巩固提升 实数$a,b$在数轴上的对应点的位置如图所示。在下列结论中,正确的是()

A.$\vert a\vert ＜\vert b\vert$
B.$a + 1 ＜ b + 1$
C.$a^{2} ＜ b^{2}$
D.$a ＞ -b$

B

根据数轴可得：$-2＜a＜-1$，$0＜b＜1$。
对于选项A：$\vert a\vert$的范围在$1$到$2$之间，$\vert b\vert$的范围在$0$到$1$之间，显然$\vert a\vert ＞\vert b\vert$，所以选项A错误。
对于选项B：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，由$a＜b$可得$a + 1 ＜ b + 1$，所以选项B正确。
对于选项C：$a^{2}$的范围在$1$到$4$之间，$b^{2}$的范围在$0$到$1$之间，显然$a^{2} ＞ b^{2}$，所以选项C错误。
对于选项D：$-b$的范围在$-1$到$0$之间，而$a$小于$-1$，所以$a＜-b$，选项D错误。

例3 阅读下列材料,回答问题。
经过有理数运算的学习,我们知道$\vert 5 - 3\vert可以表示5与3$之差的绝对值,同时也可以理解为$5与3$两个数在数轴上所对应的两点之间的距离,我们可以称之为绝对值的几何意义。同理,$\vert 5 - (-2)\vert可以表示5与-2$之差的绝对值,也可以表示$5与-2$两个数在数轴上所对应的两点之间的距离。

请借助数轴探究下面的问题：
(1)$\vert 4 - 1\vert$表示数轴上与所对应的两点之间的距离；
(2)$\vert x - 5\vert表示数轴上有理数x$所对应的点到所对应的点之间的距离,$\vert x + 2\vert表示数轴上有理数x$所对应的点到所对应的点之间的距离；
(3)利用绝对值的几何意义,请找出所有符合条件的整数$x$,使得$\vert x + 2\vert + \vert x - 2\vert = 4$。这样的整数$x$有。

(1)4；1
(2)5；$- 2$
(3)
由$\vert x + 2\vert+\vert x - 2\vert$的几何意义为数轴上有理数$x$所对应的点到$-2$与$2$所对应的点之间的距离之和，且$\vert - 2 - 2\vert=4$。
当$x\lt - 2$时，$\vert x + 2\vert+\vert x - 2\vert=-(x + 2)-(x - 2)=-x - 2 - x + 2=-2x\gt4$；
当$-2\leqslant x\leqslant2$时，$\vert x + 2\vert+\vert x - 2\vert=x + 2-(x - 2)=x + 2 - x + 2 = 4$；
当$x\gt2$时，$\vert x + 2\vert+\vert x - 2\vert=x + 2+x - 2 = 2x\gt4$。
所以满足$\vert x + 2\vert+\vert x - 2\vert = 4$的整数$x$为$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$。
故答案为：$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$。

巩固提升 已知$\vert x - 3\vert + \vert y + 5\vert = 0$,求$\vert x + y\vert$的值。

根据题意，有$\vert x - 3\vert + \vert y + 5\vert = 0$。
由于绝对值函数的输出总是非负的，即$\vert x - 3\vert \geq 0$ 和 $\vert y + 5\vert \geq 0$，那么两个非负数之和为0，只有当这两个非负数都为0时才成立。
因此，有：
$x - 3 = 0$，
$y + 5 = 0$。
解得：
$x = 3$，
$y = -5$。
将$x$和$y$的值代入$\vert x + y\vert$，得到：
$\vert x + y\vert = \vert 3 + (-5)\vert = \vert -2\vert = 2$。
所以，$\vert x + y\vert$的值为2。

1. 对有理数$a,b$,规定运算如下：$a※b = a + ab$,则$-2※3$的值为()
A.$-10$
B.$-8$
C.$-6$
D.$-4$

B

根据题意，运算$a※b = a + ab$，将$a = -2$，$b = 3$代入得：
$-2※3 = -2 + (-2) × 3$
$= -2 - 6$
$= -8$

2. 在物理实验室中,我们常使用天平称量物体的质量,天平初始游码位置在$0$刻度处。若天平左边物体的质量为$a$g,右边砝码的质量为$b$g,下列几种情况中,表示$a ＜ b$的是()

A.
B.
C.
D.以上都不对

D

天平平衡时左盘物体质量等于右盘砝码质量。天平倾斜时，下沉一端质量更大。题目要求$a ＜ b$，即左盘物体质量小于右盘砝码质量，此时右盘应下沉。观察选项，A、B、C图中均为左盘下沉，说明$a ＞ b$，均不符合$a ＜ b$。

3. 有下列说法：①平方等于它本身的数是$0和\pm 1$；②$-a$一定是负数；③绝对值等于它本身的数是$0,1$；④倒数等于它本身的数是$\pm 1$。其中,错误的有(填写序号)。

①②③

①平方等于它本身的数应该满足 $x^2 = x$。解这个方程：
$x^2 - x = 0$，
$x(x - 1) = 0$，
$x = 0 \quad 或 \quad x = 1$，
所以平方等于它本身的数只有 $0$ 和 $1$，不包括 $-1$，因此①错误。
②对于 $-a$ 的符号，它取决于 $a$ 的符号。如果 $a$ 是正数，那么 $-a$ 是负数；如果 $a$ 是负数，那么 $-a$ 是正数；如果 $a = 0$，那么 $-a = 0$。因此，$-a$ 不一定是负数，所以②错误。
③绝对值等于它本身的数应该是非负数，因为对于任何非负数 $x$，都有 $|x| = x$。所以绝对值等于它本身的数不仅仅是 $0$ 和 $1$，而是所有非负数，因此③错误。
④倒数等于它本身的数应该满足 $\frac{1}{x} = x$。解这个方程：
$x^2 = 1$，
$x = 1 \quad 或 \quad x = -1$，
所以倒数等于它本身的数确实是 $\pm 1$，因此④正确。
综上所述，错误的有①②③。

4. 小明在超市买了一袋食品,外包装上印有“总净含量$(300 \pm 5)$g”的字样。小明拿去称了一下,发现只有$297$g。则食品生产厂家(填“有”或“没有”)欺诈行为。

答题卡：
根据“总净含量$(300 \pm 5)g$”可知，该食品的合格重量范围是$300 - 5 = 295g$到$300 + 5 = 305g$。
因为$297g$在$295g$到$305g$这个范围内。
所以食品生产厂家没有欺诈行为。
故答案为：没有。