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1. 二次函数$y= x^{2}-x+1$的图像与x轴的交点个数是(
A.0
B.1
C.2
D.不能确定
A
)A.0
B.1
C.2
D.不能确定
答案
A
解析
要判断二次函数$y = x^{2}-x + 1$的图像与$x$轴的交点个数，需计算其判别式$\Delta$。
对于二次函数$y=ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在函数$y = x^{2}-x + 1$中，$a = 1$，$b=-1$，$c = 1$，则：
$\Delta=(-1)^{2}-4×1×1$
$=1 - 4$
$=-3$
因为$\Delta=-3＜0$，所以二次函数的图像与$x$轴没有交点。
A
对于二次函数$y=ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在函数$y = x^{2}-x + 1$中，$a = 1$，$b=-1$，$c = 1$，则：
$\Delta=(-1)^{2}-4×1×1$
$=1 - 4$
$=-3$
因为$\Delta=-3＜0$，所以二次函数的图像与$x$轴没有交点。
A
2. 已知二次函数$y= ax^{2}+bx(a≠0)图像上部分点的坐标(x,y)$对应值如下表：
| x | ... | -3 | 0 | 2 | ... |
| y | ... | 15 | 0 | 0 | ... |
则关于x的方程$ax^{2}+bx= 15$的解为(
A.$x_{1}= -3,x_{2}= 5$
B.$x_{1}= -3,x_{2}= 3$
C.$x_{1}= 0,x_{2}= 2$
D.$x_{1}= -2,x_{2}= 2$
| x | ... | -3 | 0 | 2 | ... |
| y | ... | 15 | 0 | 0 | ... |
则关于x的方程$ax^{2}+bx= 15$的解为(
A
)A.$x_{1}= -3,x_{2}= 5$
B.$x_{1}= -3,x_{2}= 3$
C.$x_{1}= 0,x_{2}= 2$
D.$x_{1}= -2,x_{2}= 2$
答案
A
解析
由题意，二次函数$y=ax^{2}+bx(a≠0)$过点$(0,0)$，$(2,0)$，
设$y=ax(x - 2)$，
将$(-3,15)$代入得：$a×(-3)×(-3 - 2)=15$，
即$15a=15$，解得$a=1$，
∴$y=x(x - 2)=x^{2}-2x$，
方程$ax^{2}+bx=15$即$x^{2}-2x=15$，
$x^{2}-2x - 15=0$，
$(x - 5)(x + 3)=0$，
解得$x_{1}=-3$，$x_{2}=5$。
A
设$y=ax(x - 2)$，
将$(-3,15)$代入得：$a×(-3)×(-3 - 2)=15$，
即$15a=15$，解得$a=1$，
∴$y=x(x - 2)=x^{2}-2x$，
方程$ax^{2}+bx=15$即$x^{2}-2x=15$，
$x^{2}-2x - 15=0$，
$(x - 5)(x + 3)=0$，
解得$x_{1}=-3$，$x_{2}=5$。
A
3. 二次函数$y= x^{2}-6x+5$的图像与x轴交点的坐标是
$(1,0)$，$(5,0)$
.答案
此题答案为：$(1,0)$，$(5,0)$。
解析
解：令$y=0$，则$x^{2}-6x+5=0$，
因式分解得$(x - 1)(x - 5)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=5$，
所以二次函数$y = x^{2}-6x + 5$的图像与$x$轴交点的坐标是$(1,0)$，$(5,0)$。
因式分解得$(x - 1)(x - 5)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=5$，
所以二次函数$y = x^{2}-6x + 5$的图像与$x$轴交点的坐标是$(1,0)$，$(5,0)$。
4. 如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线$y= ax^{2}+bx+c的对称轴为直线x= 2$,与x轴的一个交点为$(1,0)$,则关于x的方程$ax^{2}+bx+c= 0$的解为
$x_{1}=1$，$x_{2}=3$
.答案
$x_{1}=1$，$x_{2}=3$
解析
∵抛物线$y=ax^{2}+bx+c$的对称轴为直线$x=2$，与$x$轴的一个交点为$(1,0)$，
∴抛物线与$x$轴的另一个交点与点$(1,0)$关于直线$x=2$对称，
设另一个交点坐标为$(x,0)$，则$\frac{1+x}{2}=2$，解得$x=3$，
∴抛物线与$x$轴的交点为$(1,0)$和$(3,0)$，
∴方程$ax^{2}+bx+c=0$的解为$x_{1}=1$，$x_{2}=3$。
∴抛物线与$x$轴的另一个交点与点$(1,0)$关于直线$x=2$对称，
设另一个交点坐标为$(x,0)$，则$\frac{1+x}{2}=2$，解得$x=3$，
∴抛物线与$x$轴的交点为$(1,0)$和$(3,0)$，
∴方程$ax^{2}+bx+c=0$的解为$x_{1}=1$，$x_{2}=3$。
5. 已知二次函数$y= ax^{2}+bx+c(a≠0)$的图像如图所示,则不等式$ax^{2}+bx+c≤0$的解集是
$-1≤x≤3$
.答案
$-1≤x≤3$
解析
$-1 \leq x \leq 3$
6. 若二次函数$y= x^{2}+(b-1)x+4$的图像与x轴只有一个交点,求b的值.
答案
因为二次函数$y = x^{2}+(b - 1)x + 4$的图像与$x$轴只有一个交点，所以一元二次方程$x^{2}+(b - 1)x + 4=0$有两个相等的实数根。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根。
在方程$x^{2}+(b - 1)x + 4=0$中，$a = 1$，$b=(b - 1)$，$c = 4$，所以$\Delta=(b - 1)^{2}-4×1×4=0$。
即$(b - 1)^{2}-16=0$，$(b - 1)^{2}=16$，解得$b - 1=\pm4$。
当$b - 1 = 4$时，$b=5$；当$b - 1=-4$时，$b=-3$。
综上，$b$的值为$5$或$-3$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根。
在方程$x^{2}+(b - 1)x + 4=0$中，$a = 1$，$b=(b - 1)$，$c = 4$，所以$\Delta=(b - 1)^{2}-4×1×4=0$。
即$(b - 1)^{2}-16=0$，$(b - 1)^{2}=16$，解得$b - 1=\pm4$。
当$b - 1 = 4$时，$b=5$；当$b - 1=-4$时，$b=-3$。
综上，$b$的值为$5$或$-3$。
7. 求证：二次函数$y= x^{2}+ax+a-2$的图像与x轴有两个交点.
答案
要证明二次函数$y = x^{2}+ax+a - 2$的图像与$x$轴有两个交点，只需证明其对应的一元二次方程$x^{2}+ax+a - 2=0$有两个不相等的实数根，即判别式$\Delta＞0$。
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=a^{2}-4×1×(a - 2)\\&=a^{2}-4a + 8\\&=a^{2}-4a+4 + 4\\&=(a - 2)^{2}+4\end{aligned}$
因为$(a - 2)^{2}\geq0$，所以$(a - 2)^{2}+4\geq4＞0$，即$\Delta＞0$。
故该二次函数的图像与$x$轴有两个交点。
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=a^{2}-4×1×(a - 2)\\&=a^{2}-4a + 8\\&=a^{2}-4a+4 + 4\\&=(a - 2)^{2}+4\end{aligned}$
因为$(a - 2)^{2}\geq0$，所以$(a - 2)^{2}+4\geq4＞0$，即$\Delta＞0$。
故该二次函数的图像与$x$轴有两个交点。
