1. 将一副三角板的两个顶点重叠放在一起(两个三角板中的锐角分别为 $ 45^{\circ} $、$ 45^{\circ} $ 和 $ 30^{\circ} $、$ 60^{\circ} $).
(1)如图 1,在此种情形下,当 $ \angle DAC = 4\angle BAD $ 时,求 $ \angle CAE $ 的度数；
(2)如图 2,在此种情形下,当 $ \angle ACE = 3\angle BCD $ 时,求 $ \angle ACD $ 的度数.

（1）
∵∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC=4∠BAD，
∴5∠BAD=90°，即∠BAD=18°，
∴∠DAC=4×18°=72°，
∵∠DAE=90°，
∴∠CAE=∠DAE - ∠DAC=18°. （2）
∵∠BCE=∠DCE - ∠BCD=60° - ∠BCD，且∠ACE=3∠BCD，∠ACB=90°，
∴3∠BCD+60° - ∠BCD=90°，解得∠BCD=15°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=90°+15°=105°.

2. 已知 $ \angle AOB = 120^{\circ} $,射线 $ OC $ 在 $ \angle AOB $ 的内部,且 $ \angle AOC = 80^{\circ} $,若存在 $ \angle COD = 3\angle BOC $,求 $ \angle AOD $ 的度数.

∵∠AOB=120°，∠AOC=80°，
∴∠BOC=40°，
∴∠COD=3∠BOC=120°. 如图1，OD在OC的逆时针方向，
∴∠AOD=∠COD - ∠AOC=40°；如图2，OD在OC的顺时针方向，
∴∠AOD=360° - ∠COD - ∠AOC=160°. 综上所述，∠AOD的度数为40°或160°.

3. 如图 1,已知 $ \angle AOB = 60^{\circ} $,$ OM $ 平分 $ \angle AOB $.
(1)$ \angle BOM = $；
(2)若在图 1 中画射线 $ OC $,使得 $ \angle BOC = 20^{\circ} $,$ ON $ 平分 $ \angle BOC $,求 $ \angle MON $ 的度数；

(3)如图 2,若线段 $ OA $ 与 $ OB $ 分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针,$ \angle AOB = 60^{\circ} $,在时针与分针转动过程中,$ OM $ 始终平分 $ \angle AOB $. 经过多少分钟后,$ \angle BOM $ 的度数第一次等于 $ 50^{\circ} $？

（1）30° （2）∠MON的度数为20°或40°. （3）设经过t min，∠BOM的度数第一次等于50°.
∵∠BOM=50°，OM平分∠AOB，
∴∠AOB=100°，
∴6t - 0.5t=100 - 60，解得t=$\frac{80}{11}$，
∴经过$\frac{80}{11}$ min，∠BOM的度数第一次等于50°.