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1. 将$y= (x-2)^{2}+3$的图像向右平移2个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得函数的对称轴和最小值分别为(
A.$x= 4,y= 1$
B.$x= 2,y= 3$
C.$x= 4,y= 3$
D.$x= 0,y= 5$
A
)A.$x= 4,y= 1$
B.$x= 2,y= 3$
C.$x= 4,y= 3$
D.$x= 0,y= 5$
答案
A
解析
原函数$y=(x-2)^2+3$的顶点坐标为$(2,3)$。
图像向右平移2个单位长度，顶点横坐标变为$2+2=4$；再向下平移2个单位长度，顶点纵坐标变为$3-2=1$，平移后函数的顶点坐标为$(4,1)$。
平移后函数解析式为$y=(x-4)^2+1$，其对称轴为直线$x=4$，最小值为$y=1$。
A
图像向右平移2个单位长度，顶点横坐标变为$2+2=4$；再向下平移2个单位长度，顶点纵坐标变为$3-2=1$，平移后函数的顶点坐标为$(4,1)$。
平移后函数解析式为$y=(x-4)^2+1$，其对称轴为直线$x=4$，最小值为$y=1$。
A
2. 若$A(-1,y_{1}),B(1,y_{2}),C(4,y_{3})$三点都在二次函数$y= -(x-2)^{2}+k$的图像上,则$y_{1}$,$y_{2},y_{3}$的大小关系为(
A.$y_{1}＜y_{2}＜y_{3}$
B.$y_{1}＜y_{3}＜y_{2}$
C.$y_{3}＜y_{1}＜y_{2}$
D.$y_{3}＜y_{2}＜y_{1}$
B
)A.$y_{1}＜y_{2}＜y_{3}$
B.$y_{1}＜y_{3}＜y_{2}$
C.$y_{3}＜y_{1}＜y_{2}$
D.$y_{3}＜y_{2}＜y_{1}$
答案
B
解析
∵二次函数$y=-(x-2)^2 + k$的对称轴为直线$x=2$，且$a=-1＜0$，抛物线开口向下，
∴点离对称轴越近，函数值越大。
$A(-1,y_1)$到对称轴$x=2$的距离为$| -1 - 2|=3$，
$B(1,y_2)$到对称轴$x=2$的距离为$|1 - 2|=1$，
$C(4,y_3)$到对称轴$x=2$的距离为$|4 - 2|=2$，
∵$3＞2＞1$，
∴$y_1 ＜ y_3 ＜ y_2$。
B
3. 二次函数$y= -3(x-4)^{2}+2$的图像开口向
下
,对称轴是直线$x=4$
,顶点坐标是$(4,2)$
；当$x$$\lt4$
时,$y随x$的增大而增大；当$x$$\gt4$
时,$y随x$的增大而减小；当$x= $$4$
时,$y$有最大
值,是$2$
.答案
下；直线$x=4$；$(4,2)$；$\lt4$；$\gt4$；$4$；大；$2$
解析
对于二次函数$y=a(x-h)^2 + k$（$a≠0$），当$a=-3\lt0$时，图像开口向下；对称轴是直线$x=h=4$；顶点坐标是$(h,k)=(4,2)$。因为开口向下，所以当$x\lt4$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x\gt4$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x=4$时，$y$有最大值，是$2$。
4. 请写出一个以$(2,3)$为顶点,且开口向上的二次函数表达式：
$y = (x - 2)^{2} + 3$（答案不唯一）
.答案
$y = (x - 2)^{2} + 3$（答案不唯一）
解析
$y=(x - 2)^{2} + 3$
5. 将抛物线$y= (x-3)^{2}$先向下平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度.
(1)平移后得到的抛物线的表达式为
(2)求平移后得到的抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
(3)平移后得到的抛物线,当$x$取何值时,$y随x$的增大而增大？当$x$取何值时,$y随x$的增大而减小？
(1)平移后得到的抛物线的表达式为
$y=(x-6)^{2}-2$
；(2)求平移后得到的抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
对于平移后的抛物线$y=(x-6)^{2}-2$，开口方向是向上，顶点坐标为$(6,-2)$，对称轴是$x=6$。
(3)平移后得到的抛物线,当$x$取何值时,$y随x$的增大而增大？当$x$取何值时,$y随x$的增大而减小？
当$x＞6$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＜6$时，$y$随$x$的增大而减小。
答案
(1) 原抛物线为 $y = (x - 3)^{2}$。
先向下平移2个单位长度，得到 $y = (x - 3)^{2} - 2$；
再向右平移3个单位长度，将 $x$ 替换为 $x - 3$，得到 $y = (x - 3 - 3)^{2} - 2 = (x - 6)^{2} - 2$。
所以，平移后得到的抛物线的表达式为 $y = (x - 6)^{2} - 2$。
(2) 对于平移后的抛物线 $y = (x - 6)^{2} - 2$，
开口方向：由于二次项系数为正，所以开口方向是向上。
顶点坐标：由表达式可知，顶点坐标为 $(6, -2)$。
对称轴：对称轴是 $x = 6$。
(3) 对于平移后的抛物线 $y = (x - 6)^{2} - 2$，
由于开口方向是向上，对称轴是 $x = 6$，
所以当 $x ＞ 6$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大；
当 $x ＜ 6$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。
先向下平移2个单位长度，得到 $y = (x - 3)^{2} - 2$；
再向右平移3个单位长度，将 $x$ 替换为 $x - 3$，得到 $y = (x - 3 - 3)^{2} - 2 = (x - 6)^{2} - 2$。
所以，平移后得到的抛物线的表达式为 $y = (x - 6)^{2} - 2$。
(2) 对于平移后的抛物线 $y = (x - 6)^{2} - 2$，
开口方向：由于二次项系数为正，所以开口方向是向上。
顶点坐标：由表达式可知，顶点坐标为 $(6, -2)$。
对称轴：对称轴是 $x = 6$。
(3) 对于平移后的抛物线 $y = (x - 6)^{2} - 2$，
由于开口方向是向上，对称轴是 $x = 6$，
所以当 $x ＞ 6$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大；
当 $x ＜ 6$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。
6. 抛物线$y= a(x+h)^{2}+k经过点(-1,-4)$,且当$x= 1$时,$y$有最值,是$-2$.
(1)求该抛物线的表达式并画出该函数的大致图像；
(2)从图像上可以看出,当$0＜x＜3$时,$y$的取值范围是______.
(1)
(2)
(1)求该抛物线的表达式并画出该函数的大致图像；
(2)从图像上可以看出,当$0＜x＜3$时,$y$的取值范围是______.
(1)
由于抛物线在$x=1$时有最值$-2$，所以抛物线的顶点式为$y = a(x - 1)^{2} - 2$。又因为抛物线经过点$(-1, -4)$，代入得：$-4 = a(-1 - 1)^{2} - 2$，$-4 = 4a - 2$，解得：$a = -\frac{1}{2}$，因此，抛物线的表达式为：$y = -\frac{1}{2}(x - 1)^{2} - 2$，图像为：开口向下的抛物线，顶点为$(1, -2)$，对称轴为直线$x=1$，与y轴交点大约为$(0, -2.5)$。
(2)
$-4＜y≤-2$
答案
(1)
由于抛物线在$x=1$时有最值$-2$，所以抛物线的顶点式为$y = a(x - 1)^{2} - 2$。
又因为抛物线经过点$(-1, -4)$，代入得：
$-4 = a(-1 - 1)^{2} - 2$，
$-4 = 4a - 2$，
解得：
$a = -\frac{1}{2}$，
因此，抛物线的表达式为：
$y = -\frac{1}{2}(x - 1)^{2} - 2$，
图像为：开口向下的抛物线，顶点为$(1, -2)$，对称轴为直线$x=1$，与y轴交点大约为$(0, -2.5)$。
(2)
因为抛物线开口向下，对称轴为$x=1$，所以在$0＜x＜3$的范围内，当$x=1$时，$y$有最大值$-2$。
当$x=3$时，
$y = -\frac{1}{2}(3 - 1)^{2} - 2 = -4$，
因此，在$0＜x＜3$时，$y$的取值范围是$-4＜y≤-2$。
由于抛物线在$x=1$时有最值$-2$，所以抛物线的顶点式为$y = a(x - 1)^{2} - 2$。
又因为抛物线经过点$(-1, -4)$，代入得：
$-4 = a(-1 - 1)^{2} - 2$，
$-4 = 4a - 2$，
解得：
$a = -\frac{1}{2}$，
因此，抛物线的表达式为：
$y = -\frac{1}{2}(x - 1)^{2} - 2$，
图像为：开口向下的抛物线，顶点为$(1, -2)$，对称轴为直线$x=1$，与y轴交点大约为$(0, -2.5)$。
(2)
因为抛物线开口向下，对称轴为$x=1$，所以在$0＜x＜3$的范围内，当$x=1$时，$y$有最大值$-2$。
当$x=3$时，
$y = -\frac{1}{2}(3 - 1)^{2} - 2 = -4$，
因此，在$0＜x＜3$时，$y$的取值范围是$-4＜y≤-2$。
