1. 已知等腰三角形有一个角是 $90°$,则另两个角分别是()
A.$30^\circ,60^\circ$
B.$45^\circ,45^\circ$
C.$45^\circ,90^\circ$
D.$20^\circ,70^\circ$

B

因为等腰三角形两底角相等，三角形内角和为$180^\circ$。若$90^\circ$为底角，则两底角和为$90^\circ+90^\circ=180^\circ$，顶角为$0^\circ$，不成立。所以$90^\circ$只能为顶角，另两个角为底角，度数均为$(180^\circ-90^\circ)÷2=45^\circ$。
B

2. 已知等腰三角形的顶角是 $80°$,则一腰上的高与底边的夹角是()
A.$40^\circ$
B.$50^\circ$
C.$60^\circ$
D.$30^\circ$

A

在等腰三角形中，顶角为$80^\circ$，则底角为$\frac{180^\circ - 80^\circ}{2}=50^\circ$。腰上的高与底边构成直角三角形，其中高与腰的夹角为$90^\circ$，所以腰上的高与底边的夹角为$90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$。
A

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$AC= BC$,点 D 在 BC 的延长线上,$AE// BD$,点 E,D 在 AC 同侧,若$\angle CAE= 118°$,则$\angle B$的度数为()

A.$31^\circ$
B.$32^\circ$
C.$59^\circ$
D.$62^\circ$

A

∵AE//BD，
∴∠CAE + ∠ACD = 180°，
∵∠CAE = 118°，
∴∠ACD = 180° - 118° = 62°，
∵AC = BC，
∴∠B = ∠BAC，
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD = ∠B + ∠BAC = 2∠B，
∴∠B = 62°÷2 = 31°。
A

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$\angle A= 30°$,E 为 BC 延长线上一点,$\angle ABC与\angle ACE$的平分线相交于点 D,则$\angle D$的度数为()

A.$15^\circ$
B.$17.5^\circ$
C.$20^\circ$
D.$22.5^\circ$

A

在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$\angle A=30^\circ$，所以$\angle ABC=\angle ACB=\frac{180^\circ - 30^\circ}{2}=75^\circ$。
$\angle ACE=180^\circ - \angle ACB=180^\circ - 75^\circ=105^\circ$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}×75^\circ=37.5^\circ$。
因为$CD$平分$\angle ACE$，所以$\angle DCE=\frac{1}{2}\angle ACE=\frac{1}{2}×105^\circ=52.5^\circ$。
在$\triangle DBC$中，$\angle D=\angle DCE - \angle DBC=52.5^\circ - 37.5^\circ=15^\circ$。
A

5. 已知直线$l_{1}// l_{2}$,将等边三角形如图放置,若$\angle \alpha =40°$,则$\angle \beta=$°。

20

过等边三角形的一个顶点作直线$l_{3}//l_{1}$，因为$l_{1}//l_{2}$，所以$l_{3}//l_{2}$。
等边三角形的内角为$60^\circ$，设等边三角形与$l_{1}$、$l_{2}$相交形成的角中，与$\angle\alpha$互补的角为$\angle1$，与$\angle\beta$互补的角为$\angle2$，则$\angle1 + \angle\alpha = 180^\circ$，$\angle2 + \angle\beta = 180^\circ$。
又因为$l_{3}//l_{1}$，$l_{3}//l_{2}$，所以$\angle1$和$\angle2$与等边三角形的内角构成平角，即$\angle1 + \angle2 + 60^\circ = 180^\circ$，所以$\angle1 + \angle2 = 120^\circ$。
由$\angle1 = 180^\circ - \angle\alpha$，$\angle2 = 180^\circ - \angle\beta$，代入$\angle1 + \angle2 = 120^\circ$得：
$(180^\circ - \angle\alpha) + (180^\circ - \angle\beta) = 120^\circ$
$360^\circ - (\angle\alpha + \angle\beta) = 120^\circ$
$\angle\alpha + \angle\beta = 240^\circ$
已知$\angle\alpha = 40^\circ$，则$\angle\beta = 240^\circ - 40^\circ = 200^\circ$，显然不符合实际，说明辅助线作法有误。
重新过等边三角形的一个顶点作$l_{1}$的平行线，交$l_{2}$于一点，形成两个内错角。设等边三角形的一个角与$\angle\alpha$、$\angle\beta$的关系为：$\angle\alpha = \angle\beta + 60^\circ$（根据平行线内错角和三角形外角性质），则$\angle\beta = \angle\alpha - 60^\circ = 40^\circ - 60^\circ = -20^\circ$，错误。
正确方法：延长等边三角形的一边交$l_{2}$于一点，根据三角形外角性质，$\angle\alpha = \angle\beta + 60^\circ$，所以$\angle\beta = \angle\alpha - 60^\circ = 40^\circ - 60^\circ$，不对。
重新分析：因为$l_{1}//l_{2}$，等边三角形的一个角为$60^\circ$，$\angle\alpha$与$\angle\beta$和$60^\circ$构成同旁内角，所以$\angle\alpha + \angle\beta = 60^\circ$，则$\angle\beta = 60^\circ - 40^\circ = 20^\circ$。
20

6. 已知一个等腰三角形,其中一条腰上的高与另一条腰的夹角为$25°$,则该等腰三角形的顶角为。

由于题目要求填写答案格式，这里应列出两个可能的答案格式，但按常规选择题设定，我们假设题目已设定两个选项对应这两个答案，此处直接给出计算结果：
答案填：65°或115°（若为选择题则根据选项填对应字母）

1. 设等腰三角形为$\triangle ABC$，其中$AB = AC$，且$BD$是腰$AC$上的高。
2. 当三角形为锐角三角形时：
腰$AC$上的高$BD$与腰$AB$的夹角为$25^\circ$。
因为$\angle BDA = 90^\circ$，所以顶角$\angle BAC = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$。
3. 当三角形为钝角三角形时：
腰$AC$上的高$BD$在三角形外部，与腰$AB$的延长线夹角为$25^\circ$。
因为$\angle BDA = 90^\circ$，所以顶角的外角为$90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$。
因此，顶角$\angle BAC = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$。

7. 如图,在等边$\triangle ABC$中,$AC\perp CD$,垂足为 C,$BC= CD$,求$\angle ABD$的度数。

$\because\triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore\angle ABC=\angle ACB=60^{\circ}$。
$\because AC\perp CD$，
$\therefore\angle ACD=90^{\circ}$。
$\therefore\angle BCD=\angle ACB+\angle ACD=150^{\circ}$。
$\because BC=CD$，
$\therefore\angle CBD=\angle CDB=\frac{180^{\circ}-\angle BCD}{2}=15^{\circ}$。
$\therefore\angle ABD=\angle ABC-\angle CBD=60^{\circ}-15^{\circ}=45^{\circ}$。