2. (2024·江苏镇江中考改编)如图,∠C= ∠D= 90°,∠CBA= ∠DAB.

(1)求证△ABC≌△BAD；
(2)若∠DAB= 70°,求∠CAB 的度数.

(1)
在$\triangle ABC$与$\triangle BAD$中，
$\begin{cases}\angle C = \angle D\\ \angle CBA = \angle DAB\\AB = BA\end{cases}$
根据$AAS$判定定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle BAD$。
(2)
因为$\triangle ABC\cong\triangle BAD$，$\angle DAB = 70^{\circ}$，
所以$\angle ABC=\angle DAB = 70^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，
根据直角三角形两锐角互余，可得$\angle CAB=90^{\circ}-\angle ABC = 90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}$。
综上，答案为：(1)证明见上述推理；(2)$20^{\circ}$。

1. 如图,若 AD= AC,∠BAD= ∠CAE,则添加一个条件不能证明△ABC≌△AED 的是()

A.AB= AE
B.∠B= ∠E
C.∠C= ∠D
D.BC= DE

D

已知$AD=AC$，$\angle BAD=\angle CAE$，
选项A：添加$AB=AE$，
在$\triangle ABC$和$\triangle AED$中，
$AB = AE$，$\angle BAD+\angle DAE=\angle CAE+\angle DAE$，即$\angle BAC=\angle EAD$，$AC=AD$，
利用$SAS$可证$\triangle ABC\cong\triangle AED$。
选项B：添加$\angle B=\angle E$，
在$\triangle ABC$和$\triangle AED$中，
$\angle B=\angle E$，$\angle BAC=\angle EAD$，$AC=AD$，
利用$AAS$可证$\triangle ABC\cong\triangle AED$。
选项C：添加$\angle C=\angle D$，
在$\triangle ABC$和$\triangle AED$中，
$\angle C=\angle D$，$\angle BAC=\angle EAD$，$AC=AD$，
利用$ASA$可证$\triangle ABC\cong\triangle AED$。
选项D：$BC=DE$，$SSA$不能判定两个三角形全等，
所以添加$BC = DE$不能证明$\triangle ABC\cong\triangle AED$。

2. (2024·黑龙江牡丹江中考)如图,在△ABC 中,D 是 AB 上一点,CF//AB,D,E,F 三点共线,请添加一个条件,使得 AE= CE.

AD=CF

∵CF//AB，∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。要使AE=CE，需证△ADE≌△CFE。已知∠AED=∠CEF（对顶角相等），∠ADE=∠CFE，添加条件AD=CF，可根据“ASA”判定△ADE≌△CFE，从而得AE=CE。

3. 如图,AB//CD,AE//CF,BF= DE. 求证 AB= CD.

∵AB//CD，
∴∠B=∠D（两直线平行，内错角相等）。
∵AE//CF，
∴∠AEF=∠CFE（两直线平行，内错角相等），
∴∠AEB=∠CFD（等角的补角相等）。
∵BF=DE，
∴BF+EF=DE+EF，即BE=DF。
在△ABE和△CDF中，
∠B=∠D，
BE=DF，
∠AEB=∠CFD，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AB=CD。

4. 如图,在△ABC 中,AB= AC,AB＞BC,点 D 在边 BC 上,CD= 2BD,点 E,F 在线段 AD 上,∠1= ∠2= ∠BAC,若△ABC 的面积为 18,则△ACF 与△BDE 的面积之和是()

A.6
B.8
C.9
D.12

A

∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∠ABC=∠ACB。设∠BAC=α，则∠1=∠2=α。
∵∠1是△ABE外角，∴∠1=∠BAE+∠ABE，又∠BAC=∠BAE+∠EAC=α，∴∠ABE=∠EAC。
同理，∠2是△ACF外角，∴∠2=∠CAF+∠ACF=α，又∠BAC=∠BAF+∠CAF=α，∴∠ACF=∠BAF。
在△ABE和△CAF中，∠ABE=∠CAF，AB=AC，∠BAF=∠ACF，∴△ABE≌△CAF（ASA），故S△ABE=S△ACF。
∵CD=2BD，S△ABC=18，∴S△ABD=6，S△ACD=12。
∵E在AD上，∴S△ABD=S△ABE+S△BDE=S△ACF+S△BDE=6。

5. 小明沿一段笔直的人行道 AB 行走,在由 A 处步行到达 B 处的过程中,通过隔离带的空隙 O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语. 如图,AB//OH//CD,相邻两条平行线间的距离相等,AC,BD 相交于点 O,OD⊥CD,垂足为 D. 已知 AB= 20 m,请根据上述信息求标语 CD 的长.

∵ AB//CD，
∴ ∠ABO = ∠CDO，
∵ 相邻两平行线间的距离相等，
∴ O 到 AB 的距离与 O 到 CD 的距离相等，
又∵ OD ⊥ CD，
设垂足为 D，过 O 作 OE ⊥ AB，垂足为 E，
∴ OE = OD，
∵ 在△AOB 和△COD 中，
$\begin{cases}\angle ABO=\angle CDO\\OE = OD（角平分线性质倒推全等中的对应边相等，此处由距离相等及垂直关系可得）\\\angle BOA=\angle DOC（对顶角相等，由AC，BD相交于O可得）\end{cases}$
（根据 AAS 判定定理）
∴ △AOB ≌ △COD，
∵ AB = 20m，
∴ CD = AB = 20m。
故答案为：20m。