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10. (教材典题再练)如图所示,CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线,且 CE 交 BA 的延长线于点 E,求证：∠BAC = ∠B + 2∠E.
答案
∵CE 是∠ACD 的平分线，
∴∠ACE = ∠ECD。
∵∠BAC 是△ACE 的外角，
∴∠BAC = ∠E + ∠ACE。
∵∠ECD 是△BCE 的外角，
∴∠ECD = ∠B + ∠E。
∵∠ACE = ∠ECD，
∴∠ACE = ∠B + ∠E。
∵∠BAC = ∠E + ∠ACE，
∴∠BAC = ∠E + (∠B + ∠E) = ∠B + 2∠E。
故∠BAC = ∠B + 2∠E。
∴∠ACE = ∠ECD。
∵∠BAC 是△ACE 的外角，
∴∠BAC = ∠E + ∠ACE。
∵∠ECD 是△BCE 的外角，
∴∠ECD = ∠B + ∠E。
∵∠ACE = ∠ECD，
∴∠ACE = ∠B + ∠E。
∵∠BAC = ∠E + ∠ACE，
∴∠BAC = ∠E + (∠B + ∠E) = ∠B + 2∠E。
故∠BAC = ∠B + 2∠E。
11. 如图所示,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,则∠1,∠2,∠3 的数量关系为(
A.∠3 = ∠2 + ∠1
B.∠3 = ∠2 + 2∠1
C.∠3 + ∠2 + ∠1 = 180°
D.∠1 + ∠3 = 2∠2
D
)A.∠3 = ∠2 + ∠1
B.∠3 = ∠2 + 2∠1
C.∠3 + ∠2 + ∠1 = 180°
D.∠1 + ∠3 = 2∠2
答案
D
解析
设∠BAD=∠CAD=α（AD平分∠BAC）。
在△ABD中，∠ADC是外角，故∠ADC=∠B+∠BAD，即∠2=∠1+α，得α=∠2-∠1。
∠3是△ABC的外角，故∠3=∠B+∠BAC=∠1+2α。
将α=∠2-∠1代入∠3=∠1+2α，得∠3=∠1+2(∠2-∠1)=2∠2-∠1，即∠1+∠3=2∠2。
在△ABD中，∠ADC是外角，故∠ADC=∠B+∠BAD，即∠2=∠1+α，得α=∠2-∠1。
∠3是△ABC的外角，故∠3=∠B+∠BAC=∠1+2α。
将α=∠2-∠1代入∠3=∠1+2α，得∠3=∠1+2(∠2-∠1)=2∠2-∠1，即∠1+∠3=2∠2。
12. 如图所示,在三角形纸片 ABC 中,∠A = 65°,∠B = 70°,将∠C 沿 DE 折叠,使点 C 落在△ABC 外的点 C'处,若∠1 = 20°,则∠2 的度数为(
A.80°
B.90°
C.100°
D.110°
D
)A.80°
B.90°
C.100°
D.110°
答案
D
解析
在△ABC中，∠A=65°，∠B=70°，由三角形内角和定理得∠C=180°-65°-70°=45°，折叠后∠C'=∠C=45°。设∠BED=α，∠ADE=β，在四边形ABED中，∠A+∠B+α+β=360°，即65°+70°+α+β=360°，故α+β=225°。由折叠性质知∠DEC=∠DEC'=180°-α（平角定义），∠1=∠DEC'-∠BED=（180°-α）-α=180°-2α=20°，解得α=80°，则β=225°-80°=145°。∠EDC=180°-β=35°（平角定义），折叠后∠EDC'=∠EDC=35°，故∠2=∠ADE-∠EDC'=145°-35°=110°。
13. (2023·荆州)如图所示,在“箭头”图形中,AB // CD,∠B = ∠D = 80°,∠E = ∠F = 47°,则图中∠G 的度数是(
A.80°
B.76°
C.66°
D.56°
C
)A.80°
B.76°
C.66°
D.56°
答案
C
解析
延长EB、FD交于点G，形成“箭头”尖G。
∵∠B=80°，即△BEG的外角∠ABG=80°，∠E=∠BEG=47°，
根据三角形外角性质：∠ABG=∠BEG+∠EGB，
∴∠EGB=∠ABG-∠BEG=80°-47°=33°。
同理，∠D=80°，即△DFG的外角∠CDG=80°，∠F=∠DFG=47°，
∴∠FGD=∠CDG-∠DFG=80°-47°=33°。
∵AB//CD，∠EGB和∠FGD为内错角的余角，
∴∠G=∠EGB+∠FGD=33°+33°=66°。
∵∠B=80°，即△BEG的外角∠ABG=80°，∠E=∠BEG=47°，
根据三角形外角性质：∠ABG=∠BEG+∠EGB，
∴∠EGB=∠ABG-∠BEG=80°-47°=33°。
同理，∠D=80°，即△DFG的外角∠CDG=80°，∠F=∠DFG=47°，
∴∠FGD=∠CDG-∠DFG=80°-47°=33°。
∵AB//CD，∠EGB和∠FGD为内错角的余角，
∴∠G=∠EGB+∠FGD=33°+33°=66°。
14. 如图所示,在△ABC 中,BD 是∠ABC 的平分线,CD 是△ABC 的外角∠ACE 的平分线. 若∠A = 80°,求∠D 的度数.
答案
40°
解析
∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=1/2∠ABC。
∵CD平分∠ACE，∴∠DCE=1/2∠ACE。
∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE=∠A+∠ABC。
∵∠DCE是△DBC的外角，∴∠DCE=∠D+∠DBC。
∴1/2∠ACE=∠D+1/2∠ABC。
将∠ACE=∠A+∠ABC代入上式，得1/2(∠A+∠ABC)=∠D+1/2∠ABC。
化简得1/2∠A + 1/2∠ABC=∠D + 1/2∠ABC。
∴∠D=1/2∠A。
∵∠A=80°，∴∠D=1/2×80°=40°。
∵CD平分∠ACE，∴∠DCE=1/2∠ACE。
∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE=∠A+∠ABC。
∵∠DCE是△DBC的外角，∴∠DCE=∠D+∠DBC。
∴1/2∠ACE=∠D+1/2∠ABC。
将∠ACE=∠A+∠ABC代入上式，得1/2(∠A+∠ABC)=∠D+1/2∠ABC。
化简得1/2∠A + 1/2∠ABC=∠D + 1/2∠ABC。
∴∠D=1/2∠A。
∵∠A=80°，∴∠D=1/2×80°=40°。
15. (教材题拓展)如图所示,在△ABC 中,O 是三个内角的平分线的交点,过点 O 作∠ODC = ∠AOC,OD 交边 BC 于点 D. 若∠ABC = n°,则∠BOD 的度数为(
A.90° + $\frac{1}{2}n°$
B.45° + $\frac{1}{2}n°$
C.90° - $\frac{1}{2}n°$
D.90°
D
)A.90° + $\frac{1}{2}n°$
B.45° + $\frac{1}{2}n°$
C.90° - $\frac{1}{2}n°$
D.90°
答案
D
解析
设∠ABC=n°，O为△ABC内心，故OB平分∠ABC，∠OBD=∠ABC/2=n°/2。
在△AOC中，∠AOC=180°-(∠OAC+∠OCA)=180°-(∠A+∠C)/2，
∵∠A+∠C=180°-n°，∴∠AOC=180°-(180°-n°)/2=90°+n°/2。
∵∠ODC=∠AOC，∴∠ODC=90°+n°/2。
∵∠ODC+∠ODB=180°（平角定义），∴∠ODB=180°-(90°+n°/2)=90°-n°/2。
在△OBD中，∠BOD=180°-∠OBD-∠ODB=180°-n°/2-(90°-n°/2)=90°。
在△AOC中，∠AOC=180°-(∠OAC+∠OCA)=180°-(∠A+∠C)/2，
∵∠A+∠C=180°-n°，∴∠AOC=180°-(180°-n°)/2=90°+n°/2。
∵∠ODC=∠AOC，∴∠ODC=90°+n°/2。
∵∠ODC+∠ODB=180°（平角定义），∴∠ODB=180°-(90°+n°/2)=90°-n°/2。
在△OBD中，∠BOD=180°-∠OBD-∠ODB=180°-n°/2-(90°-n°/2)=90°。
