15. (★★)如图 27 - 13,正方形 $ ABCD $ 中,$ M $ 为 $ BC $ 上一点,$ F $ 是 $ AM $ 的中点,$ EF ⊥ AM $,垂足为 $ F $,交 $ AD $ 的延长线于点 $ E $,交 $ DC $ 于点 $ N $。
(1) 求证：$ △ABM \sim △EFA $；
(2) 若 $ AB = 12 $,$ BM = 5 $,求 $ DE $ 的长。
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(2) $\frac{49}{10}$

(1) 证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $\angle ABM = 90°$，$AD // BC$。
∵ $EF \perp AM$，
∴ $\angle AFE = 90° = \angle ABM$。
∵ $AD // BC$，
∴ $\angle BMA = \angle MAD$（内错角相等）。
∵ $\angle MAD = \angle EAF$，
∴ $\angle BMA = \angle EAF$。
在 $\triangle ABM$ 和 $\triangle EFA$ 中，
$\angle ABM = \angle EFA = 90°$，$\angle BMA = \angle EAF$，
∴ $\triangle ABM \sim \triangle EFA$（AA）。
(2) 解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，$AB = 12$，
∴ $AD = AB = 12$。
在 $Rt\triangle ABM$ 中，$AB = 12$，$BM = 5$，
∴ $AM = \sqrt{AB^2 + BM^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$。
∵ $F$ 是 $AM$ 的中点，
∴ $AF = \frac{1}{2}AM = \frac{13}{2}$。
∵ $\triangle ABM \sim \triangle EFA$，
∴ $\frac{BM}{AF} = \frac{AM}{EA}$。
即 $\frac{5}{\frac{13}{2}} = \frac{13}{EA}$，
解得 $EA = \frac{13 × 13}{10} = \frac{169}{10}$。
∵ $E$ 在 $AD$ 延长线上，
∴ $DE = EA - AD = \frac{169}{10} - 12 = \frac{49}{10}$。

16. (★★)如图 27 - 14,$ △ABC $ 是等边三角形,点 $ D $,$ E $ 分别在 $ BC $,$ AC $ 边上,且 $ BD = CE $,$ AD $ 与 $ BE $ 相交于点 $ F $。
(1) 试证明 $ △ABD \cong △BCE $。
(2) $ △AEF $ 与 $ △BEA $ 相似吗？说明你的理由。
(3) $ BD^2 = AD · DF $ 成立吗？请说明理由。
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(1) ∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=60°。又∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE（SAS）。
(2) 相似。理由：由(1)得∠BAD=∠CBE。∵∠AEB=∠FEA（公共角），∠AFE=∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°，∠BAE=60°，∴∠AFE=∠BAE。∴△AEF∽△BEA（AA）。
(3) 成立。理由：由(1)得∠BAD=∠CBE=∠DBF。又∠ADB=∠BDF（公共角），∴△BDF∽△ADB。∴BD/AD=DF/BD，即BD²=AD·DF。

17. (★★)小明为了估算学校旗杆的高度(旗杆底端在水平地上),把一面小镜子平放在离旗杆底端 12 米的水平地上,并沿旗杆底端与小镜子所在的直线向后退到离小镜子 $ 1.5 $ 米处直立时,他刚好能从镜子中看到旗杆的顶端,此时小明的眼睛与地面的距离为 $ 1.52 $ 米,则旗杆的高度为米。

12.16

设旗杆高度为$h$米。由光的反射定律知，入射角等于反射角，故小明与镜子连线和地面夹角的正切值等于旗杆与镜子连线和地面夹角的正切值，即$\frac{1.52}{1.5}=\frac{h}{12}$，解得$h = \frac{1.52×12}{1.5}=12.16$。