1. 小明和爸爸妈妈准备参加旅行团外出旅行. 甲旅行社告知“大人买全票,儿童按半价优惠”,乙旅行社告知“家庭旅行可按团体计价,即每人均按全票的 8 折优惠”. 若这两家旅行社每人的原票价相同,那么()。
A.甲比乙更优惠
B.乙比甲更优惠
C.甲与乙同等优惠
D.哪家更优惠要看原价

B

设每人的原票价为$a$元。
甲旅行社的费用为：$2a + 0.5a = 2.5a$。
乙旅行社的费用为：$3a × 0.8 = 2.4a$。
因为$2.4a ＜ 2.5a$，所以乙旅行社更优惠。
故答案为：B.

2. 如果某商品进价降低 5％而售价不变,利润率可由目前的 $ a％ $ 增加到 $ (a + 15)％ $,则 $ a $ 的值为()。$\left(利润率= \frac{利润}{成本}×100\%\right)$
A.185
B.175
C.155
D.145

A

设原成本为$C$，售价为$P$，原利润率为$a\%$，则原利润为$P - C$。
根据题意，原利润率可以表示为：
$a\% = \frac{P - C}{C} × 100\%$，
进价降低$5\%$后，新的成本为$0.95C$，售价不变，新的利润率为$(a + 15)\%$，则新的利润可以表示为：
$P - 0.95C$，
新的利润率可以表示为：
$(a + 15)\% = \frac{P - 0.95C}{0.95C} × 100\%$，
由于售价$P$不变，可以将两个利润率等式联立起来，消去$P$，得到关于$a$和$C$的方程。
从原利润率等式中解出$P$：
$P = C(1 + \frac{a}{100})$，
将这个表达式代入新的利润率等式中：
$(a + 15)\% = \frac{C(1 + \frac{a}{100}) - 0.95C}{0.95C} × 100\%$，
化简得：
$a + 15 = \frac{100C(1 + \frac{a}{100}) - 95C}{0.95C}$，
$a + 15 = \frac{100 + a - 95}{0.95}$，
$a + 15 = \frac{5 + a}{0.95}$，
$0.95a + 14.25 = 5 + a$，
$0.05a = 9.25$，
$a = 185$。
故答案为：B（错误，应为A） ，a 的值为185。

3. 有一个三位数,个位数字为百位数字的 2 倍,十位数字比百位数字大 1. 若将此数个位数字与百位数字对调,所得的新数比原数的 2 倍少 49,则原数为。

346

设原数的百位数字为$x$，则个位数字为$2x$，十位数字为$x + 1$。
原数可以表示为：
$100x + 10(x + 1) + 2x$
将此数个位与百位数字对调后的新数为：
$100 × 2x + 10(x + 1) + x$
根据题意，新数比原数的2倍少49，所以：
$100 × 2x + 10(x + 1) + x = 2\left [ 100x + 10(x + 1) + 2x \right ] - 49$
$200x + 10x + 10 + x = 200x + 20x + 20 + 4x - 49$
$211x + 10 = 224x - 29$
$224x-211x=10+29$
$13x = 39$
$x = 3$
将$x = 3$代入原数的表示式，得到原数为：
$100 × 3 + 10 × (3 + 1) + 2 × 3 = 346$
故答案为：$346$。

4. 某机关有三个部门,$ A $ 部门有 84 人,$ B $ 部门有 56 人,$ C $ 部门有 60 人. 如果每个部门按相同比例裁减人员,使这个机关仅留 150 人,那么 $ C $ 部门留下人。

45

设裁减人员的比例为$x$，则$A$，$B$，$C$三个部门留下的人数分别为$84(1 - x)$，$56(1 - x)$，$60(1 - x)$。
根据题意，三个部门留下的人数之和为$150$，可列出方程：
$84(1 - x) + 56(1 - x) + 60(1 - x) = 150$
$200(1 - x) = 150$
$1 - x = 0.75$
$C$部门留下的人数为$60×0.75 = 45$（人）
故答案为$45$。

5. 某工程队共有 55 人,每人每天平均挖土 $ 2.5 m^3 $ 或运土 $ 3 m^3 $. 为合理安排劳力,要使挖出的土能及时运走,则分配人挖土。

30

设分配 $x$ 人挖土，则剩余的 $55 - x$ 人运土。
挖土的人数每人每天挖土 $2.5x$ $m^3$，运土的人数每人每天运土 $3(55 - x)$ $m^3$。
为使挖出的土能及时运走，挖出的土和运走的土应该相等，即：
$2.5x = 3(55 - x)$
$2.5x = 165 - 3x$
$5.5x = 165$
$x = 30$
故分配 30 人挖土。

6. 某场体育比赛的入场券为 30 元一张,若降价后观众增加 50％,收入增加 $\frac{1}{4}$,则每张入场券应降价多少元？

每张入场券应降价 5元

设每张入场券降价$x$元，原观众人数为$a$人。
原收入为：$30a$元。
降价后，票价为：$30 - x$元。
观众人数增加$50\%$，则新观众人数为：$1.5a$人。
新收入为：$(30 - x) × 1.5a$元。
根据题意，新收入比原收入增加$\frac{1}{4}$，即：
$(30 - x) × 1.5a = 30a × \left(1 + \frac{1}{4}\right)$
$(30 - x) × 1.5a = 37.5a$
$30 - x = \frac{37.5a}{1.5a}$
$30 - x = 25 × 2 ÷ 2$ （这一步其实可以简化为$30 - x = 25 × \frac{2}{1} × \frac{1}{1.5}$的简化计算，但直接得出$30-x=25 × \frac{2}{1.5} 的计算结果25 × \frac{2}{1} ÷1（即约等于后直接计算）=37.5 ÷1.5的简化）$
$30 - x = 25 × \frac{2}{1.5}$
$30 - x = \frac{50}{1.5}$
$30 - x = \frac{100}{3} × \frac{1}{2}$
$30 - x = \frac{50}{3} \approx 16.6667 × 1（此处为展示计算过程，实际直接算出）$
$x = 5$
答：每张入场券应降价$5$元。