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例1 估算下列各数的大小：
(1) $\sqrt{218}$(精确到0.1)；(2) $\sqrt[3]{640}$(误差小于0.1)。
[解答] (1) 因为 $14^{2}= 196$,$15^{2}= 225$,$196＜218＜225$,所以 $14＜\sqrt{218}＜15$。
因为 $14.7^{2}= 216.09$,$14.8^{2}= 219.04$,$216.09＜218＜219.04$,
所以 $14.7＜\sqrt{218}＜14.8$。
因为 $14.76^{2}= 217.8576$,$14.77^{2}= 218.1529$,$217.8576＜218＜218.1529$,
所以 $14.76＜\sqrt{218}＜14.77$,
所以 $\sqrt{218}\approx14.8$。
(2) 因为 $8^{3}= 512$,$9^{3}= 729$,$512＜640＜729$,所以 $8＜\sqrt[3]{640}＜9$。
因为 $8.6^{3}= 636.056$,$8.7^{3}= 658.503$,$636.056＜640＜658.503$,
所以 $8.6＜\sqrt[3]{640}＜8.7$。
所以 $\sqrt[3]{640}\approx8.6$ 或 $\sqrt[3]{640}= 8.7$。
(1) $\sqrt{218}$(精确到0.1)；(2) $\sqrt[3]{640}$(误差小于0.1)。
[解答] (1) 因为 $14^{2}= 196$,$15^{2}= 225$,$196＜218＜225$,所以 $14＜\sqrt{218}＜15$。
因为 $14.7^{2}= 216.09$,$14.8^{2}= 219.04$,$216.09＜218＜219.04$,
所以 $14.7＜\sqrt{218}＜14.8$。
因为 $14.76^{2}= 217.8576$,$14.77^{2}= 218.1529$,$217.8576＜218＜218.1529$,
所以 $14.76＜\sqrt{218}＜14.77$,
所以 $\sqrt{218}\approx14.8$。
(2) 因为 $8^{3}= 512$,$9^{3}= 729$,$512＜640＜729$,所以 $8＜\sqrt[3]{640}＜9$。
因为 $8.6^{3}= 636.056$,$8.7^{3}= 658.503$,$636.056＜640＜658.503$,
所以 $8.6＜\sqrt[3]{640}＜8.7$。
所以 $\sqrt[3]{640}\approx8.6$ 或 $\sqrt[3]{640}= 8.7$。
答案
(1)
因为$14^{2}=196$，$15^{2}=225$，且$196\lt218\lt225$，所以$14\lt\sqrt{218}\lt15$。
又因为$14.7^{2}=216.09$，$14.8^{2}=219.04$，且$216.09\lt218\lt219.04$，所以$14.7\lt\sqrt{218}\lt14.8$。
再由于$14.76^{2}=217.8576$，$14.77^{2}=218.1529$，且$217.8576\lt218\lt218.1529$，所以$14.76\lt\sqrt{218}\lt14.77$。
所以$\sqrt{218}\approx14.8$。
(2)
因为$8^{3}=512$，$9^{3}=729$，且$512\lt640\lt729$，所以$8\lt\sqrt[3]{640}\lt9$。
又因为$8.6^{3}=636.056$，$8.7^{3}=658.503$，且$636.056\lt640\lt658.503$，所以$8.6\lt\sqrt[3]{640}\lt8.7$。
所以$\sqrt[3]{640}\approx8.6$（或$\sqrt[3]{640}\approx8.7$）。
因为$14^{2}=196$，$15^{2}=225$，且$196\lt218\lt225$，所以$14\lt\sqrt{218}\lt15$。
又因为$14.7^{2}=216.09$，$14.8^{2}=219.04$，且$216.09\lt218\lt219.04$，所以$14.7\lt\sqrt{218}\lt14.8$。
再由于$14.76^{2}=217.8576$，$14.77^{2}=218.1529$，且$217.8576\lt218\lt218.1529$，所以$14.76\lt\sqrt{218}\lt14.77$。
所以$\sqrt{218}\approx14.8$。
(2)
因为$8^{3}=512$，$9^{3}=729$，且$512\lt640\lt729$，所以$8\lt\sqrt[3]{640}\lt9$。
又因为$8.6^{3}=636.056$，$8.7^{3}=658.503$，且$636.056\lt640\lt658.503$，所以$8.6\lt\sqrt[3]{640}\lt8.7$。
所以$\sqrt[3]{640}\approx8.6$（或$\sqrt[3]{640}\approx8.7$）。
例2 分别比较下列两个数的大小：
(1) $\frac{\sqrt{6}-2}{2}与\frac{1}{3}$；(2) $3\sqrt{5}$与 $5\sqrt{3}$。
[解答] (1) 因为 $\frac{\sqrt{6}-2}{2}= \frac{3\sqrt{6}-6}{6}$,$\frac{1}{3}= \frac{2}{6}$,且 $6＜6.25$,所以 $\sqrt{6}＜2.5$。
所以 $3\sqrt{6}-6＜3×2.5 - 6 = 1.5＜2$,
所以 $\frac{3\sqrt{6}-6}{6}＜\frac{2}{6}$,即 $\frac{\sqrt{6}-2}{2}＜\frac{1}{3}$。
(2) 方法一：因为 $5＜5.29 = 2.3^{2}$,$1.7^{2}= 2.89＜3$,
所以 $\sqrt{5}＜2.3$,$1.7＜\sqrt{3}$。
所以 $3\sqrt{5}＜3×2.3 = 6.9$,$8.5 = 5×1.7＜5\sqrt{3}$,
所以 $3\sqrt{5}＜5\sqrt{3}$。
方法二：因为 $(3\sqrt{5})^{2}= 45$,$(5\sqrt{3})^{2}= 75$,$45＜75$,
所以 $3\sqrt{5}＜5\sqrt{3}$。
(1) $\frac{\sqrt{6}-2}{2}与\frac{1}{3}$；(2) $3\sqrt{5}$与 $5\sqrt{3}$。
[解答] (1) 因为 $\frac{\sqrt{6}-2}{2}= \frac{3\sqrt{6}-6}{6}$,$\frac{1}{3}= \frac{2}{6}$,且 $6＜6.25$,所以 $\sqrt{6}＜2.5$。
所以 $3\sqrt{6}-6＜3×2.5 - 6 = 1.5＜2$,
所以 $\frac{3\sqrt{6}-6}{6}＜\frac{2}{6}$,即 $\frac{\sqrt{6}-2}{2}＜\frac{1}{3}$。
(2) 方法一：因为 $5＜5.29 = 2.3^{2}$,$1.7^{2}= 2.89＜3$,
所以 $\sqrt{5}＜2.3$,$1.7＜\sqrt{3}$。
所以 $3\sqrt{5}＜3×2.3 = 6.9$,$8.5 = 5×1.7＜5\sqrt{3}$,
所以 $3\sqrt{5}＜5\sqrt{3}$。
方法二：因为 $(3\sqrt{5})^{2}= 45$,$(5\sqrt{3})^{2}= 75$,$45＜75$,
所以 $3\sqrt{5}＜5\sqrt{3}$。
答案
(1)
$\begin{aligned}\frac{\sqrt{6} - 2}{2} &= \frac{3\sqrt{6} - 6}{6}, \\frac{1}{3} &= \frac{2}{6}. \\因为 \quad & \sqrt{6} ＜ 2.5, \\所以 \quad & 3\sqrt{6} - 6 ＜ 3 × 2.5 - 6 = 1.5 ＜ 2, \\因此 \quad & \frac{3\sqrt{6} - 6}{6} ＜ \frac{2}{6}, \\即 \quad & \frac{\sqrt{6} - 2}{2} ＜ \frac{1}{3}.\end{aligned}$
(2)
方法一：
$\begin{aligned}因为 \quad & \sqrt{5} ＜ 2.3, \quad \sqrt{3} ＞ 1.7, \\所以 \quad & 3\sqrt{5} ＜ 3 × 2.3 = 6.9, \\& 5\sqrt{3} ＞ 5 × 1.7 = 8.5, \\因此 \quad & 3\sqrt{5} ＜ 5\sqrt{3}.\end{aligned}$
方法二：
$\begin{aligned}(3\sqrt{5})^{2} &= 45, \\(5\sqrt{3})^{2} &= 75, \\因为 \quad & 45 ＜ 75, \\所以 \quad & 3\sqrt{5} ＜ 5\sqrt{3}.\end{aligned}$
$\begin{aligned}\frac{\sqrt{6} - 2}{2} &= \frac{3\sqrt{6} - 6}{6}, \\frac{1}{3} &= \frac{2}{6}. \\因为 \quad & \sqrt{6} ＜ 2.5, \\所以 \quad & 3\sqrt{6} - 6 ＜ 3 × 2.5 - 6 = 1.5 ＜ 2, \\因此 \quad & \frac{3\sqrt{6} - 6}{6} ＜ \frac{2}{6}, \\即 \quad & \frac{\sqrt{6} - 2}{2} ＜ \frac{1}{3}.\end{aligned}$
(2)
方法一：
$\begin{aligned}因为 \quad & \sqrt{5} ＜ 2.3, \quad \sqrt{3} ＞ 1.7, \\所以 \quad & 3\sqrt{5} ＜ 3 × 2.3 = 6.9, \\& 5\sqrt{3} ＞ 5 × 1.7 = 8.5, \\因此 \quad & 3\sqrt{5} ＜ 5\sqrt{3}.\end{aligned}$
方法二：
$\begin{aligned}(3\sqrt{5})^{2} &= 45, \\(5\sqrt{3})^{2} &= 75, \\因为 \quad & 45 ＜ 75, \\所以 \quad & 3\sqrt{5} ＜ 5\sqrt{3}.\end{aligned}$
