4. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 绕某一点 P 旋转一定的角度得到△A'B'C',根据图形变换前后的关系可得点 P 的坐标为()

A.(0,1)
B.(1,-1)
C.(0,-1)
D.(1,0)

D

根据旋转性质，旋转中心是对应点连线垂直平分线的交点。
1. 确定对应点坐标（由图得）：
取C(0,1)与C'(2,1)，A(-2,2)与A'(4,2)。
2. 求CC'的垂直平分线：
CC'中点为(1,1)，连线斜率为0（水平线），垂直平分线为竖直线x=1。
3. 求AA'的垂直平分线：
AA'中点为(1,2)，连线斜率为0（水平线），垂直平分线为竖直线x=1。
4. 取B(-2,-1)与B'(2,3)验证：
BB'中点为(0,1)，斜率为1，垂直平分线方程为y=-x+1。
联立x=1与y=-x+1，得交点(1,0)。

5. 如图,在△ABC 中,∠CAB= 55°,∠ABC= 25°.在同一平面内,将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 70°得到△ADE,连接 EC,则∠DEC 的度数为.

45°

在△ABC中，∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-55°-25°=100°。
∵△ABC绕点A逆时针旋转70°得△ADE，∴△ADE≌△ABC，AE=AC，∠CAE=70°（旋转角），∠AED=∠ACB=100°。
∵AE=AC，∴△AEC为等腰三角形，∠AEC=(180°-∠CAE)/2=(180°-70°)/2=55°。
∴∠DEC=∠AED-∠AEC=100°-55°=45°。

6. 在平面直角坐标系中,点 A(-2,3)绕点 P(0,2)顺时针旋转 90°后得到点 B,则点 B 的坐标是.

(1,4)

1. 求点A相对于P的坐标：A(-2,3)，P(0,2)，则向量PA=(-2-0,3-2)=(-2,1)；
2. 向量PA绕P顺时针旋转90°：顺时针旋转90°坐标变换为(a,b)→(b,-a)，故(-2,1)→(1,2)，即向量PB=(1,2)；
3. 求点B坐标：P(0,2)+向量PB=(0+1,2+2)=(1,4)。

7. 如图,在五边形 ABCDE 中,∠A= ∠C= 90°,AB= BC,∠ABC= α,AE+CD= DE.
(1)将△ABE 绕点 B 顺时针旋转α,作出旋转后的三角形;
(2)求证:DB 平分∠CDE.

(1) 作图：以点B为旋转中心，将点A绕B顺时针旋转α得到点C（因AB=BC，∠ABC=α），将点E绕B顺时针旋转α得到点E'，连接CE'、BE'，则△CBE'即为△ABE旋转后的三角形。
(2) 证明：由旋转性质得，AE=CE'，BE=BE'，∠BCE'=∠BAE=90°，∠ABE=∠CBE'。
∵∠ABC=α，∴∠EBE'=α。
∵∠BCD=90°，∠BCE'=90°，∴BC⊥CD且BC⊥CE'，故点E'、C、D共线。
∵AE+CD=DE，AE=CE'，∴DE=CD+CE'=DE'。
在△BDE和△BDE'中，BE=BE'，BD=BD，DE=DE'，∴△BDE≌△BDE'（SSS）。
∴∠BDE=∠BDE'，即DB平分∠CDE。