18. (8 分)已知直线 $l_{1}:y = -2x + 4$ 与坐标轴分别交于 $A,B$ 两点,直线 $l_{2}$ 过原点 $O$ 且平分 $\triangle AOB$ 的面积,求直线 $l_{2}$ 的表达式.

在直线$l_{1:}y = -2x + 4$中，
令$x = 0$，得$y = 4$，
所以点$B$的坐标为$(0,4)$，
令$y = 0$，得$-2x + 4 = 0$，
解得$x = 2$，
所以点$A$的坐标为$(2,0)$，
因为直线$l_{1}$与坐标轴围成$\triangle AOB$，
所以$OA = 2$，$OB = 4$，
设直线$l_{2}$与线段$AB$相交于点$C$，
因为直线$l_{2}$过原点$O$且平分$\triangle AOB$的面积，
所以$\triangle AOC$的面积是$\triangle AOB$面积的一半，
即$\frac{1}{2} × OA × y_{C} = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × OA × OB$，
$\frac{1}{2} × 2 × y_{C} = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × 2 × 4$，
解得$y_{C} = 2$，
把$y_{C} = 2$代入$y = -2x + 4$，
得$-2x + 4 = 2$，
解得$x = 1$，
所以点$C$的坐标为$(1,2)$，
设直线$l_{2}$的表达式为$y = kx(k \neq 0)$，
把$C(1,2)$代入，
得$2 = k$，
所以直线$l_{2}$的表达式为$y = 2x$。
故答案为：$y = 2x$。

19. (8 分)如图,过点 $A(2,0)$ 的两条直线 $l_{1},l_{2}$ 分别交 $y$ 轴于 $B,C$ 两点,其中点 $B$ 在原点上方,点 $C$ 在原点下方. 已知 $AB = \sqrt{13}$.
(1)求点 $B$ 的坐标；
(2)若$\triangle ABC$ 的面积为 4,求直线 $l_{2}$ 的表达式.

(1)$ (0,3) $；(2)$ y=\frac{1}{2}x - 1 $。

(1)设点$ B(0,b) $，$ b＞0 $。
$ A(2,0) $，则$ OA=2 $，$ OB=b $。
在$ Rt\triangle AOB $中，$ AB^2=OA^2+OB^2 $。
$ AB=\sqrt{13} $，$ \therefore (\sqrt{13})^2=2^2+b^2 $，
$ 13=4+b^2 $，$ b^2=9 $，$ b=3 $（$ b＞0 $）。
$ \therefore B(0,3) $。
(2)设点$ C(0,c) $，$ c＜0 $。
$ B(0,3) $，$ C(0,c) $，则$ BC=|3 - c| $。
$ S_{\triangle ABC}=4 $，以$ BC $为底，高为$ A $到$ y $轴距离$ 2 $。
$ S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× BC× 2=BC=4 $，
$ \therefore |3 - c|=4 $。
$ c＜0 $，$ 3 - c＞0 $，$ 3 - c=4 $，$ c=-1 $。
$ \therefore C(0,-1) $。
设直线$ l_2:y=kx + d $，过$ A(2,0) $，$ C(0,-1) $。
$ d=-1 $，代入$ A(2,0) $：$ 0=2k - 1 $，$ k=\frac{1}{2} $。
$ \therefore l_2:y=\frac{1}{2}x - 1 $。