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1. 如图,$ \angle A = 90^{\circ} $,以 $ \triangle ABC $ 三边为直径的三个半圆的面积分别为 $ S_{1} $,$ S_{2} $,$ S_{3} $,则 $ S_{1} $,$ S_{2} $,$ S_{3} $ 之间的关系为(
A.$ S_{1}+S_{2}＞S_{3} $
B.$ S_{1}+S_{2}＜S_{3} $
C.$ S_{2}+S_{3}= S_{1} $
D.无法判定
C
)。A.$ S_{1}+S_{2}＞S_{3} $
B.$ S_{1}+S_{2}＜S_{3} $
C.$ S_{2}+S_{3}= S_{1} $
D.无法判定
答案
C
解析
设 $ BC=a $，$ AB=b $，$ AC=c $。
因为 $ \angle A=90° $，由勾股定理得 $ a^2 = b^2 + c^2 $。
$ S_1 $ 是以 $ BC $ 为直径的半圆面积，$ S_1 = \frac{1}{2}\pi\left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{8} $。
$ S_2 $ 是以 $ AB $ 为直径的半圆面积，$ S_2 = \frac{1}{2}\pi\left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{\pi b^2}{8} $。
$ S_3 $ 是以 $ AC $ 为直径的半圆面积，$ S_3 = \frac{1}{2}\pi\left(\frac{c}{2}\right)^2 = \frac{\pi c^2}{8} $。
所以 $ S_2 + S_3 = \frac{\pi b^2}{8} + \frac{\pi c^2}{8} = \frac{\pi (b^2 + c^2)}{8} = \frac{\pi a^2}{8} = S_1 $。
即 $ S_2 + S_3 = S_1 $。
答案：C
因为 $ \angle A=90° $，由勾股定理得 $ a^2 = b^2 + c^2 $。
$ S_1 $ 是以 $ BC $ 为直径的半圆面积，$ S_1 = \frac{1}{2}\pi\left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{8} $。
$ S_2 $ 是以 $ AB $ 为直径的半圆面积，$ S_2 = \frac{1}{2}\pi\left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{\pi b^2}{8} $。
$ S_3 $ 是以 $ AC $ 为直径的半圆面积，$ S_3 = \frac{1}{2}\pi\left(\frac{c}{2}\right)^2 = \frac{\pi c^2}{8} $。
所以 $ S_2 + S_3 = \frac{\pi b^2}{8} + \frac{\pi c^2}{8} = \frac{\pi (b^2 + c^2)}{8} = \frac{\pi a^2}{8} = S_1 $。
即 $ S_2 + S_3 = S_1 $。
答案：C
2. 如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为 $ 0.7 \, m $,顶端距离地面 $ 2.4 \, m $。如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面 $ 2 \, m $,则小巷的宽度为(
A.$ 0.7 \, m $
B.$ 1.5 \, m $
C.$ 2.2 \, m $
D.$ 2.4 \, m $
C
)。A.$ 0.7 \, m $
B.$ 1.5 \, m $
C.$ 2.2 \, m $
D.$ 2.4 \, m $
答案
C
解析
设梯子长度为$ l \, m $，梯子底端到右墙角的距离为$ x \, m $。
由勾股定理，斜靠左墙时：$ l^2 = 0.7^2 + 2.4^2 $
$\begin{aligned}l^2&=0.49 + 5.76\\l^2&=6.25\\l&=2.5\end{aligned}$
斜靠右墙时：$ l^2 = x^2 + 2^2 $，即$ 2.5^2 = x^2 + 4 $
$\begin{aligned}6.25&=x^2 + 4\\x^2&=2.25\\x&=1.5 \, (x＞0)\end{aligned}$
小巷宽度为$ 0.7 + 1.5 = 2.2 \, m $
C
由勾股定理，斜靠左墙时：$ l^2 = 0.7^2 + 2.4^2 $
$\begin{aligned}l^2&=0.49 + 5.76\\l^2&=6.25\\l&=2.5\end{aligned}$
斜靠右墙时：$ l^2 = x^2 + 2^2 $，即$ 2.5^2 = x^2 + 4 $
$\begin{aligned}6.25&=x^2 + 4\\x^2&=2.25\\x&=1.5 \, (x＞0)\end{aligned}$
小巷宽度为$ 0.7 + 1.5 = 2.2 \, m $
C
3. 一艘船从早上 8 时出发,以 $ 8 \, n mile/h $ 的速度向正东方向航行。$ 1 \, h $ 后,另一艘船从同一停泊点以 $ 12 \, n mile/h $ 的速度向正南方向航行,上午 10 时,两艘船相距(
A.$ 15 \, n mile $
B.$ 12 \, n mile $
C.$ 13 \, n mile $
D.$ 20 \, n mile $
D
)。A.$ 15 \, n mile $
B.$ 12 \, n mile $
C.$ 13 \, n mile $
D.$ 20 \, n mile $
答案
D
解析
从早上8时到上午10时，第一艘船航行时间为$10 - 8 = 2\,h$，速度为$8\,n mile/h$，则其航行路程为$8×2 = 16\,n mile$（向正东）。
第二艘船1小时后（即9时）出发，到上午10时航行时间为$10 - 9 = 1\,h$，速度为$12\,n mile/h$，则其航行路程为$12×1 = 12\,n mile$（向正南）。
两艘船的航行方向互相垂直，构成直角三角形，两直角边分别为$16\,n mile$和$12\,n mile$，根据勾股定理，相距距离为$\sqrt{16^{2} + 12^{2}}=\sqrt{256 + 144}=\sqrt{400} = 20\,n mile$。
D
第二艘船1小时后（即9时）出发，到上午10时航行时间为$10 - 9 = 1\,h$，速度为$12\,n mile/h$，则其航行路程为$12×1 = 12\,n mile$（向正南）。
两艘船的航行方向互相垂直，构成直角三角形，两直角边分别为$16\,n mile$和$12\,n mile$，根据勾股定理，相距距离为$\sqrt{16^{2} + 12^{2}}=\sqrt{256 + 144}=\sqrt{400} = 20\,n mile$。
D
4. 我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理,它标志着我国古代的数学成就。下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的,其中不能证明勾股定理的是(
A
)。答案
A
5. 赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,图中包含四个全等的勾股形和一个小正方形,其面积分别称为朱实和黄实。如图,设每一个勾股形的两条直角边长分别为 $ a $ 和 $ b $,若 $ ab = 8 $,且 $ a^{2}+b^{2}= 25 $,则黄实为(
A.36
B.25
C.16
D.9
D
)。A.36
B.25
C.16
D.9
答案
D
解析
黄实为小正方形的面积，小正方形边长为 $|b - a|$，面积为 $(b - a)^2$。
$(b - a)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$，已知 $a^2 + b^2 = 25$，$ab = 8$，
则 $(b - a)^2 = 25 - 2 × 8 = 25 - 16 = 9$。
答案：D
$(b - a)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$，已知 $a^2 + b^2 = 25$，$ab = 8$，
则 $(b - a)^2 = 25 - 2 × 8 = 25 - 16 = 9$。
答案：D
6. 如图,一个等腰三角形的一腰长为 15,底边上的高为 12,则底边长为
18
。答案
18
解析
在等腰三角形中，底边上的高将底边平分。设底边长为$2x$，则底边的一半为$x$。
根据勾股定理，腰长的平方等于底边上高的平方与底边一半的平方之和，可得：
$x^2 + 12^2 = 15^2$
$x^2 + 144 = 225$
$x^2 = 225 - 144 = 81$
$x = \sqrt{81} = 9$
所以底边长为$2x = 2×9 = 18$。
18
根据勾股定理，腰长的平方等于底边上高的平方与底边一半的平方之和，可得：
$x^2 + 12^2 = 15^2$
$x^2 + 144 = 225$
$x^2 = 225 - 144 = 81$
$x = \sqrt{81} = 9$
所以底边长为$2x = 2×9 = 18$。
18
