1. 在△ABC中,∠C= 90°,设∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,则下列各等式中一定成立的是()
A.a= c·sinA
B.b= c·cosB
C.c= $\frac{b}{\sin A}$
D.a= b·tanB

A

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，根据锐角三角函数定义：
$\sin A=\frac{a}{c}\Rightarrow a=c\cdot\sin A$，A选项正确；
$\cos B=\frac{a}{c}\Rightarrow a=c\cdot\cos B$，B选项错误；
$\sin A=\frac{a}{c}\Rightarrow c=\frac{a}{\sin A}$，C选项错误；
$\tan B=\frac{b}{a}\Rightarrow b=a\cdot\tan B$，D选项错误。
A

2. 如图,梯子跟地面的夹角为∠A,关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间,叙述正确的是()
A.sinA的值越小,梯子越陡
B.cosA的值越小,梯子越陡
C.tanA的值越小,梯子越陡
D.陡缓程度与∠A的函数值无关

B

在直角三角形中，梯子为斜边，∠A的对边为梯子顶端到地面的高度，邻边为梯子底端到墙的距离。
sinA = 对边/斜边，sinA的值越小，对边越短，梯子越平缓，A错误。
cosA = 邻边/斜边，cosA的值越小，邻边越短，梯子越陡，B正确。
tanA = 对边/邻边，tanA的值越小，对边越短或邻边越长，梯子越平缓，C错误。
梯子陡缓程度与∠A的函数值有关，D错误。
B

3. 已知锐角α满足sin25°= cosα,则α等于()
A.25°
B.55°
C.65°
D.75°

C

因为$\sin A = \cos(90^{\circ}-A)$，已知$\sin25^{\circ}= \cos\alpha$，所以$\alpha=90^{\circ}-25^{\circ}=65^{\circ}$。
C

4. 如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则sin∠BAC= ()
A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{\sqrt{10}}{5}$
D.$\frac{\sqrt{10}}{10}$

D

设小正方形边长为1，建立坐标系，令A(0,0)，B(1,2)，C(3,1)。
则AB²=1²+2²=5，AC²=3²+1²=10，BC²=(3-1)²+(1-2)²=5。
过B作BD⊥AC于D，S△ABC=3×2 - 1/2×1×2 - 1/2×3×1 - 1/2×2×1=6 - 1 - 1.5 - 1=2.5。
又S△ABC=1/2×AC×BD=1/2×√10×BD=2.5，解得BD=√10/2。
sin∠BAC=BD/AB=(√10/2)/√5=√10/(2√5)=√2/2×√5/√5=√10/10。

5. sin70°,cos70°,tan70°的大小关系是()
A.tan70°＜cos70°＜sin70°
B.cos70°＜tan70°＜sin70°
C.sin70°＜cos70°＜tan70°
D.cos70°＜sin70°＜tan70°

D

∵在$0^{\circ} ＜ \theta ＜ 90^{\circ}$时，$\cos\theta$随$\theta$增大而减小，$\sin\theta$随$\theta$增大而增大，$\tan\theta$随$\theta$增大而增大，且$\sin45^{\circ}=\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707$，$\tan45^{\circ}=1$。
$70^{\circ} ＞ 45^{\circ}$，
$\cos70^{\circ} ＜ \cos45^{\circ}\approx0.707$，
$\sin70^{\circ} ＞ \sin45^{\circ}\approx0.707$，
$\tan70^{\circ} ＞ \tan45^{\circ}=1$，
$\therefore \cos70^{\circ} ＜ \sin70^{\circ} ＜ \tan70^{\circ}$。
D

6. 在菱形ABCD中,对角线AC与BD之比是3:4,那么sin∠BAC= .

$\frac{4}{5}$（填对应选项）

设菱形$ABCD$的对角线$AC=3k$，$BD=4k$（$k＞0$）。
∵菱形对角线互相垂直平分，
∴$AO=\frac{3k}{2}$，$BO=2k$，$\angle AOB=90^\circ$。
在$Rt\triangle AOB$中，$AB=\sqrt{AO^2 + BO^2}=\sqrt{(\frac{3k}{2})^2 + (2k)^2}=\frac{5k}{2}$。
$\sin\angle BAC=\frac{BO}{AB}=\frac{2k}{\frac{5k}{2}}=\frac{4}{5}$。
$\frac{4}{5}$

7. 如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D.若AB= 12,CD= 6,tanA= $\frac{3}{2}$,求sinB+cosB的值.

在$Rt \bigtriangleup ACD$中，$\tan A = \frac{CD}{AD} = \frac{3}{2}$，$CD = 6$。
$AD = \frac{CD}{\tan A} = \frac{6}{\frac{3}{2}} = 4$。
$BD = AB - AD = 12 - 4 = 8$。
在$Rt \bigtriangleup BCD$中，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{CD^{2} + BD^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$。
在$Rt \bigtriangleup BCD$中，
$\sin B = \frac{CD}{BC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$，
$\cos B = \frac{BD}{BC} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$。
$\sin B + \cos B = \frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5}$。