7. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”。如：$4 = 2^{2}-0^{2},12 = 4^{2}-2^{2},20 = 6^{2}-4^{2},……$因此 $4,12,20$ 都是“神秘数”。
(1) 由两个连续偶数 $2k$ 和 $2k + 2$(其中 $k$ 为非负整数)构造的“神秘数”是 $4$ 的倍数吗？为什么？
(2) 结合(1)的结论判断 $24$ 和 $2020$ 是否为“神秘数”,说明理由。

(1) 是4的倍数。理由：由两个连续偶数$2k$和$2k + 2$构造的“神秘数”为$(2k + 2)^2 - (2k)^2$，利用平方差公式分解得$[(2k + 2) + 2k][(2k + 2) - 2k]=(4k + 2)×2=4(2k + 1)$，因为$k$为非负整数，所以$4(2k + 1)$是4的倍数。
(2) 24不是“神秘数”，2020是“神秘数”。理由：由(1)知“神秘数”可表示为$4(2k + 1)$（$k$为非负整数），即“神秘数”是4与一个奇数的乘积。
$24 = 4×6$，6是偶数，故24不是“神秘数”；
$2020 = 4×505$，505是奇数，令$2k + 1 = 505$，得$k = 252$，存在非负整数$k = 252$，故2020是“神秘数”。

$a^{2} + 2ab + b^{2} = $；
$ a^{2} - 2ab + b^{2} = $.
思考 完全平方式的结构特点如何？它的三项之间有什么关系？
填空 下列各式是完全平方式的有：.
① $x^{2} + 2x + 1$；
② $a^{2} - 6a - 9$；
③ $t^{2} + 3t + \frac{9}{4}$；
④ $4x^{2} + 12xy + 9y^{2}$；
⑤ $a^{2} + 81$.

$(a + b)^{2}$；$(a - b)^{2}$；①③④

$a^{2} + 2ab + b^{2}$ 符合完全平方公式 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$，所以 $a^{2} + 2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$；
$a^{2} - 2ab + b^{2}$ 符合完全平方公式 $(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$，所以 $a^{2} - 2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$。
完全平方式的结构特点：两数的平方和加上（或减去）这两数积的$2$倍，等于两数和（或差）的平方；三项关系：首末两项是两数的平方，中间一项是这两数积的$2$倍，且符号同两数和（差）的符号。
对于①$x^{2} + 2x + 1=(x + 1)^{2}$，是完全平方式；
对于②$a^{2}-6a - 9$，中间项是$-6a$，若是完全平方式应为$a^{2}-6a + 9=(a - 3)^{2}$，所以不是完全平方式；
对于③$t^{2}+3t+\frac{9}{4}=(t+\frac{3}{2})^{2}$，是完全平方式；
对于④$4x^{2}+12xy + 9y^{2}=(2x + 3y)^{2}$，是完全平方式；
对于⑤$a^{2}+81$，缺少两数积的$2$倍这一项，不是完全平方式。

例1 分解因式：
(1)$$ 4x^{2} + 20x + 25 $$； (2)$$ 1 + m + \frac{m^{2}}{4} $$；
(3)$$ (x - y)^{2} + 2(x - y) + 1 $$.
名师导引 应用完全平方公式分解因式时,首先要注意符号,其次要找准平方项的底数,另外还要关注交叉项.

(1) $4x^{2} + 20x + 25$
$=(2x)^{2} + 2×2x×5 + 5^{2}$
$=(2x + 5)^{2}$
(2) $1 + m + \frac{m^{2}}{4}$
$=1^{2} + 2×1×\frac{m}{2} + (\frac{m}{2})^{2}$
$=(1 + \frac{m}{2})^{2}$
(3) $(x - y)^{2} + 2(x - y) + 1$
$=(x - y)^{2} + 2×(x - y)×1 + 1^{2}$
$=(x - y + 1)^{2}$

变式训练 分解因式：
(1)$$ a^{2} - 2a + 1 = $$；
(2)$$ 4 - 12(x - y) + 9(x - y)^{2} = $$.

(1)$(a - 1)^{2}$ (2)$(2 - 3x + 3y)^{2}$（或$(3x - 3y - 2)^{2}$）

(1) 对于 $a^{2} - 2a + 1$，观察该多项式，发现它符合完全平方公式 $a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2}$ 的形式，其中$a$为题目中的$a$，$b$为$1$，$2ab$对应题目中的$2a$，所以$b$（即1）平方为1，与题目中的常数项相符。
所以，$a^{2} - 2a + 1 = (a - 1)^{2}$。
(2) 对于 $4 - 12(x - y) + 9(x - y)^{2}$，首先观察该多项式，发现它符合完全平方公式 $a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2}$ 的形式。在这里，可以将 $2$ 看作 $a$，$3(x - y)$ 看作 $b$，那么 $a^{2}$ 对应 $4$，$2ab$ 对应 $12(x - y)$，$b^{2}$ 对应 $9(x - y)^{2}$。
所以，$4 - 12(x - y) + 9(x - y)^{2} = \lbrack 2 - 3(x - y) \rbrack^{2} = (2 - 3x + 3y)^{2}$，根据平方的展开形式也可以写成$(3x - 3y - 2)^{2}$或$(3x-3y-2)(3x-3y-2)$（两者等价，都表示同一个平方项）。

例2 分解因式：
(1)$$ 4a^{2}x^{2} + 24ax + 36 $$；
(2)$$ a^{4} - 18a^{2} + 81 $$；
(3)$$ (m^{2} - 4n)^{2} - 4(m^{2} - 4n) + 4 $$.
名师导引 分解因式的一般步骤是：“一提”,即首先看能否提取公因式；“二套”,即然后看能否套用平方差或完全平方公式；“三查”,即最后检查分解是否彻底.

(1)
解：原式 $4a^{2}x^{2} + 24ax + 36$
首先提取公因式 $4$，得到：
$4(a^{2}x^{2} + 6ax + 9)$
观察括号内的三项式，它是 $(ax + 3)^{2}$ 的形式，因此：
$4(a^{2}x^{2} + 6ax + 9) = 4(ax + 3)^{2}$
(2)
解：原式 $a^{4} - 18a^{2} + 81$
观察该三项式，它是 $(a^{2})^{2} - 2 × 9a^{2} + 9^{2}$ 的形式，即完全平方公式，得到：
$(a^{2} - 9)^{2}$
再应用平方差公式，$a^{2} - 9$ 可分解为 $(a + 3)(a - 3)$，所以：
$(a^{2} - 9)^{2} = (a + 3)^{2}(a - 3)^{2}$
(3)
解：原式 $(m^{2} - 4n)^{2} - 4(m^{2} - 4n) + 4$
观察该三项式，它是 $(m^{2} - 4n - 2)^{2}$ 的形式（完全平方公式），得到：
$(m^{2} - 4n - 2)^{2}$

变式训练 分解因式：
(1)$$ -6a^{2} + 48ax - 96x^{2} $$；
(2)$$ (x^{2} - 3)^{2} - 2(x^{2} - 3) + 1 $$.

(1)
首先提取公因式$-6$：
$-6a^{2} + 48ax - 96x^{2} = -6(a^{2} - 8ax + 16x^{2})$
观察括号内多项式，它是完全平方形式：
$a^{2} - 8ax + 16x^{2} = (a - 4x)^{2}$
所以，
$-6a^{2} + 48ax - 96x^{2} = -6(a - 4x)^{2}$
(2)
将$(x^{2} - 3)$看作一个整体，$（x^2-3）^2-2（x^2-3）+1$符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的形式，其中$a=（x^2-3）$，$b=1$，所以：
$(x^{2} - 3)^{2} - 2(x^{2} - 3) + 1 = (x^{2} - 3 - 1)^{2} = (x^{2} - 4)^{2}$
再根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对$(x^{2} - 4)^{2}$继续分解：
$(x^{2} - 4)^{2}=(x + 2)^{2}(x - 2)^{2}$
综上，(1)$-6(a - 4x)^{2}$；(2)$(x + 2)^{2}(x - 2)^{2}$。