3. 若分式 $\frac{x + y}{3xy}$ 中的 $x,y$ 都扩大到原来的 2 倍,则分式的值()
A.不变
B.扩大到原来的 2 倍
C.扩大到原来的 4 倍
D.缩小为原来的 $\frac{1}{2}$

D

假设 $x$ 和 $y$ 都扩大到原来的 2 倍，即 $x$ 变为 $2x$，$y$ 变为 $2y$。
新分式为：
$\frac{2x + 2y}{3 \cdot 2x \cdot 2y} = \frac{2(x + y)}{12xy} = \frac{x + y}{6xy}$，
原分式为：
$\frac{x + y}{3xy}$，
新分式是原分式的：
$\frac{\frac{x + y}{6xy} }{\frac{x + y}{3xy} }= \frac{1}{2}$。
即新分式是原分式的 $\frac{1}{2}$。

4. 等式 $\frac{x}{x + 3}= \frac{x(x - 3)}{x^{2}-9}$ 成立的条件是.

$x \neq \pm 3$

要使等式成立，分母不能为零。左边分母为$x + 3$，则$x + 3 \neq 0$，即$x \neq -3$；右边分母为$x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$，则$(x + 3)(x - 3) \neq 0$，即$x \neq -3$且$x \neq 3$。综上，等式成立的条件是$x \neq \pm 3$。

5. 根据分式的基本性质填空:
(1) $\frac{1}{a}= \frac{()}{a^{2}}$; (2) $\frac{ab^{2}}{a^{2}b^{3}}= \frac{1}{()}$;
(3) $\frac{a}{a - b}= \frac{ab}{()}(b≠0)$;
(4) $\frac{2x + 1}{6x^{2}+3x}= \frac{1}{()}$;
(5) $\frac{x}{x + y}= \frac{()}{x^{2}-y^{2}}(x≠y)$.

(1) $a$；
(2) $ab$；
(3) $ab - b^{2}$；
(4) $3x$；
(5) $x^{2} - xy$（或 $x(x - y)$）。

(1) 根据分式的基本性质，分子分母同乘同一个非零整式，分式的值不变，为了从$\frac{1}{a}$得到分母为$a^{2}$的分式，需要将分子分母同时乘以$a$，得到$\frac{a}{a^{2}}$，所以空格中填写$a$；
(2) 对于$\frac{ab^{2}}{a^{2}b^{3}}$，分子分母同时除以$ab^{2}$，得到$\frac{1}{ab}$，所以空格中填写$ab$；
(3) 对于$\frac{a}{a - b}$，为了得到分母为某表达式且分子为$ab$的分式，可以将分子分母同时乘以$b$，得到$\frac{ab}{ab - b^{2}}$，所以空格中填写$ab - b^{2}$（或$b(a-b)$）；
(4) 对于$\frac{2x + 1}{6x^{2}+3x}$，首先对分母进行因式分解，得到$\frac{2x + 1}{3x(2x + 1)}$，然后分子分母同时除以$2x + 1$，得到$\frac{1}{3x}$，所以空格中填写$3x$；
(5) 对于$\frac{x}{x + y}$，为了得到分母为$x^{2}-y^{2}$的分式，可以将分子分母同时乘以$x - y$，得到$\frac{x(x - y)}{x^{2}-y^{2}}$，所以空格中填写$x(x - y)$（或$x^{2}-xy$）。

6. 不改变分式的值,将分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数:
① $\frac{-x^{2}}{x^{2}-y}$; ② $\frac{b}{-a^{2}-a}$; ③ $\frac{1 - x - x^{2}}{1 - x^{2}+x}$; ④ $-\frac{-3m - m^{2}}{1 - m^{2}}$.

① $-\frac{x^{2}}{x^{2}-y}$；
② $-\frac{b}{a^{2}+a}$；
③ $\frac{x^{2}+x-1}{x^{2}-x-1}$；
④ $-\frac{m^{2}+3m}{m^{2}-1}$。

7. 若 $m^{2}-2m + 1 = 0$,则 $\frac{m^{2}}{m^{4}+m^{2}+1}$ 的值为.

$\frac{1}{3}$

由$m^2 - 2m + 1 = 0$，得$(m - 1)^2 = 0$，解得$m = 1$。将$m = 1$代入$\frac{m^2}{m^4 + m^2 + 1}$，分母为$1^4 + 1^2 + 1 = 3$，分子为$1^2 = 1$，故原式$=\frac{1}{3}$。

8. 已知 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}= 4$,则 $\frac{4x - 3xy + 4y}{x + 2xy + y}$ 的值为.

$\frac{13}{6}$

由$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4$，通分得$\frac{x+y}{xy}=4$，即$x+y=4xy$。
将$x+y=4xy$代入$\frac{4x - 3xy + 4y}{x + 2xy + y}$，分子变形为$4(x+y)-3xy=4×4xy - 3xy=13xy$，分母变形为$(x+y)+2xy=4xy + 2xy=6xy$。
则原式$=\frac{13xy}{6xy}=\frac{13}{6}$。

约分：把一个分式的分子与分母的约去. 通分：把异分母的分式分别化成与原来的分式相等的的分式. 最简分式：分子与分母没有的分式.
思考 对几个异分母的分式通分时,如何确定最简公分母？
填空 $2a + 6$,$a^{2} + 6a + 9$ 的公因式是；$\frac{1}{2a + 6}$,$\frac{1}{a^{2} - 9}$ 的最简公分母是.

公因式；同分母；公因式；$a + 3$；$2(a + 3)(a - 3)$

约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去。
通分：把异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式。
最简分式：分子与分母没有公因式的分式。
思考：对几个异分母的分式通分时，最简公分母取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母。
$2a + 6=2(a + 3)$，$a^{2} + 6a + 9=(a + 3)^{2}$，所以公因式是$2(a + 3)$（或$a + 3$相关表述以符合填空，这里从表达式本质看可填$a + 3$）中明显的公因式形式为$a + 3$。
对于$\frac{1}{2a + 6}=\frac{1}{2(a + 3)}$，$\frac{1}{a^{2} - 9}=\frac{1}{(a + 3)(a - 3)}$，最简公分母是$2(a + 3)(a - 3)$。

例 1 约分：
(1) $\frac{2a^{2}}{6ab}$；
(2) $\frac{4a - 6b}{9b - 6a}$；
(3) $\frac{9a^{2} - 4}{6a + 4}$；
(4) $\frac{m^{2} - 4m}{16 - m^{2}}$.
名师导引 约分的关键是找出分子与分母的所有公因式,而分解因式是找公因式的基本方法.

(1)
$\begin{aligned} \frac{2a^{2}}{6ab} &= \frac{2a \cdot a}{2a \cdot 3b} \\ &= \frac{a}{3b} \end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned} \frac{4a - 6b}{9b - 6a} &= \frac{2(2a - 3b)}{3(3b - 2a)} \\ &= \frac{2(2a - 3b)}{-3(2a - 3b)} \\ &= -\frac{2}{3} \end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned} \frac{9a^{2} - 4}{6a + 4} &= \frac{(3a + 2)(3a - 2)}{2(3a + 2)} \\ &= \frac{3a - 2}{2} \end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned} \frac{m^{2} - 4m}{16 - m^{2}} &= \frac{m(m - 4)}{(4 + m)(4 - m)} \\ &= \frac{m(m - 4)}{-(m + 4)(m - 4)} \\ &= -\frac{m}{m + 4} \end{aligned}$

变式训练 $4x^{2}y^{2}z$,$8xy^{2}z^{3}$,$6xyz^{2}$ 的公因式是.

$2xyz$

首先，观察三个式子的系数$4$，$8$和$6$，它们的最大公约数是$2$，
其次，观察三个式子中$x$的指数，分别为$2$，$1$和$1$，所以公因式中$x$的指数为$1$，
然后，观察三个式子中$y$的指数，分别为$2$，$2$和$1$，所以公因式中$y$的指数为$1$，
最后，观察三个式子中$z$的指数，分别为$1$，$3$和$2$，所以公因式中$z$的指数为$1$，
综上，这三个式子的公因式是$2xyz$。