2. 用提公因式法分解因式正确的是()
A.$12abc-9a^{2}b^{2}c^{2}= 3abc(4-3ab)$
B.$3x^{2}y-3xy+6y= 3y(x^{2}-x+2y)$
C.$-a^{2}+ab-ac= -a(a-b+c)$
D.$x^{2}y+5ay-y= y(x^{2}+5a)$

C

A. 对于 $12abc - 9a^{2}b^{2}c^{2}$，
提取公因式 $3abc$ 得：
$12abc - 9a^{2}b^{2}c^{2} = 3abc(4 - 3abc)$
与选项A给出的 $3abc(4-3ab)$ 不符，故A错误。
B. 对于 $3x^{2}y - 3xy + 6y$，
提取公因式 $3y$ 得：
$3x^{2}y - 3xy + 6y = 3y(x^{2} - x + 2)$
与选项B给出的 $3y(x^{2}-x+2y)$ 不符，注意到最后一项的系数应为2而不是$2y$，故B错误。
C. 对于 $-a^{2} + ab - ac$，
提取公因式 $-a$ 得：
$-a^{2} + ab - ac = -a(a - b + c)$
与选项C给出的 $-a(a-b+c)$ 相符，故C正确。
D. 对于 $x^{2}y + 5ay - y$，
提取公因式 $y$ 得：
$x^{2}y + 5ay - y = y(x^{2} + 5a - 1)$
与选项D给出的 $y(x^{2}+5a)$ 不符，注意到最后一项的系数应为$-1$，故D错误。

3. 已知 $mn= 1$,$m-n= 2$,则 $m^{2}n-mn^{2}$的值是()
A.$-1$
B.$3$
C.$2$
D.$-2$

C

首先，对$m^{2}n - mn^{2}$进行因式分解，提取公因式$mn$，得到：
$m^{2}n - mn^{2} = mn(m - n)$
根据题目条件，已知$mn = 1$和$m - n = 2$，将这两个值代入上面的表达式中，得到：
$mn(m - n) = 1 × 2 = 2$

4. 数学课上,老师讲了提公因式法因式分解,放学后,小丽回到家拿出课堂笔记,认真复习老师课上讲的内容,她突然发现一道题：$-12xy^{2}+6x^{2}y+3xy= -3xy\cdot (4y-$______)横线的地方被钢笔水弄污了,你认为横线上应填写()
A.$2x$
B.$-2x$
C.$2x-1$
D.$-2x-1$

C

5. 分解因式：$x^{2}y+2xy= $。

$xy(x + 2)$

对式子$x^{2}y + 2xy$，每一项都含有公因式$xy$，根据提公因式法，将公因式$xy$提出后可得：$x^{2}y+2xy = xy(x + 2)$。

6. 把 $5(a-b)+m(b-a)$提公因式后一个因式是 $(a-b)$,则另一个因式是。

$5 - m$

原式$5(a-b)+m(b-a)$可变形为$5(a-b)-m(a - b)$，
提出公因式$(a - b)$后可得$(a - b)(5 - m)$。
所以另一个因式是$5 - m$。

7. 分解因式：
(1) $8a^{3}b^{2}-12ab^{4}+4ab$；
(2) $-9x^{2}y+3xy^{2}-6xyz$；
(3) $3m(x-y)-n(y-x)$。

(1)
首先，观察多项式$8a^{3}b^{2}-12ab^{4}+4ab$，每一项都含有公因式$4ab$，提取公因式得：
$8a^{3}b^{2}-12ab^{4}+4ab = 4ab(2a^{2}b - 3b^{3} + 1)$。
(2)
观察多项式$-9x^{2}y+3xy^{2}-6xyz$，每一项都含有公因式$-3xy$，提取公因式得：
$-9x^{2}y+3xy^{2}-6xyz = -3xy(3x - y + 2z)$。
(3)
首先，观察多项式$3m(x-y)-n(y-x)$，注意到$y - x = -(x - y)$，所以可以将原式改写为：
$3m(x-y)+n(x - y)$，
然后，提取公因式$(x - y)$得：
$3m(x-y)+n(x - y) = (x - y)(3m + n)$。

8. 若 $a$,$b$,$c$ 为 $\triangle ABC$ 的三边长,且 $(a-b)b+a(b-a)= a(c-a)+b(a-c)$,则 $\triangle ABC$ 是()
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形

B

对等式左边化简：$(a - b)b + a(b - a) = (a - b)b - a(a - b) = (a - b)(b - a) = -(a - b)^2$；
对等式右边化简：$a(c - a) + b(a - c) = a(c - a) - b(c - a) = (c - a)(a - b)$；
原等式化为：$-(a - b)^2 = (c - a)(a - b)$，移项得$(a - b)(c - a) + (a - b)^2 = 0$；
提取公因式$(a - b)$：$(a - b)[(c - a) + (a - b)] = 0$，即$(a - b)(c - b) = 0$；
则$a - b = 0$或$c - b = 0$，即$a = b$或$c = b$，故$\triangle ABC$是等腰三角形。

9. 分解因式：
(1) $6a(b-a)^{2}-2(a-b)^{3}$；
(2) $4a^{2}(m-n)+2b(n-m)-6c(n-m)$；
(3) $x(x-y)(a-b)-y(y-x)(b-a)$。

(1) $6a(b-a)^{2}-2(a-b)^{3}$
$=6a(a-b)^{2}-2(a-b)^{3}$
$=2(a-b)^{2}[3a-(a-b)]$
$=2(a-b)^{2}(2a+b)$
(2) $4a^{2}(m-n)+2b(n-m)-6c(n-m)$
$=4a^{2}(m-n)-2b(m-n)+6c(m-n)$
$=2(m-n)(2a^{2}-b+3c)$
(3) $x(x-y)(a-b)-y(y-x)(b-a)$
$=x(x-y)(a-b)-y[-(x-y)][-(a-b)]$
$=x(x-y)(a-b)-y(x-y)(a-b)$
$=(x-y)(a-b)(x-y)$
$=(x-y)^{2}(a-b)$

10. 认真阅读以下分解因式的过程,再回答所提出的问题：
$1+x+x(1+x)+x(1+x)^{2}= (1+x)[1+x+x(1+x)]= (1+x)[(1+x)(1+x)]= (1+x)^{3}$。
(1) 上述分解因式的方法是；
(2) 分解因式：$1+x+x(1+x)+x(1+x)^{2}+x(1+x)^{3}$；
(3) 猜想：$1+x+x(1+x)+x(1+x)^{2}+… +x(1+x)^{n}$,$n$ 为正整数时分解因式的结果是。

(1) 提公因式法
(2)
原式
$= (1 + x)[1 + x + x(1 + x) + x(1 + x)^2]$
$= (1 + x)\{(1 + x)[1 + x + x(1 + x)]\}$
$= (1 + x)\{(1 + x)[(1 + x)(1 + x)]\}$
$= (1 + x)^4$
(3) $(1 + x)^{n + 1}$