2. 如图,等边三角形纸片 $ABC$ 的边长为 $6$,$E$,$F$ 是边 $BC$ 上的三等分点。分别过点 $E$,$F$ 沿着平行于 $BA$,$CA$ 方向各剪一刀,则剪下的 $\triangle DEF$ 的周长是。

6

∵△ABC是等边三角形，边长为6，∴∠B=∠C=60°，BC=6。
∵E、F是BC的三等分点，∴BE=EF=FC=2。
过E作ED//BA，过F作FD//CA，交于点D，得△DEF。
∵ED//BA，∴∠DEF=∠B=60°（同位角相等）。
∵FD//CA，∴∠DFE=∠C=60°（同位角相等）。
∴∠EDF=180°-∠DEF-∠DFE=60°，故△DEF是等边三角形。
又∵EF=2，∴△DEF边长为2，周长=3×2=6。

1. (2024·山东泰安中考)如图,直线 $l // m$,等边三角形 $ABC$ 的两个顶点 $B$,$C$ 分别落在直线 $l$,$m$ 上,若 $\angle ABE = 21^{\circ}$,则 $\angle ACD$ 为()

A.$45^{\circ}$
B.$39^{\circ}$
C.$29^{\circ}$
D.$21^{\circ}$

B

∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°。
∵直线l//m，∠ABE=21°，∴在直线l上，∠EBC=∠ABE+∠ABC=21°+60°=81°。
∵l//m，BC为截线，∴∠EBC与∠BCD是同旁内角，∠EBC+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°-81°=99°。
∵∠ACB=60°，∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=99°-60°=39°。

2. 将含 $30^{\circ}$ 角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置,已知 $\angle \alpha = 60^{\circ}$,点 $B$,$C$ 表示的刻度分别为 $1\ cm$,$3\ cm$,则线段 $AB$ 的长为 $cm$。

2

由直尺刻度可知$BC$的长度为$3 - 1=2cm$。
在三角形$ABC$中，已知$\angle\alpha = 60^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ABC=180^{\circ}-\angle A - \angle\alpha=90^{\circ}$。
在直角三角形$ABC$中，$\angle A = 30^{\circ}$，根据$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，设$BC$为$30^{\circ}$所对的直角边，$AB$为另一直角边，斜边为$AC$，已知$BC = 2cm$，因为$\sin A=\frac{BC}{AC}$，$\cos A=\frac{AB}{AC}$，又$\angle A = 30^{\circ}$，$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，由$\sin30^{\circ}=\frac{BC}{AC}$可得$AC = 2BC = 4cm$，再根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}} = 2\sqrt{3}cm$（或根据$30^{\circ}$角所对直角边与斜边关系先求斜边，再根据勾股定理求另一直角边，也可根据$\cos30^{\circ}=\frac{AB}{AC}$，$AC = 4cm$，$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$AB = AC×\cos30^{\circ}=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}cm$）。

3. 如图,在等边三角形 $ABC$ 中,点 $D$ 在 $BC$ 边的延长线上,$CE$ 平分 $\angle ACD$,且 $CE = BD$。求证：$\triangle ADE$ 是等边三角形。

证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACB=60°，∠BAC=60°．
∵点D在BC延长线上，
∴∠ACD=180°-∠ACB=120°．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ACD/2=60°，
∴∠B=∠ACE．
在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC，∠B=∠ACE，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE．
∵∠DAE=∠CAE+∠CAD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，
又∵AD=AE，
∴△ADE是等边三角形．

证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACB=60°，
∴∠ACD=180°-∠ACB=120°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECD=60°，
∵∠B=∠ACE=60°，AB=AC，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∵∠BAC=60°，∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD，
∴∠DAE=∠BAC=60°，
∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形。

4. 如图,在等边三角形 $ABC$ 中,点 $M$ 为 $AB$ 边上任意一点,延长 $BC$ 至点 $N$,使 $CN = AM$,连接 $MN$ 交 $AC$ 于点 $P$,$MH \perp AC$ 于点 $H$。
(1) 求证 $MP = NP$；
(2) 若 $AB = a$,求线段 $PH$ 的长(结果用含 $a$ 的代数式表示)。

答题卡：
(1)证明：
过点$M$作$MD// BC$交$AC$于点$D$。
由于$\triangle ABC$是等边三角形，
所以$\angle A=\angle B=\angle ACB = 60^\circ$，$AB = BC = AC$。
因为$MD// BC$，
根据平行线的性质，得到$\angle ADM=\angle ACB = 60^\circ$，$\angle AMD=\angle B = 60^\circ$。
所以$\angle A=\angle ADM=\angle AMD$，
则$\triangle AMD$是等边三角形，
所以$AM = DM$，$AD = AM$。
已知$CN = AM$，
所以$DM = CN$。
因为$MD// BC$，
所以$\angle MDP=\angle NCP$，$\angle DMP=\angle CNP$。
在$\triangle MDP$和$\triangle CNP$中，
$\begin{cases}\angle MDP=\angle NCP,\\\angle DMP=\angle CNP,\\DM = CN.\end{cases}$
根据$AAS$（角角边）全等判定定理，$\triangle MDP\cong\triangle CNP$，
所以$MP = NP$。
(2)
由（1）知$\triangle AMD$是等边三角形，且$MH\perp AC$，
根据等边三角形三线合一的性质，$AH = HD=\frac{1}{2}AD$。
因为$AD = AM$，$CN = AM$，
所以$AD = CN$。
又因为$AC = AD + DC$，$BC = AC$，$BN=BC + CN$，
且$AC=BC$，$AD = CN$，
所以$AC - AD=BC - CN$，即$DC = BN - BC$。
由$AC = BC = a$，$AD = CN$，可得$DC = a - AD=a - CN$。
因为$AC = a$，$AH=\frac{1}{2}AD$，$DP = PC$（由$\triangle MDP\cong\triangle CNP$可得），
$AC=AD + DP+PC$，$AD = AM$，$CN = AM$，
$PH=AH + DP - HD$，又$AH = HD$，
$AC=AH + HD+DP + PC$，且$DP = PC$，$AH = HD=\frac{1}{2}AD$，
$PH=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}a$。
综上，线段$PH$的长为$\frac{1}{2}a$。