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2. 计算：(1)$(12^{5})^{2}$；(2)$[(-6)^{3}]^{4}$；(3)$-(a^{2})^{7}$；(4)$(y^{n})^{4}$；(5)$-[(a - b)^{3}]^{4}$；(6)$(x^{3})^{2}·(x^{2})^{3}$。
答案
(1)
根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n = a^{mn}$，
$(12^{5})^{2} = 12^{5 × 2} = 12^{10}$
(2)
根据幂的乘方运算法则，
$[(-6)^{3}]^{4} = (-6)^{3 × 4} = (-6)^{12} = 6^{12}$
(3)
根据幂的乘方运算法则，
$-(a^{2})^{7} = -a^{2 × 7} = -a^{14}$
(4)
根据幂的乘方运算法则，
$(y^{n})^{4} = y^{n \cdot 4} = y^{4n}$
(5)
根据幂的乘方运算法则，
$-[(a - b)^{3}]^{4} = -(a - b)^{3 × 4} = -(a - b)^{12}$
(6)
首先根据幂的乘方运算法则：
$(x^{3})^{2} = x^{6}$
$(x^{2})^{3} = x^{6}$
再根据同底数幂的乘法运算法则：
$x^{6} \cdot x^{6} = x^{6+6} = x^{12}$
所以，$(x^{3})^{2} \cdot (x^{2})^{3} = x^{12}$
根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n = a^{mn}$，
$(12^{5})^{2} = 12^{5 × 2} = 12^{10}$
(2)
根据幂的乘方运算法则，
$[(-6)^{3}]^{4} = (-6)^{3 × 4} = (-6)^{12} = 6^{12}$
(3)
根据幂的乘方运算法则，
$-(a^{2})^{7} = -a^{2 × 7} = -a^{14}$
(4)
根据幂的乘方运算法则，
$(y^{n})^{4} = y^{n \cdot 4} = y^{4n}$
(5)
根据幂的乘方运算法则，
$-[(a - b)^{3}]^{4} = -(a - b)^{3 × 4} = -(a - b)^{12}$
(6)
首先根据幂的乘方运算法则：
$(x^{3})^{2} = x^{6}$
$(x^{2})^{3} = x^{6}$
再根据同底数幂的乘法运算法则：
$x^{6} \cdot x^{6} = x^{6+6} = x^{12}$
所以，$(x^{3})^{2} \cdot (x^{2})^{3} = x^{12}$
【典型例题 2】(1)$(-3b)^{3}$；(2)$(x^{2}y)^{2}$；(3)$(-2xy)^{4}$；(4)$(-a)^{3}$；(5)$(3a^{n})^{2}$。
答案
思路导引 依据运算法则“$(ab)^{n} = a^{n}b^{n}$($n$为正整数)”进行计算。
【解】
(1)$(-3b)^{3} = (-3)^{3}·b^{3} = -27b^{3}$。
(2)$(x^{2}y)^{2} = (x^{2})^{2}·y^{2} = x^{4}y^{2}$。
(3)$(-2xy)^{4} = (-2x)^{4}·y^{4} = (-2)^{4}·x^{4}·y^{4} = 16x^{4}y^{4}$。
(4)$(-a)^{3} = (-1)^{3}·a^{3} = -a^{3}$。
(5)$(3a^{n})^{2} = 3^{2}·(a^{n})^{2} = 9a^{2n}$。
【解】
(1)$(-3b)^{3} = (-3)^{3}·b^{3} = -27b^{3}$。
(2)$(x^{2}y)^{2} = (x^{2})^{2}·y^{2} = x^{4}y^{2}$。
(3)$(-2xy)^{4} = (-2x)^{4}·y^{4} = (-2)^{4}·x^{4}·y^{4} = 16x^{4}y^{4}$。
(4)$(-a)^{3} = (-1)^{3}·a^{3} = -a^{3}$。
(5)$(3a^{n})^{2} = 3^{2}·(a^{n})^{2} = 9a^{2n}$。
3. 计算：$(-\frac{1}{2}x^{2}y)^{3} = $(
A.$-\frac{1}{6}x^{6}y^{3}$
B.$-\frac{1}{8}x^{2}y^{3}$
C.$-\frac{1}{8}x^{6}y^{3}$
D.$-\frac{3}{2}x^{5}y^{4}$
C
)A.$-\frac{1}{6}x^{6}y^{3}$
B.$-\frac{1}{8}x^{2}y^{3}$
C.$-\frac{1}{8}x^{6}y^{3}$
D.$-\frac{3}{2}x^{5}y^{4}$
答案
C。
解析
根据积的乘方运算法则，$(ab)^n = a^n b^n$，以及幂的乘方运算法则，$(a^m)^n = a^{mn}$，有：
$(-\frac{1}{2}x^{2}y)^{3} = (-\frac{1}{2})^{3} \cdot (x^{2})^{3} \cdot y^{3} = -\frac{1}{8} \cdot x^{6} \cdot y^{3} = -\frac{1}{8}x^{6}y^{3}$。
$(-\frac{1}{2}x^{2}y)^{3} = (-\frac{1}{2})^{3} \cdot (x^{2})^{3} \cdot y^{3} = -\frac{1}{8} \cdot x^{6} \cdot y^{3} = -\frac{1}{8}x^{6}y^{3}$。
1. 下面的计算正确的是(
A.$(x^{2})^{3} = x^{5}$
B.$(x^{3}y)^{3} = x^{9}y$
C.$(2xy^{2})^{3} = 6x^{3}y^{6}$
D.$(-2x)^{2} = 4x^{2}$
D
)A.$(x^{2})^{3} = x^{5}$
B.$(x^{3}y)^{3} = x^{9}y$
C.$(2xy^{2})^{3} = 6x^{3}y^{6}$
D.$(-2x)^{2} = 4x^{2}$
答案
D
解析
A. 根据幂的乘方运算法则，$(x^{2})^{3} = x^{2 × 3} = x^{6}$，与 $x^{5}$ 不相等，故 A 错误；
B. 根据积的乘方运算法则，$(x^{3}y)^{3} = (x^{3})^{3} \cdot y^{3} = x^{9}y^{3}$，与 $x^{9}y$ 不相等，故 B 错误；
C. 根据积的乘方运算法则，$(2xy^{2})^{3} = 2^{3} \cdot x^{3} \cdot (y^{2})^{3} = 8x^{3}y^{6}$，与 $6x^{3}y^{6}$ 不相等，故 C 错误；
D. 根据积的乘方运算法则，$(-2x)^{2} = (-2)^{2} \cdot x^{2} = 4x^{2}$，与 $4x^{2}$ 相等，故 D 正确。
B. 根据积的乘方运算法则，$(x^{3}y)^{3} = (x^{3})^{3} \cdot y^{3} = x^{9}y^{3}$，与 $x^{9}y$ 不相等，故 B 错误；
C. 根据积的乘方运算法则，$(2xy^{2})^{3} = 2^{3} \cdot x^{3} \cdot (y^{2})^{3} = 8x^{3}y^{6}$，与 $6x^{3}y^{6}$ 不相等，故 C 错误；
D. 根据积的乘方运算法则，$(-2x)^{2} = (-2)^{2} \cdot x^{2} = 4x^{2}$，与 $4x^{2}$ 相等，故 D 正确。
2. (2024·四川攀枝花中考)计算$(-a^{2})^{3}$的结果是(
A.$-a^{6}$
B.$a^{6}$
C.$-a^{5}$
D.$a^{5}$
A
)A.$-a^{6}$
B.$a^{6}$
C.$-a^{5}$
D.$a^{5}$
答案
A
解析
根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘。$(-a^{2})^{3}=(-1)^3 \cdot (a^{2})^{3}=-1 \cdot a^{2×3}=-a^{6}$
3. 如果正方体的棱长是$(1 - 2b)^{3}$,那么这个正方体的体积是(
A.$(1 - 2b)^{6}$
B.$(1 - 2b)^{9}$
C.$(1 - 2b)^{12}$
D.$6(1 - 2b)^{6}$
B
)A.$(1 - 2b)^{6}$
B.$(1 - 2b)^{9}$
C.$(1 - 2b)^{12}$
D.$6(1 - 2b)^{6}$
答案
B
解析
正方体的体积公式为边长的立方，即$V = a^3$，其中$a$为边长。
本题中，正方体的棱长为$(1 - 2b)^3$，因此体积为：
$V = \left[(1 - 2b)^3\right]^3 = (1 - 2b)^{3 × 3} = (1 - 2b)^9$。
本题中，正方体的棱长为$(1 - 2b)^3$，因此体积为：
$V = \left[(1 - 2b)^3\right]^3 = (1 - 2b)^{3 × 3} = (1 - 2b)^9$。
4. 如果$(9^{n})^{2} = 3^{16}$,那么$n$的值为(
A.3
B.4
C.5
D.6
B
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
B
解析
首先，将$9^n$表示为$3$的幂形式，即$9^n = (3^2)^n = 3^{2n}$。
然后，计算$(9^n)^2$，即$(3^{2n})^2 = 3^{4n}$。
根据题目，有$3^{4n} = 3^{16}$。
由于底数相同，可以比较指数，得到$4n = 16$。
解得$n = 4$。
5. (2024·上海中考)计算：$(4x^{2})^{3} = $
$64x^{6}$
。答案
$64x^{6}$
解析
$(4x^{2})^{3}=4^{3}\cdot (x^{2})^{3}=64x^{6}$
6. 填入适当的数使下列等式成立：$(x^{4})^{($
2
$)} = (x^{($1
$)})^{8} = (x^{2})^{($4
$)}$。答案
2,1,4
解析
设第一个空为$a$，第二个空为$b$，第三个空为$c$。根据幂的乘方法则$(x^m)^n=x^{mn}$，可得：
对于$(x^4)^a=x^{4a}$，$(x^b)^8=x^{8b}$，$(x^2)^c=x^{2c}$，因为它们相等，所以指数相等。
令$4a=8b=2c=k$（$k$为常数），取$k=8$（或其他公倍数，此处取8方便计算），则$4a=8$，解得$a=2$；$8b=8$，解得$b=1$；$2c=8$，解得$c=4$。
对于$(x^4)^a=x^{4a}$，$(x^b)^8=x^{8b}$，$(x^2)^c=x^{2c}$，因为它们相等，所以指数相等。
令$4a=8b=2c=k$（$k$为常数），取$k=8$（或其他公倍数，此处取8方便计算），则$4a=8$，解得$a=2$；$8b=8$，解得$b=1$；$2c=8$，解得$c=4$。
7. 计算：(1)$(m^{5})^{6}$；(2)$-(n^{2})^{8}$；(3)$(2a^{3})^{2}$；(4)$(-a)^{4}$；(5)$(-2pq^{2})^{3}$；(6)$(-\frac{1}{2}a^{2}b)^{4}$。
答案
(1)
解：根据幂的乘方运算法则，$(a^m)^n = a^{m × n}$，
所以 $(m^{5})^{6} = m^{5 × 6} = m^{30}$。
(2)
解：根据幂的乘方运算法则，
所以$-(n^{2})^{8} = -n^{2 × 8} = -n^{16}$。
(3)
解：根据积的乘方运算法则，$(ab)^n = a^n b^n$，
所以$(2a^{3})^{2} = 2^2 × (a^{3})^{2} = 4 × a^{6} = 4a^{6}$。
(4)
解：根据幂的乘方运算法则，
所以$(-a)^{4} = ((-1) × a)^{4} = (-1)^{4} × a^{4} = 1 × a^{4} = a^{4}$。
(5)
解：根据积的乘方运算法则，
所以$(-2pq^{2})^{3} = (-2)^{3} × p^{3} × (q^{2})^{3} = -8 × p^{3} × q^{6} = -8p^{3}q^{6}$。
(6)
解：根据积的乘方运算法则，
所以$(-\frac{1}{2}a^{2}b)^{4} = (-\frac{1}{2})^{4} × (a^{2})^{4} × b^{4} = \frac{1}{16} × a^{8} × b^{4} = \frac{1}{16}a^{8}b^{4}$。
解：根据幂的乘方运算法则，$(a^m)^n = a^{m × n}$，
所以 $(m^{5})^{6} = m^{5 × 6} = m^{30}$。
(2)
解：根据幂的乘方运算法则，
所以$-(n^{2})^{8} = -n^{2 × 8} = -n^{16}$。
(3)
解：根据积的乘方运算法则，$(ab)^n = a^n b^n$，
所以$(2a^{3})^{2} = 2^2 × (a^{3})^{2} = 4 × a^{6} = 4a^{6}$。
(4)
解：根据幂的乘方运算法则，
所以$(-a)^{4} = ((-1) × a)^{4} = (-1)^{4} × a^{4} = 1 × a^{4} = a^{4}$。
(5)
解：根据积的乘方运算法则，
所以$(-2pq^{2})^{3} = (-2)^{3} × p^{3} × (q^{2})^{3} = -8 × p^{3} × q^{6} = -8p^{3}q^{6}$。
(6)
解：根据积的乘方运算法则，
所以$(-\frac{1}{2}a^{2}b)^{4} = (-\frac{1}{2})^{4} × (a^{2})^{4} × b^{4} = \frac{1}{16} × a^{8} × b^{4} = \frac{1}{16}a^{8}b^{4}$。
