【例 3】计算,并用幂的形式表示结果：
(1)$x^{3}\cdot x^{5}+x\cdot x^{7}-3x^{2}\cdot x^{6}$；
(2)$x\cdot (-x)^{3}-(-x)^{2}\cdot x^{2}$。

(1)
首先，根据同底数幂的乘法法则：$a^m\cdot a^n = a^{m + n}$，对各项进行化简：
$x^{3}\cdot x^{5}=x^{3 + 5}=x^{8}$；
$x\cdot x^{7}=x^{1+7}=x^{8}$；
$3x^{2}\cdot x^{6}=3x^{2 + 6}=3x^{8}$。
将化简后的结果代入原式可得：
$x^{3}\cdot x^{5}+x\cdot x^{7}-3x^{2}\cdot x^{6}=x^{8}+x^{8}-3x^{8}=(1 + 1-3)x^{8}=-x^{8}$。
(2)
先根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$以及同底数幂的乘法法则对各项进行化简：
$x\cdot (-x)^{3}=x\cdot(-1)^3\cdot x^{3}=-x\cdot x^{3}=-x^{1 + 3}=-x^{4}$；
$(-x)^{2}\cdot x^{2}=(-1)^2\cdot x^{2}\cdot x^{2}=x^{2+2}=x^{4}$。
将化简后的结果代入原式可得：
$x\cdot (-x)^{3}-(-x)^{2}\cdot x^{2}=-x^{4}-x^{4}=(-1-1)x^{4}=-2x^{4}$。
综上，答案依次为(1)$-x^{8}$；(2)$-2x^{4}$。

8. 计算：
(1)$x\cdot x^{5}+x^{2}\cdot x^{4}$；
(2)$(-\frac{1}{2})× (-\frac{1}{2})^{2}× (-\frac{1}{2})^{3}$。

(1)
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$x\cdot x^{5}=x^{1 + 5}=x^{6}$
$x^{2}\cdot x^{4}=x^{2+4}=x^{6}$
则$x\cdot x^{5}+x^{2}\cdot x^{4}=x^{6}+x^{6}=2x^{6}$
(2)
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$(-\frac{1}{2})×(-\frac{1}{2})^{2}×(-\frac{1}{2})^{3}=(-\frac{1}{2})^{1 + 2+3}=(-\frac{1}{2})^{6}=\frac{1}{64}$

1. 下列各式中,计算正确的是()
A.$x^{3}+x^{3}= x^{3 + 3}= x^{6}$
B.$x^{3}\cdot x^{3}= 2x^{3}= x^{6}$
C.$x\cdot x^{3}\cdot x^{5}= x^{0 + 3 + 5}= x^{8}$
D.$x^{2}\cdot (-x)^{3}= -x^{2 + 3}= -x^{5}$

D

A. 对于 $x^{3} + x^{3}$，
根据合并同类项法则，应为 $2x^{3}$，不等于 $x^{6}$，所以 A 错误；
B. 对于 $x^{3} \cdot x^{3}$，
根据同底数幂的乘法法则，$x^{3} \cdot x^{3} = x^{3+3} = x^{6}$，但 $2x^{3}$ 不等于 $x^{6}$，所以 B 错误；
C. 对于 $x \cdot x^{3} \cdot x^{5}$，
根据同底数幂的乘法法则，$x \cdot x^{3} \cdot x^{5} = x^{1+3+5} = x^{9}$，与给出的 $x^{8}$ 不符，所以 C 错误；
D. 对于 $x^{2} \cdot (-x)^{3}$，
根据同底数幂的乘法法则，$x^{2} \cdot (-x)^{3} = -x^{2} \cdot x^{3} = -x^{2+3} = -x^{5}$，与题目中给出的相符，所以 D 正确。

2. 式子$a^{2m + 3}$不能写成()
A.$a^{2m}\cdot a^{3}$
B.$a^{m}\cdot a^{m + 3}$
C.$a^{2m}+3$
D.$a^{m + 1}\cdot a^{m + 2}$

C

根据同底数幂的乘法法则 $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$，逐一验证选项：
A：$a^{2m} \cdot a^3 = a^{2m+3}$，符合规则。
B：$a^m \cdot a^{m+3} = a^{m+m+3} = a^{2m+3}$，符合规则。
C：$a^{2m} + 3$ 是加法，无法简化为 $a^{2m+3}$，不符合规则。
D：$a^{m+1} \cdot a^{m+2} = a^{(m+1)+(m+2)} = a^{2m+3}$，符合规则。

3. 已知$a^{m}= 6$,$a^{n}= 3$,则$a^{m + n}$的值为()
A.9
B.18
C.3
D.2

B

因为同底数幂相乘，底数不变，指数相加，所以$a^{m + n}=a^{m} \cdot a^{n}$。已知$a^{m}=6$，$a^{n}=3$，则$a^{m} \cdot a^{n}=6×3=18$，即$a^{m + n}=18$。

4. (易错题)若$m = - 2$,则$-m^{2}\cdot (-m)^{4}\cdot (-m)^{3}$的值为。

-512

原式$=-m^{2}\cdot (-m)^{4}\cdot (-m)^{3}$
$=-m^{2}\cdot m^{4}\cdot (-m^{3})$（因为$(-m)^4=m^4$，$(-m)^3=-m^3$）
$=-m^{2}\cdot [m^{4}\cdot (-m^{3})]$
$=-m^{2}\cdot (-m^{7})$（同底数幂相乘：$m^4\cdot m^3=m^{4+3}=m^7$，前面有负号得$-m^7$）
$=m^{2}\cdot m^{7}$
$=m^{9}$（同底数幂相乘：$m^2\cdot m^7=m^{2+7}=m^9$）
当$m=-2$时，原式$=(-2)^9=-512$

5. (1)已知$2^{m}+2^{m}= 2^{6}$,则$m$的值为；
(2)若$a^{2m - 1}\cdot a^{m + 2}= a^{7}$,则$m= $；
(3)若$2^{x}\cdot 2^{y}= 16$,则$x + y= $。

(1)5；(2)2；(3)4。

(1)
根据合并同类项法则，$2^{m}+2^{m}=2×2^{m}$，
根据同底数幂的乘法法则$a^m× a^n = a^{m + n}$，$2×2^{m}=2^{1}×2^{m}=2^{m + 1}$。
已知$2^{m}+2^{m}=2^{6}$，即$2^{m + 1}=2^{6}$，
所以$m + 1=6$，解得$m = 5$。
(2)
根据同底数幂的乘法法则$a^{2m-1}\cdot a^{m + 2}=a^{(2m-1)+(m + 2)}$，
即$a^{2m-1 + m+2}=a^{3m + 1}$。
已知$a^{2m - 1}\cdot a^{m + 2}=a^{7}$，所以$a^{3m+1}=a^{7}$，
则$3m + 1=7$，
移项可得$3m=7 - 1=6$，解得$m = 2$。
(3)
根据同底数幂的乘法法则$2^{x}\cdot2^{y}=2^{x + y}$，
已知$2^{x}\cdot2^{y}=16$，而$16 = 2^{4}$，
所以$2^{x + y}=2^{4}$，
则$x + y=4$。

6. 若$3m + n - 4 = 0$,则$2^{3m}× 2^{n}= $。

16

根据题意，有方程 $3m + n - 4 = 0$，即$3m + n= 4$。
根据同底数幂的乘法法则，有$2^{3m} × 2^{n} = 2^{3m + n}$，
将$3m + n = 4$代入$2^{3m + n}$，可得：
$2^{3m + n}=2^4=16$。

7. 计算：
(1)$-2^{4}× (-2^{2})× (-2)^{5}$；
(2)$-y\cdot y^{2}\cdot y^{5}\cdot (-y)^{4}$；
(3)$(-\frac{1}{3})^{3}× (-\frac{1}{3})^{2}× (-\frac{1}{3})$。

(1)
$-2^{4} × (-2^{2}) × (-2)^{5}$
$=-1×2^{4} × (-1)×2^{2} × (-1)×2^{5}$
$=-2^{4 + 2 + 5}$
$=-2^{11}$
$=-2048$
(2)
$-y\cdot y^{2}\cdot y^{5}\cdot (-y)^{4}$
$=-y\cdot y^{2}\cdot y^{5}\cdot y^{4}$
$=-y^{1 + 2 + 5 + 4}$
$=-y^{12}$
(3)
$(-\frac{1}{3})^{3} × (-\frac{1}{3})^{2} × (-\frac{1}{3})$
$=(-\frac{1}{3})^{3 + 2 + 1}$
$=(-\frac{1}{3})^{6}$
$=\frac{1}{729}$

8. 已知$a^{x}= 5$,$a^{x + y}= 45$,求$a^{x}+a^{y}$的值。

根据题意，已知：
$a^{x} = 5$，
$a^{x + y} = 45$，
根据同底数幂的乘法法则，有：
$a^{x + y} = a^{x} \cdot a^{y}$，
代入已知条件 $a^{x + y} = 45$ 和 $a^{x} = 5$，得：
$5 \cdot a^{y} = 45$，
从上式可以解出：
$a^{y} = \frac{45}{5} = 9$，
最后，求 $a^{x} + a^{y}$ 的值：
$a^{x} + a^{y} = 5 + 9 = 14$。
故答案为14。