7. 如图,在矩形 ABCD 中,$AD= a,AB= b$,E,F 分别为 AD,BC 两边的中点.若将矩形 ABCD 沿直线 EF 对折,得到的两个矩形与原矩形均相似,则$a:b$等于 ()

A.$ \sqrt{2}:1 $
B.$ \sqrt{3}:1 $
C.$ 2:\sqrt{3} $
D.2:1

A

在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，E、F分别为AD、BC中点，沿EF对折后得两个小矩形，其边长为$\frac{a}{2}$和b。原矩形边长为a和b，因两矩形相似，对应边成比例。
原矩形长宽比为$\frac{a}{b}$，小矩形长宽比为$\frac{b}{\frac{a}{2}}=\frac{2b}{a}$。由相似得$\frac{a}{b}=\frac{2b}{a}$，即$a^2=2b^2$，则$\frac{a}{b}=\sqrt{2}$，故$a:b=\sqrt{2}:1$。

8. 如图,在矩形 ABCD 中,E 为 AB 的中点,连接 CE,F 为点 B 关于 CE 的对称点,连接 AF,BF,$ \tan \angle BAF= \frac{4}{3} $.设$AB= x$,$\triangle ABF$的面积为 y,则 y 与 x 的函数图象大致为 ()

D

以A为原点建立坐标系，设AB=x，BC=h，E(x/2,0)，C(x,h)。F为B关于CE的对称点，由对称性质得F坐标(m,n)。由tan∠BAF=4/3= n/m，结合CE方程及对称关系求得h=2x/3，进而得F(9x/25,12x/25)。△ABF面积y=(1/2)·x·(12x/25)=6x²/25，为二次函数，x=5时y=6，图象为D。

9. 如图,在平面直角坐标系中,P 为双曲线$ y= -\frac{6}{x}(x＜0) $上任意一点,将点 P 绕原点 O 顺时针旋转$60^{\circ}后得到点P'$,点 Q 在直线$ y= -\sqrt{3}x $上.若$P'Q= P'O$,则$\triangle P'OQ$的面积为 ()

A.3
B.6
C.9
D.12

B

设点$ P(-a,\frac{6}{a}) $（$ a＞0 $，$ P $在双曲线$ y=-\frac{6}{x}(x＜0) $上）。
将$ P $绕原点顺时针旋转$ 60° $得$ P' $，利用旋转坐标公式（$ \cos60°=\frac{1}{2} $，$ \sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2} $）：
$ P'_x=(-a)\cdot\frac{1}{2}+\frac{6}{a}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{a}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{a} $，
$ P'_y=-(-a)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{6}{a}\cdot\frac{1}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{a} $。
设$ Q(t,-\sqrt{3}t) $（$ Q $在直线$ y=-\sqrt{3}x $上），由$ P'Q=P'O $，联立方程解得$ t=-a $，故$ Q(-a,\sqrt{3}a) $。
用坐标面积公式计算$ \triangle P'OQ $面积：
$ S=\frac{1}{2}|x'_P \cdot y_Q - x_Q \cdot y'_P| $，代入$ P' $、$ Q $坐标，化简得$ S=6 $。