1. 下列说法正确的是（）
A.$-\frac{ab^{4}}{5}$不是整式
B.$\frac{6m^{2}b^{4}}{7}$的系数是$6$，次数是$3$
C.$1$是单项式，$t - 1$是多项式
D.$x^{4} + y^{2} - 3$是六次三项式

1.C

2. 若多项式$2x^{2}y^{|m|} - (m - 2)xy + 1$是关于$x$，$y$的四次二项式，则$m$的值为（）
A.$2$
B.$-2$
C.$\pm 2$
D.$\pm 1$

2.A

多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数，对于关于$x$，$y$的多项式$2x^{2}y^{|m|} - (m - 2)xy + 1$：
1. 第一项$2x^{2}y^{|m|}$的次数为$2 + |m|$；
2. 第二项$- (m - 2)xy$的次数为$1 + 1 = 2$；
3. 第三项$1$是常数项，次数为$0$。
因为该多项式是四次多项式，所以最高次项的次数为$4$，即$2 + |m| = 4$，解得$|m| = 2$，$m = \pm 2$。
又因为该多项式是二项式，所以多项式中只能有两项。当$m = 2$时，第二项$- (2 - 2)xy = 0$，此时多项式为$2x^{2}y^{2} + 1$，是二项式；当$m = - 2$时，第二项$- (- 2 - 2)xy = 4xy$，此时多项式为$2x^{2}y^{2} + 4xy + 1$，是三项式，不符合题意。
综上，$m = 2$。
A

3. 如图是一个“数值转换机”，若开始输入$x$的值为$26$，第$1$次输出的结果为$27$，则第$2025$次输出的结果是.

3.3

第1次输出：27
第2次输出：27÷3=9
第3次输出：9÷3=3
第4次输出：3÷3=1
第5次输出：1+1=2
第6次输出：2+1=3
第7次输出：3÷3=1
第8次输出：1+1=2
...
从第3次开始，输出结果以3,1,2循环，周期为3
(2025-2)÷3=674...1，故第2025次输出结果为3

4. 观察下列等式，探究其中规律并回答问题：
$1 + 8 = 3^{2}$，
$1 + 8 + 16 = 5^{2}$，
$1 + 8 + 16 + 24 = 7^{2}$，
$1 + 8 + 16 + 24 + 32 = k^{2}$，
……
（1）第$4$个等式中正整数$k$的值是；
（2）第$5$个等式是；
（3）第$n$个等式是（其中$n$是正整数）.

4.
(1)9
(2)$1+8+16+24+32+40=11^{2}$
(3)$1+8+16+... +8n=(2n+1)^{2}$

5. 将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列顺序，$2025$应在点处.

5.D

观察图形可知，每4个数为一个循环组依次循环，每个循环组的4个数对应的位置分别为1→2→4→3→5→6→8→7→9→…，即位置顺序为：1（起点），2（右），4（下），3（左），5（下），6（右），8（下），7（左），9（下），…，可归纳出每个循环组包含4个数，位置依次对应点：起点（1），右（2），下（4），左（3），下（5），右（6），下（8），左（7），…，实际每个循环的4个数对应的最终稳定位置为：2→4→3→5→6→8→7→9→…，进一步简化可得每4个数对应的位置为：第1个数（1）在起点，之后每4个数（2-5，6-9，…）的位置规律为：右、下、左、下，即每4个数对应位置为B、C、A、D循环（假设2对应B，4对应C，3对应A，5对应D，6对应B，8对应C，7对应A，9对应D，…）。
验证：2对应B，3对应A，4对应C，5对应D，6对应B，7对应A，8对应C，9对应D，…，规律成立，即从2开始，每4个数为一个循环：B、A、C、D。
计算2025与2的差值：2025-2=2023。
循环周期为4，2023÷4=505……3，余数为3。
循环顺序：B（余数1）、A（余数2）、C（余数3）、D（余数0），余数3对应C，但之前假设可能存在位置对应偏差，重新准确对应：
由图中明确位置：1→2（右，设为B），2→4（下，设为C），4→5（左，设为A），5→6（下，设为D），6→8（右，B），8→9（左，A），9→…（下，C），…，正确循环应为每4个数位置：B→C→A→D。
以2为B，4为C，3为A（3在2的上左，对应A），5为D（5在4的下，对应D），则循环顺序为B（2）、A（3）、C（4）、D（5），6为B，7为A，8为C，9为D，…，周期4：B、A、C、D。
2025是从2开始的第2025-1=2024个数（因为1是起点，2是第1个数），2024÷4=506，整除，对应循环的最后一个位置D。
2025应在点D处。
D

1. 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第$1$个图案有$4$个三角形，第$2$个图案有$7$个三角形，第$3$个图案有$10$个三角形……，按照此规律摆下去，摆成第$2025$个图案需要个三角形.

1.6076

第1个图案三角形个数：$4=3×1 + 1$
第2个图案三角形个数：$7=3×2 + 1$
第3个图案三角形个数：$10=3×3 + 1$
...
第n个图案三角形个数：$3n + 1$
当$n=2025$时，$3×2025 + 1=6075 + 1=6076$
6076

2. 新定义：$a$是不为$1$的有理数，我们把$\frac{1}{1 - a}$称为$a$的差倒数.例如，$2$的差倒数是$\frac{1}{1 - 2} = -1$，$-1$的差倒数是$\frac{1}{1 - (-1)} = \frac{1}{2}$.已知$a_{1} = \frac{1}{3}$，$a_{2}$是$a_{1}$的差倒数，$a_{3}$是$a_{2}$的差倒数，$a_{4}$是$a_{3}$的差倒数……，依此类推，则$a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdots + a_{2024}$的值为.

2.$-\frac {221}{2}$

$a_{1}=\frac{1}{3}$
$a_{2}=\frac{1}{1 - \frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$
$a_{3}=\frac{1}{1 - \frac{3}{2}}=-2$
$a_{4}=\frac{1}{1 - (-2)}=\frac{1}{3}$
周期为3，一个周期的和为$\frac{1}{3}+\frac{3}{2}+(-2)=\frac{2}{6}+\frac{9}{6}-\frac{12}{6}=-\frac{1}{6}$
$2024÷3=674\cdots\cdots2$
$674×(-\frac{1}{6})+\frac{1}{3}+\frac{3}{2}=-\frac{337}{3}+\frac{1}{3}+\frac{3}{2}=-\frac{336}{3}+\frac{3}{2}=-112+\frac{3}{2}=-\frac{221}{2}$
$-\frac{221}{2}$

3. 如图，在数轴上，$A$，$B$，$C$三点分别表示数$-1$，$3$，$5$，点$P$为数轴上任意一点，其表示的数为$x$.点$A$与点$P$之间的距离表示为$AP$，点$B$与点$P$之间的距离表示为$BP$.
（1）若$AP = BP$，则$x =$；
（2）若$AP + BP = 8$，求$x$的值；
（3）若点$P$从点$C$出发，以每秒$3$个单位长度的速度向右运动，点$A$以每秒$1$个单位长度的速度向左运动，点$B$以每秒$2$个单位长度的速度向右运动，三点同时出发.设运动时间为$t$ $s$，试判断，$4BP - AP$的值是否会随着$t$的变化而变化？请说明理由.

3.解:
(1)1
(2)因为$AP+BP=8,$若点P在点A左侧,则$AP=-1-x,BP=3-x,$即$AP+BP=-1-x+3-x=8,$所以$x=-3;$若点P在点B右侧,则$AP=x+1,BP=x-3,$即$AP+BP=x+1+x-3=8,$所以$x=5.$故x的值为-3或5.
(3)不变.理由如下:由题意,得$BP=t+2,AP=4t+6,$$4BP-AP=4(t+2)-(4t+6)=2.$所以$4BP-AP$的值不会随着t的变化而变化.