-\frac{1}{2}ab+8ab)-\frac{1}{2}ab=2a^2-2a^2+\frac{1}{2}ab-8ab-\frac{1}{2}ab=-8ab.$
当$a=1,b=\frac{1}{4}$时,原式$=-8×1×\frac{1}{4}=-2.$

【分析】
这两道题都是整式的化简求值类题目，解题的通用思路是先化简再代入数值计算，比直接代入原式计算更简便、出错率更低。解题步骤如下：第一步先利用去括号法则去掉括号，注意括号前是负号时，括号内每一项都要改变符号，同时如果括号前有系数，要利用乘法分配律把系数乘到括号内的每一项，不要漏乘；第二步合并同类项，将整式化到最简形式；第三步将给定的字母取值代入最简式中，按有理数运算规则计算出结果即可。
【解析】
(1) 先对原式去括号、合并同类项：
原式$=2x^2 - \frac{1}{2} + 3x - 4x + 4x^2 - 2$
$=(2x^2 + 4x^2) + (3x - 4x) + (-\frac{1}{2} - 2)$
$=6x^2 - x - \frac{5}{2}$
将$x=\frac{1}{2}$代入最简式：
原式$=6×(\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - \frac{5}{2} = 6×\frac{1}{4} - 3 = \frac{3}{2} - 3 = -\frac{3}{2}$
(2) 先去多层括号，再合并同类项：
原式$=2a^2 - (2a^2 - \frac{1}{2}ab + 8ab) - \frac{1}{2}ab$
$=2a^2 - 2a^2 + \frac{1}{2}ab - 8ab - \frac{1}{2}ab$
$=(2a^2 - 2a^2) + (\frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}ab) - 8ab$
$=-8ab$
将$a=1, b=\frac{1}{4}$代入最简式：
原式$=-8×1×\frac{1}{4} = -2$
【答案】
(1) $-\frac{3}{2}$；(2) $-2$
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式加减运算的基础题型，核心考查“先化简再求值”的运算思路，能有效降低运算量。解题的易错点在于去括号时的符号处理，以及括号前带系数时不要漏乘括号内的项，熟练掌握运算法则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8

15.已知代数式$A=2x^{2}+3xy+2y-1,B=x^{2}-xy+x-\frac{1}{2}.$
(1)当$x=y=-2$时,求$A-2B$的值;
(2)若$A-2B$的值与$x$的取值无关,求$A-2B$的值.

15.解:(1)因为$A=2x^2+3xy+2y-1,B=x^2-xy+x-\frac{1}{2}$,
所以$A-2B=2x^2+3xy+2y-1-2(x^2-xy+x-\frac{1}{2})$
$=2x^2+3xy+2y-1-2x^2+2xy-2x+1$
$=5xy+2y-2x$,
当$x=y=-2$时,
原式$=5×(-2)×(-2)+2×(-2)-2×(-2)=20-4+4=20.$
(2)因为$A-2B=5xy+2y-2x=(5y-2)x+2y$,$A-2B$的值与$x$的取值无关,即$5y-2=0$,解得$y=\frac{2}{5}$,
所以$A-2B=(5y-2)x+2y=2×\frac{2}{5}=\frac{4}{5}.$

【分析】
(1) 解题时先将A、B代入A-2B，通过去括号、合并同类项先化简A-2B的表达式，再将x=y=-2代入化简后的式子计算，可简化计算过程，减少计算错误。
(2) 若代数式的值与x的取值无关，说明代数式中所有含x的项的系数为0，因此先将化简后的A-2B整理为关于x的整式，令x的系数等于0求出y的值，再代入即可求出A-2B的值。
【解析】
(1) 已知$A=2x^2+3xy+2y-1$，$B=x^2-xy+x-\frac{1}{2}$，则：
$A-2B=2x^2+3xy+2y-1-2(x^2-xy+x-\frac{1}{2})$
去括号得：$2x^2+3xy+2y-1-2x^2+2xy-2x+1$
合并同类项得：$5xy+2y-2x$
当$x=y=-2$时，代入上式：
原式$=5×(-2)×(-2)+2×(-2)-2×(-2)=20-4+4=20$
(2) 将$A-2B=5xy+2y-2x$整理为含x的项的形式：$A-2B=(5y-2)x+2y$
因为$A-2B$的值与x的取值无关，所以x的系数为0，即：
$5y-2=0$，解得$y=\frac{2}{5}$
将$y=\frac{2}{5}$代入$A-2B=2y$，得：
$A-2B=2×\frac{2}{5}=\frac{4}{5}$
【答案】
(1) $\boxed{20}$；(2) $\boxed{\dfrac{4}{5}}$
【知识点】
整式的加减运算、代数式求值、多项式与字母无关的条件
【点评】
本题是整式加减的常考题型，第一问解题关键是先化简代数式再代入求值，可有效降低计算量；第二问需要准确理解代数式与某个字母取值无关的本质，即该字母所有项的系数均为0，掌握该规律即可快速解题。
【难度系数】
0.7

16.(2025·锡山区期中)阅读材料并解答问题.
【材料一】我们可以将任意三位数记为$\overline{abc}$(其中$a,b,c$分别表示该数的百位数字、十位数字和个位数字,且$a≠0$),显然$\overline{abc}=100a+10b+c$.
【材料二】若在一个两位正整数$N$的个位数字与十位数字之间添上数字4,组成一个新的三位数,我们称这个三位数为$N$的“明礼数”,如36的“明礼数”为346;若将一个两位正整数$M$加4后得到一个新数,我们称这个新数为$M$的“修身数”,如37的“修身数”为41.
(1)30的“明礼数”是________,"修身数"是________;
(2)试说明:对任意一个两位正整数$A$,其“明礼数”与“修身数”之差能被9整除.

16.(1)$340\quad 34$
(2)解:设$A=\overline{ab}=10a+b(A＞0,0＜a＜9,0＜b＜9)$,
$A$的“明礼数”为$100a+40+b$,
$A$的“修身数”为$10a+b+4$,
$100a+40+b-(10a+b+4)$
$=100a+40+b-10a-b-4$
$=90a+36$
$=9(10a+4)$,
因为$a$为1到9的自然数,
所以$9(10a+4)$能被9整除,
所以对任意一个两位正整数$A$,其“明礼数”与“修身数”之差能被9整除.

【分析】
解决本题首先要准确理解“明礼数”和“修身数”的新定义：(1) 第(1)问直接套用定义计算即可：“明礼数”是在两位正整数的十位和个位之间添加数字4得到三位数，“修身数”是原两位正整数加4得到的新数，代入30计算即可得结果。(2) 第(2)问要证明对任意两位数都成立，需用字母代数的方法：先设出任意两位数A的十位数字为a、个位数字为b，用含a、b的代数式分别表示出A的“明礼数”和“修身数”，再计算两者的差，对差进行整式加减化简，最后判断化简结果是否为9的整数倍即可完成证明。
【解析】
(1) 根据“明礼数”的定义，30的十位是3，个位是0，在中间添上4得到的三位数是340；根据“修身数”的定义，30加4得34，故30的修身数是34。
(2) 设两位正整数$A$的十位数字为$a$，个位数字为$b$（$a,b$均为整数，且$1≤ a≤9$，$0≤ b≤9$），则$A=10a+b$。
$A$的“明礼数”为：百位为$a$，十位为4，个位为$b$，即$100a + 40 + b$。
$A$的“修身数”为：原数加4，即$10a + b + 4$。
计算两者的差：
$\begin{aligned}&100a + 40 + b - (10a + b + 4)\\=&100a + 40 + b - 10a - b - 4\\=&90a + 36\\=&9(10a + 4)\end{aligned}$
因为$a$是1到9的整数，所以$10a+4$是整数，因此$9(10a+4)$是9的倍数，能被9整除。
即对任意一个两位正整数$A$，其“明礼数”与“修身数”之差能被9整除。
【答案】
(1) $\boxed{340}$；$\boxed{34}$
(2) 结论成立，证明如上。
【知识点】
新定义运算；整式的加减；整除的判定
【点评】
本题属于新定义类创新题型，核心考查阅读理解能力和整式运算的应用能力，解题关键是准确理解新定义的规则，用字母正确表示出对应数的代数式，通过整式化简验证结论，运算难度较低。
【难度系数】
0.8