登录
- 三角形按边分类：
三边都不相等的三角形
等腰三角形：
底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
- 与三角形有关的角：
- 三角形的内角和等于
- 直角三角形：
性质：两个锐角互余
判定：有两个角互余的三角形是直角三角形
- 外角：三角形的外角等于
- 边：
三边关系：
- 三角形两边的和
- 三角形两边的差小于
- 三角形的稳定性
与三角形有关的线段：
中线：
重心：三角形三条中线的交点
- 把三角形分成
- 角平分线：三角形的三条角平分线相交于一点
高：
直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边
锐角三角形的三条高都在三角形的内部
钝角三角形有两条高在三角形的外部
三边都不相等的三角形
等腰三角形：
底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
- 与三角形有关的角：
- 三角形的内角和等于
$180°$
- 直角三角形：
性质：两个锐角互余
判定：有两个角互余的三角形是直角三角形
- 外角：三角形的外角等于
与它不相邻的两内角之和
- 边：
三边关系：
- 三角形两边的和
大于
第三边- 三角形两边的差小于
第三边
- 三角形的稳定性
与三角形有关的线段：
中线：
重心：三角形三条中线的交点
- 把三角形分成
面积
相等的两个三角形- 角平分线：三角形的三条角平分线相交于一点
高：
直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边
锐角三角形的三条高都在三角形的内部
钝角三角形有两条高在三角形的外部
答案
$180°$；
与它不相邻的两内角之和；
大于；
第三边；
面积。
与它不相邻的两内角之和；
大于；
第三边；
面积。
解析
三角形内角和为$180°$；
三角形外角等于与它不相邻的两内角之和；
根据三角形三边关系定理知三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边；
中线把三角形分成面积相等的两个三角形。
三角形外角等于与它不相邻的两内角之和；
根据三角形三边关系定理知三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边；
中线把三角形分成面积相等的两个三角形。
1. 长度分别为 2,7,x 的三条线段能组成一个三角形,则 x 的值可以是(
A.4
B.5
C.6
D.9
C
)A.4
B.5
C.6
D.9
答案
C
解析
根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两条边为2和7，则第三边$x$需满足：
$7 - 2 ＜ x ＜ 7 + 2$，即$5 ＜ x ＜ 9$。
选项中只有6满足该条件。
$7 - 2 ＜ x ＜ 7 + 2$，即$5 ＜ x ＜ 9$。
选项中只有6满足该条件。
2. 如图(1)所示,将长为 6 的长方形纸片沿虚线折成 3 个长方形,其中左右两侧长方形的宽相等,若要将其围成如图(2)所示的三棱柱,则图中 a 的值可以是(
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
由题意，长方形纸片长为6，折成3个长方形后，左右两侧宽为a，中间宽为b，则2a + b = 6，即b = 6 - 2a。围成三棱柱时，a、a、b为底面三角形三边长，需满足三角形三边关系：2a ＞ b（两腰之和大于底边）且b ＞ 0（边长为正）。
由2a ＞ b得2a ＞ 6 - 2a，解得a ＞ 1.5；由b ＞ 0得6 - 2a ＞ 0，解得a ＜ 3。故1.5 ＜ a ＜ 3，选项中只有2符合。
由2a ＞ b得2a ＞ 6 - 2a，解得a ＞ 1.5；由b ＞ 0得6 - 2a ＞ 0，解得a ＜ 3。故1.5 ＜ a ＜ 3，选项中只有2符合。
3. 已知△ABC 的三边长为 a,b,c,化简|a + b - c| - |b - a - c| - |2b|的结果是(
A.-2a
B.-2b
C.-2c
D.以上都不对
C
)A.-2a
B.-2b
C.-2c
D.以上都不对
答案
C
解析
根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，所以$a + b ＞ c$，即$a + b - c＞0$；
$b＜ a + c$，即$b - a - c＜0$。
则$\vert a + b - c\vert - \vert b - a - c\vert - \vert2b\vert=(a + b - c)-(a + c - b)-2b=a + b - c - a - c + b - 2b=-2c$。
$b＜ a + c$，即$b - a - c＜0$。
则$\vert a + b - c\vert - \vert b - a - c\vert - \vert2b\vert=(a + b - c)-(a + c - b)-2b=a + b - c - a - c + b - 2b=-2c$。
4. 已知 n 为正整数,若一个三角形的三边长分别是 n,n + 2,n + 5,则满足条件的三角形中周长最短的为(
A.13
B.16
C.19
D.22
C
)A.13
B.16
C.19
D.22
答案
C
解析
根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边。三边长为n，n+2，n+5（n为正整数），最大边为n+5，需满足n+(n+2)＞n+5，解得n＞3。n为正整数，最小n=4。此时三边长为4，6，9，周长=4+6+9=19。
5. 已知 a,b,c 为△ABC 的三边长,且 b,c 满足$(b - 5)^2 + $|c - 7| = 0,a 为方程|a - 3| = 2 的解,求△ABC 的周长。
答案
1. 由$(b - 5)^2 + |c - 7| = 0$，因为平方和绝对值非负，得$b - 5 = 0$，$c - 7 = 0$，所以$b = 5$，$c = 7$。
2. 解方程$|a - 3| = 2$，得$a - 3 = 2$或$a - 3 = -2$，即$a = 5$或$a = 1$。
3. 当$a = 1$时，$1 + 5 = 6 ＜ 7$，不满足三角形三边关系，舍去；当$a = 5$时，$5 + 5 ＞ 7$，$5 + 7 ＞ 5$，$5 + 7 ＞ 5$，满足三边关系。
4. 周长为$a + b + c = 5 + 5 + 7 = 17$。
17
2. 解方程$|a - 3| = 2$，得$a - 3 = 2$或$a - 3 = -2$，即$a = 5$或$a = 1$。
3. 当$a = 1$时，$1 + 5 = 6 ＜ 7$，不满足三角形三边关系，舍去；当$a = 5$时，$5 + 5 ＞ 7$，$5 + 7 ＞ 5$，$5 + 7 ＞ 5$，满足三边关系。
4. 周长为$a + b + c = 5 + 5 + 7 = 17$。
17
6. (2024·德州中考)如图所示,在△ABC 中,AD 是高,AE 是中线,AD = 4,S△ABC = 12,则 BE 的长为(
A.1.5
B.3
C.4
D.6
B
)A.1.5
B.3
C.4
D.6
答案
B
解析
已知$AD$是高，$AE$是中线，$AD = 4$，$S_{\triangle ABC}=12$。
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}×底×高$，在$\triangle ABC$中，$AD$是高，设$BC$为底，则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD$。
把$AD = 4$，$S_{\triangle ABC}=12$代入可得：$12=\frac{1}{2}× BC×4$，解得$BC = 6$。
因为$AE$是$BC$边的中线，根据中线的定义，中线平分对边，所以$BE=\frac{1}{2}BC$。
把$BC = 6$代入可得$BE = 3$。
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}×底×高$，在$\triangle ABC$中，$AD$是高，设$BC$为底，则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD$。
把$AD = 4$，$S_{\triangle ABC}=12$代入可得：$12=\frac{1}{2}× BC×4$，解得$BC = 6$。
因为$AE$是$BC$边的中线，根据中线的定义，中线平分对边，所以$BE=\frac{1}{2}BC$。
把$BC = 6$代入可得$BE = 3$。
7. (2024·江油)如图所示,CD,CE,CF 分别是△ABC 的高、角平分线、中线,则下列各式中错误的是(
A.BA = 2BF
B.∠ACE = $\frac{1}{2}$∠ACB
C.AE = BE
D.CD ⊥ AB
C
)A.BA = 2BF
B.∠ACE = $\frac{1}{2}$∠ACB
C.AE = BE
D.CD ⊥ AB
答案
C
解析
A. 由于 $F$ 是 $AB$ 的中点（$CF$ 是中线），根据中线的定义，有 $BA = 2BF$，所以 A 选项正确。
B. 由于 $CE$ 是 $\angle ACB$ 的角平分线，根据角平分线的性质，有 $\angle ACE = \frac{1}{2} \angle ACB$，所以 B 选项正确。
C. $E$点为角平分线$CE$与$AB$的交点，并不是$AB$的中点，所以 $AE$ 不一定等于 $BE$。因此，C 选项错误。
D. 由于 $CD$ 是 $\triangle ABC$ 的高，根据高的定义，有 $CD \perp AB$，所以 D 选项正确。
B. 由于 $CE$ 是 $\angle ACB$ 的角平分线，根据角平分线的性质，有 $\angle ACE = \frac{1}{2} \angle ACB$，所以 B 选项正确。
C. $E$点为角平分线$CE$与$AB$的交点，并不是$AB$的中点，所以 $AE$ 不一定等于 $BE$。因此，C 选项错误。
D. 由于 $CD$ 是 $\triangle ABC$ 的高，根据高的定义，有 $CD \perp AB$，所以 D 选项正确。
