1. 线段计算——方程的思想.
例1 如图1,B,C两点把线段AD分成2:3:4的三部分,点E是线段AD的中点,EC= 2cm,求：
(1)AD的长；
(2)AB:BE.

解：(1)设AB= 2x cm,则BC= 3x cm,CD= 4x cm.由线段的和差,得AD= AB+BC+CD= 9x cm.由E为AD的中点,得ED= $\frac{1}{2}$AD= $\frac{9}{2}$x cm.由线段的和差,得EC= ED-CD= $\frac{9}{2}$x-4x= $\frac{x}{2}$= 2,解得x= 4.则AD= 9x= 9×4= 36(cm)；
(2)由(1)可得AB= 2x= 2×4= 8(cm),BC= 3x= 3×4= 12(cm).由线段的和差,得BE= BC-EC= 12-2= 10(cm).故AB:BE= 8:10= 4:5.

解：(1)设$AB = 2xcm$，$BC = 3xcm$，$CD = 4xcm$，
$AD=AB + BC + CD=2x+3x + 4x=9xcm$，
因为点$E$是线段$AD$的中点，
所以$ED=\frac{1}{2}AD=\frac{9}{2}xcm$，
$EC = ED-CD=\frac{9}{2}x - 4x=\frac{x}{2}cm$，
已知$EC = 2cm$，
即$\frac{x}{2}=2$，
解得$x = 4$，
所以$AD=9x=9×4 = 36cm$；
(2)由(1)知$x = 4$，
所以$AB = 2x=2×4 = 8cm$，
$BC = 3x=3×4 = 12cm$，
$BE=BC - EC=12 - 2=10cm$，
所以$AB:BE = 8:10 = 4:5$。
故答案为：(1)$AD$的长为$36cm$；(2)$AB:BE$的值为$4:5$。

2. 线段计算——分类讨论的思想.
例2 已知线段AB= 14cm,在直线AB上有一点C,且BC= 4cm,M是线段AC的中点,求线段AM的长.

解：①当点C在线段AB上时,如图2.

因为M是线段AC的中点,
所以AM= $\frac{1}{2}$AC.
又因为AC= AB-BC,AB= 14cm,BC= 4cm,
所以AM= $\frac{1}{2}$(AB-BC)= $\frac{1}{2}$(14-4)= 5(cm).
②当点C在线段AB的延长线上时,如图3.

因为M是线段AC的中点,
所以AM= $\frac{1}{2}$AC.
又因为AC= AB+BC,AB= 14cm,BC= 4cm,
所以AM= $\frac{1}{2}$(AB+BC)= 9(cm).
所以线段AM的长为5cm或9cm.

3. 线段的计算——整体思想.
例3 如图4,已知点C,D为线段AB上顺次两点,M,N分别为AC,BD的中点.
(1)若AB= 24,CD= 10,求MN的长；
(2)若AB= a,CD= b,请用含有a,b的代数式表示出MN的长.

解：(1)∵AB= 24,CD= 10.
∴AC+DB= 14.
∴$\frac{1}{2}$(AC+DB)= MC+DN= 7.
∴MN= MC+DN+CD= 17.
(2)若AB= a,CD= b,则AC+DB= a-b.
∴MC+DN= $\frac{1}{2}$(AC+DB)= $\frac{1}{2}$(a-b).
∴MN= MC+DN+CD= $\frac{1}{2}$(a-b)+b= $\frac{1}{2}$(a+b).