8. 如图,AB 是$\odot O$的直径,C,D 两点在$\odot O$上,且$\angle BCD= 45°$.
(1) 求$\angle ABD$的度数;
(2) 若$\angle CDB= 30°$,$BC= 5$,求$\odot O$的半径.

(1) 45°；(2) 5。

(1) 连接AD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∵∠BCD=45°，且∠BCD与∠BAD所对弧均为$\overset{\frown}{BD}$，
∴∠BAD=∠BCD=45°，
在Rt△ABD中，∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD=180°-90°-45°=45°。
(2) ∵∠CDB=30°，且∠CDB与∠CAB所对弧均为$\overset{\frown}{CB}$，
∴∠CAB=∠CDB=30°，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∠CAB=30°，BC=5，
∴AB=2BC=10（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半），
∴⊙O的半径为$\frac{AB}{2}=5$。

拓展提升
如图,在等腰直角三角形 ABC 中,P 是斜边 BC 上一点(不与点 B,C 重合),PE 是$\triangle ABP的外接圆\odot O$的直径.
(1) 求证:$\triangle APE$是等腰直角三角形;
(2) 若$\odot O$的直径为 2,求$PC^2+PB^2$的值.

(1) 见解析；(2) 4

(1) 证明：
∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°．
∵PE是⊙O的直径，∴∠PAE=90°（直径所对圆周角是直角）．
∵∠AEP与∠ABP是同弧AP所对的圆周角，∴∠AEP=∠ABP=45°．
在Rt△PAE中，∠AEP=45°，∴∠APE=45°，∴AP=AE．
∴△APE是等腰直角三角形．
(2) 解：
∵⊙O直径PE=2，△APE是等腰直角三角形，
∴AP²+AE²=PE²，且AP=AE，∴2AP²=4，即AP²=2．
设P(m,n)，以A为原点，AB、AC为坐标轴建立坐标系，A(0,0)，B(b,0)，C(0,b)，P在BC上则m+n=b．
PB²=(m-b)²+n²，PC²=m²+(n-b)²，
PC²+PB²=2(m²+n²)=2AP²=2×2=4．