某班举行文艺晚会,桌子摆成两条直线(如图中的 $ AO $,$ BO $),$ AO $ 桌面上摆满橘子,$ OB $ 桌面上摆满了糖果,坐在 $ C $ 处的学生小明想先拿橘子再拿糖果,然后坐到空座位 $ D $ 上. 请你帮他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短.
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解:设计路线如下:

1. 作点 $ C $ 关于直线 $ AO $ 的对称点 $ C_1 $；
2. 作点 $ D $ 关于直线 $ BO $ 的对称点 $ D_1 $；
3. 连接 $ C_1D_1 $，分别交 $ AO $ 于点 $ M $，交 $ BO $ 于点 $ N $；
4. 行走路线为：$ C \to M \to N \to D $。

1. 如图,牧马营地在点 $ P $ 处,每天牧马人要赶着马群先到草地 $ a $ 处吃草,再到河边 $ b $ 处饮水,最后回到营地,点 $ P $ 到 $ a $,$ b $ 的距离分别为 $ 5\ km $,$ 6\ km $,则牧马人所走最短的放牧总路程可能是 ()

A.$ 22\ km $
B.$ 21\ km $
C.$ 24\ km $
D.$ 23\ km $

B

作点P关于草地a的对称点P₁，关于河边b的对称点P₂，连接P₁P₂，分别交草地a于点A，河边b于点B，此时牧马人所走的路程PA+AB+BP最短，且PA+AB+BP=P₁P₂。
因为点P到a的距离为5km，所以PP₁=2×5=10km；点P到b的距离为6km，所以PP₂=2×6=12km。
在△PP₁P₂中，根据三角形两边之和大于第三边，P₁P₂≥PP₁+PP₂=10+12=22km（当P、P₁、P₂共线时取等号），但实际图形中草地a与河边b不平行，P₁P₂长度略小于22km，结合选项，最短总路程可能是21km。
B

2. 如图,已知 $ P $ 为 $ \angle AOB $ 内任意一点,且 $ \angle AOB = 30° $,点 $ P_1 $,$ P_2 $ 分别在 $ OA $,$ OB $ 上,求作点 $ P_1 $,$ P_2 $,使 $ \triangle PP_1P_2 $ 的周长最小,连接 $ OP $,若 $ OP = 10\ cm $,则 $ \triangle PP_1P_2 $ 的周长的最小值为$ cm $.

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作点 $ P $ 关于 $ OA $ 的对称点 $ P' $，关于 $ OB $ 的对称点 $ P'' $，连接 $ P'P'' $，分别交 $ OA $、$ OB $ 于点 $ P_1 $、$ P_2 $，则 $ \triangle PP_1P_2 $ 的周长最小。
由对称性可知，$ OP' = OP = 10\ cm $，$ OP'' = OP = 10\ cm $，$ \angle P'OA = \angle POA $，$ \angle P''OB = \angle POB $。
因为 $ \angle AOB = 30° $，所以 $ \angle P'OP'' = 2\angle AOB = 60° $。
所以 $ \triangle P'OP'' $ 是等边三角形，$ P'P'' = OP' = 10\ cm $。
$ \triangle PP_1P_2 $ 的周长 $ = PP_1 + P_1P_2 + PP_2 = P'P_1 + P_1P_2 + P''P_2 = P'P'' = 10\ cm $。
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3.(车站选址与最值问题)在一条公路旁有 $ A $,$ B $ 两个工厂,要在直线 $ l $ 上一个汽车站,请分别按如下要求确定汽车站 $ M $ 的位置：
(1)在图 1 中,要求车站 $ M $ 到 $ AB $ 两厂的距离相等.
(2)在图 2 中,要求车站 $ M $ 到 $ AB $ 两厂的距离之和 $ AM + BM $ 最短.
(3)在图 3 中,要求车站 $ M $ 到 $ AB $ 两厂的距离之差 $ AM - BM $ 最大.
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1. 如图,已知直线 $ l $ 外不重合的两点 $ A $,$ B $,在直线 $ l $ 上求作一点 $ C $,使得 $ AC + BC $ 的长度最短,作法：①作点 $ B $ 关于直线 $ l $ 的对称点 $ B' $；②连接 $ AB' $ 与直线 $ l $ 相交于点 $ C $,则点 $ C $ 为所求作的点. 在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是 ()

A.转化思想
B.三角形的两边之和大于第三边
C.两点之间,线段最短
D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角

D