1. 如图,AC= AD,BC= BD,则下列判断正确的是()

A.AB垂直平分CD
B.CD垂直平分AB
C.AB与CD互相垂直平分
D.CD平分∠ACB

A

2. 如图,△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D,连接BD。若AC= 8,CD= 5,则BD= 。

$3$

设$AB$的垂直平分线交$AB$于点$E$，因为$DE$是$AB$的垂直平分线，所以$AD = BD$。
已知$AC=8$，$CD = 5$，且$AC=AD + CD$，那么$AD=AC - CD=8 - 5 = 3$。
由于$AD = BD$，所以$BD = 3$。

3. 写出下列命题的逆命题,并判断这些逆命题是否成立。
(1)如果两个实数都是负数,那么它们的和是负数；
(2)如果两个三角形全等,那么这两个三角形的面积相等。

(1)逆命题：如果两个实数的和是负数，那么这两个实数都是负数。
不成立。反例：$−3+2=−1$，和是负数$（-1）$，但并不是两个数都是负数。
(2)逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等。
不成立。反例：底和高分别相等的两个三角形，面积相等，但不一定全等。

4. 如图,在△ABC中,点D为BC边的中点,过点B作BE//AC交AD的延长线于点E。
(1)求证△BDE≌△CDA。
(2)若AD⊥BC,求证BA= BE。

(1)证明：∵D为BC中点，∴BD=CD。
∵BE//AC，∴∠E=∠CAD，∠EBD=∠C。
在△BDE和△CDA中，
∠E=∠CAD，
∠EBD=∠C，
BD=CD，
∴△BDE≌△CDA(AAS)。
(2)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°。
由(1)知△BDE≌△CDA，∴AD=ED。
在△ABD和△EBD中，
AD=ED，
∠ADB=∠EDB，
BD=BD，
∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴BA=BE。

(1)证明：
∵点D为BC边的中点，
∴BD=CD，
∵BE//AC，
∴∠E=∠CAD，∠EBD=∠C，
在△BDE和△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠E=∠CAD\\ ∠EBD=∠C\\ BD=CD\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDA(AAS)。
(2)证明：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵点D为BC边的中点，
∴BD=CD，
在△ABD和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l} BD=CD\\ ∠ADB=∠ADC\\ AD=AD\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD(SAS)，
∴AB=AC，
由
(1)知△BDE≌△CDA，
∴BE=AC，
∴BA=BE。

5. 如图,在△ABC中,已知AB,AC的垂直平分线分别为EM,FD,连接EA,FA,且∠BAC= 115°,求∠EAF的度数。

由题意知，$EM$是$AB$的垂直平分线，
根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
$\therefore EA = EB$，
$\therefore \angle B = \angle EAM$（等边对等角）。
同理，$FD$是$AC$的垂直平分线，
$\therefore FA = FC$，
$\therefore \angle C = \angle FAN$（等边对等角）。
$\because \angle BAC = 115^\circ$，
$\therefore \angle B + \angle C = 180^\circ - \angle BAC = 65^\circ$。
$\therefore \angle EAM + \angle FAN = 65^\circ$。
$\therefore \angle EAF = \angle BAC - (\angle EAM + \angle FAN) = 115^\circ - 65^\circ = 50^\circ$。
综上，答案为$50^\circ$。