1. 已知二次函数 $ y= (m + 1)x^{m(m + 1)} $ 图象的开口向下,则 $ m $ 的值为()
A.$ 1 $
B.$ -1 $
C.$ 2 $
D.$ -2 $

D

根据题意，函数为二次函数，所以 $m(m + 1) = 2$，因为二次函数开口向下，所以系数 $m + 1 ＜ 0$。
首先解方程 $m(m + 1) = 2$：
$m^2 + m - 2 = 0$，
通过因式分解，得：
$(m - 1)(m + 2) = 0$，
所以 $m = 1$ 或 $m = -2$。
然后结合 $m + 1 ＜ 0$，即 $m ＜ -1$，
所以 $m = -2$。

2. 函数 $ y = 3(x - 2)^2 + 1 $ 的图象向上平移 $ 2 $ 个单位,再向左平移 $ 2 $ 个单位所得图象的函数表达式为()
A.$ y = 3x^2 + 3 $
B.$ y = 3x^2 - 1 $
C.$ y = 3(x - 4)^2 + 3 $
D.$ y = 3(x - 4)^2 - 1 $

A

原函数为 $y = 3(x - 2)^2 + 1$。
向上平移 2 个单位：$y = 3(x - 2)^2 + 1 + 2 = 3(x - 2)^2 + 3$。
向左平移 2 个单位：将 $x$ 替换为 $x + 2$，得到 $y = 3((x + 2) - 2)^2 + 3 = 3x^2 + 3$。
对比选项，确定答案为 A。

3. 若二次函数 $ y = x^2 - 6x + c $ 的图象过 $ A(-1,y_1) $,$ B(2,y_2) $,$ C(3 + \sqrt{2},y_3) $,则 $ y_1 $,$ y_2 $,$ y_3 $ 的大小关系是.

$y_2\lt y_3\lt y_1$（按此顺序填写对应选项即可，假设选项顺序为$y_2\lt y_3\lt y_1$对应的选项）

二次函数$y = x^2 - 6x + c$的对称轴为直线$x = -\frac{-6}{2×1}= 3$。
因为$a = 1\gt0$，所以抛物线开口向上，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，且点到对称轴的距离越远，函数值越大。
点$A(-1,y_1)$到对称轴$x = 3$的距离为$\vert -1 - 3\vert= 4$；
点$B(2,y_2)$到对称轴$x = 3$的距离为$\vert 2 - 3\vert = 1$；
点$C(3+\sqrt{2},y_3)$到对称轴$x = 3$的距离为$\vert 3+\sqrt{2}- 3\vert=\sqrt{2}\approx1.414$。
因为$1\lt\sqrt{2}\lt4$，所以$y_2\lt y_3\lt y_1$。

4. 如图是二次函数 $ y = ax^2 + bx + c(a \neq 0) $ 的图象的一部分,给出下列命题：① $ b^2 ＞ 4ac $；② $ abc ＞ 0 $；③ $ b ＞ 2a $；④ $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的两根分别为 $ -3 $ 和 $ 1 $；⑤ $ 4a - 2b + c ＞ 0 $.其中正确的命题是(填写正确命题的序号).

①④

由图像可知抛物线开口向上，∴a＞0；对称轴为x=-1，即$-b/(2a)=-1$，得b=2a＞0；与y轴交于负半轴，∴c＜0。
①抛物线与x轴有两个交点，∴Δ=b²-4ac＞0，即b²＞4ac，①正确；
②a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，②错误；
③由对称轴得b=2a，∴b＞2a错误，③错误；
④抛物线与x轴交点关于x=-1对称，已知一个交点为(1,0)，则另一个交点为(-3,0)，∴方程两根为-3和1，④正确；
⑤当x=-2时，y=4a-2b+c，其对称点为x=0，y=c＜0，∴4a-2b+c=c＜0，⑤错误。
正确命题为①④。

5. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 中的 $ x $,$ y $ 满足下表.

求这个二次函数的表达式.

根据题意，可设二次函数的表达式为$y = ax^{2} + bx + c$。
把$( - 1,0)$，$(0, - 2)$，$(2,0)$代入$y = ax^{2} + bx + c$，
得$\begin{cases}a - b + c = 0,\\c = - 2,\\4a + 2b + c = 0.\end{cases}$
将$c = - 2$代入$a - b + c = 0$和$4a + 2b + c = 0$，
得$\begin{cases}a - b - 2 = 0,\\4a + 2b - 2 = 0.\end{cases}$
由$a - b - 2 = 0$可得$b = a - 2$，
将$b = a - 2$代入$4a + 2b - 2 = 0$，
得$4a + 2(a - 2) - 2 = 0$，
$4a + 2a - 4 - 2 = 0$，
$6a - 6 = 0$，
$6a = 6$，
解得$a = 1$。
把$a = 1$代入$b = a - 2$，
得$b = 1 - 2 = - 1$。
所以，二次函数表达式为$y = x^{2} - x - 2$。

6. 已知二次函数 $ y = -x^2 + 4x - 3 $.
(1) 写成 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的形式,并指出函数图象的对称轴和顶点坐标.
(2) 求这个函数图象与坐标轴的交点坐标.

(1)
$y = -x^2 + 4x - 3$
$= - (x^2 - 4x + 4) + 1$
$= - (x - 2)^2 + 1$
对称轴为直线 $x = 2$；
顶点坐标为 $(2, 1)$。
(2)
当 $x = 0$ 时，$y = -3$，所以与 $y$ 轴交点坐标为 $(0, -3)$；
当 $y = 0$ 时，$-x^2 + 4x - 3 = 0$，
即$x^2 - 4x + 3 = 0$，
因式分解得$(x-1)(x-3)=0$
解得 $x_1 = 1$，$x_2 = 3$，
所以与 $x$ 轴交点坐标为 $(1, 0)$ 和 $(3, 0)$。