10. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle A = 30^{\circ}$,$\angle ABC = 90^{\circ}$.将$Rt\triangle ABC$绕点B逆时针方向旋转,得到$\triangle A'BC'$.此时恰好点C在$A'C'$上,$A'B$交AC于点E,则$\triangle ABE$与$\triangle ABC$的面积之比为()

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{4}$

D

设$BC=x$，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle A=30°$，$\angle ABC=90°$，则$AC=2x$，$AB=\sqrt{3}x$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{\sqrt{3}}{2}x^2$。
由旋转性质得$BC'=BC=x$，$\angle C'=\angle C=60°$，点$C$在$A'C'$上，故$\triangle BC'C$为等边三角形，旋转角$\angle CBC'=60°$，则$\angle ABA'=60°$。
在$\triangle ABE$中，$\angle A=30°$，$\angle ABE=60°$，则$\angle AEB=90°$。在$Rt\triangle ABE$中，$AE=AB\cdot\cos30°=\sqrt{3}x\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}x$。
$\triangle ABE$与$\triangle ABC$同高（$B$到$AC$的距离），面积比等于底之比，即$\frac{AE}{AC}=\frac{\frac{3}{2}x}{2x}=\frac{3}{4}$。

11. $-8$的立方根是.

$-2$（若题目要求填空，在规范答题时直接写数值，这里按要求应理解为填数值$-2$ ，若为选择题形式，需根据选项对应选择，由于未给选项，按实际数值作答）

根据立方根的定义，若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根。因为$(-2)^3 = -8$，所以$-8$的立方根是$-2$。

12. 小明在体育考试时选择了投掷实心球,如图是体育老师记录的小明在训练时投掷实心球6次成绩的折线统计图.这6次成绩的中位数是______.

$9.75$

本题可先将这$6$次成绩按照从小到大的顺序排列，再根据中位数的定义来求解。
步骤一：将$6$次成绩从小到大排列
由折线统计图可知，这$6$次成绩分别为$9.5$、$9.6$、$9.7$、$9.8$、$10$、$10.2$，$9.5\lt9.6\lt9.7\lt9.8\lt10\lt10.2$。
步骤二：根据中位数的定义计算中位数
中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（如果数据个数是奇数），或者最中间两个数的平均数（如果数据个数是偶数）。
由于这组数据有$6$个，即数据个数为偶数，那么中位数是第$3$个数和第$4$个数的平均数。
第$3$个数是$9.7$，第$4$个数是$9.8$，则中位数为$\frac{9.7 + 9.8}{2}=\frac{19.5}{2}=9.75$。

13. 如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(-1,0)$,$B(0,2)$,将$\triangle ABO$沿直线AB翻折后得到$\triangle ABC$,若反比例函数$y=\frac{k}{x}(x ＜ 0)$的图象经过点C,则$k =$.

-32/25

设点C坐标为(a,b)。
1. 求直线AB解析式：A(-1,0)，B(0,2)，设y=mx+n，代入得n=2，m=2，故AB：y=2x+2。
2. AB是OC垂直平分线，OC斜率为AB斜率负倒数，即-1/2，故b/a=-1/2，得b=-a/2。
3. OC中点(a/2,b/2)在AB上，代入得b/2=2*(a/2)+2，即b=2a+4。
4. 联立b=-a/2与b=2a+4，解得a=-8/5，b=4/5，即C(-8/5,4/5)。
5. 反比例函数y=k/x过C，k=(-8/5)*(4/5)=-32/25。

14. 在平面直角坐标系中,反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二、四象限,经过点$(1,k^{2}-2)$,则k的值为.

$-1$

根据题意，反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象位于第二、四象限，因此 $ k ＜ 0 $。
函数经过点 $ (1, k^2 - 2) $，代入得：
$k^2 - 2 = \frac{k}{1} $，
即：
$k^2 - k - 2 = 0$，
因式分解该二次方程：
$(k - 2)(k + 1) = 0$，
解得：
$k = 2 \quad 或 \quad k = -1$，
由于 $ k ＜ 0 $，所以 $ k = -1 $。

15. 如图,在正六边形ABCDEF中,分别以点C,F为圆心,以边长为半径作弧,图中阴影部分的面积为$24\pi$,则正六边形的边长为______.

6

设正六边形的边长为$r$。正六边形每个内角为$120^{\circ}$，以$C$、$F$为圆心，边长为半径的两个扇形，圆心角均为$120^{\circ}$，半径为$r$。
每个扇形面积为$\frac{120}{360}\pi r^{2}=\frac{1}{3}\pi r^{2}$，两个扇形面积和为$2×\frac{1}{3}\pi r^{2}=\frac{2}{3}\pi r^{2}$。
已知阴影部分面积为$24\pi$，则$\frac{2}{3}\pi r^{2}=24\pi$，解得$r^{2}=36$，$r = 6$。