1. (教材题变式)一组不为 0 的数 $ a $,$ b $,$ c $,$ d $,若 $ a = 1 $,$ b = 2 $,$ c = 3 $,$ d = 6 $,则 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ 成立.
(1)将这组数代入下面两组分式中,每组的两个分式的值是否也相等?
①$\frac{b}{a}$ 和 $\frac{d}{c}$,②$\frac{a + b}{a - b}$ 和 $\frac{c + d}{c - d}$.
(2)请用分式的运算证明上述结论.

(1)
① 因为$\frac{b}{a}=\frac{2}{1} = 2$，$\frac{d}{c}=\frac{6}{3}=2$，所以$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$。
② 因为$\frac{a + b}{a - b}=\frac{1 + 2}{1 - 2}=\frac{3}{-1}=-3$，$\frac{c + d}{c - d}=\frac{3 + 6}{3 - 6}=\frac{9}{-3}=-3$，所以$\frac{a + b}{a - b}=\frac{c + d}{c - d}$。
(2)
① 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k(k\neq0)$，则$a = bk$，$c = dk$。
$\frac{b}{a}=\frac{b}{bk}=\frac{1}{k}$，$\frac{d}{c}=\frac{d}{dk}=\frac{1}{k}$，所以$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$。
② 因为$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k(k\neq0)$，则$a = bk$，$c = dk$。
$\frac{a + b}{a - b}=\frac{bk + b}{bk - b}=\frac{b(k + 1)}{b(k - 1)}=\frac{k + 1}{k - 1}$，$\frac{c + d}{c - d}=\frac{dk + d}{dk - d}=\frac{d(k + 1)}{d(k - 1)}=\frac{k + 1}{k - 1}$，所以$\frac{a + b}{a - b}=\frac{c + d}{c - d}$。
综上，(1)中①②的两个分式的值都相等；(2)通过分式运算证明了上述结论。

2. (教材题变式)请用分式的运算证明：若 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$($ a $,$ b $,$ c $,$ d $ 均不为 0),则 $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$.

证明：
∵ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$（$a,b,c,d$均不为0），
∴ 两边同乘$bd$，得 $ad = bc$，
∵ $c \neq 0$，$d \neq 0$，
∴ 两边同除以$cd$，得 $\frac{ad}{cd} = \frac{bc}{cd}$，
化简得 $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$。
结论：$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$。

3. (教材题)填写下表：
| $ x $ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $-\frac{1}{2}$ | $-\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{2}$ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 3 $ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $ x^{2} + \frac{1}{x^{2}} $ | | | | | | | | | | |

对于表中 $ x^{2} + \frac{1}{x^{2}} $ 的值,你有什么猜想？请证明你的猜想.
猜想：
对于非零实数 $ x $，$ x^2 + \frac{1}{x^2} $ 的值与 $ -x $ 和 $ \frac{1}{x} $ 对应的函数值相等，即 $ x^2 + \frac{1}{x^2} = (-x)^2 + \frac{1}{(-x)^2} = \left(\frac{1}{x}\right)^2 + \frac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)^2} $。
证明：
1. 当 $ x $ 与 $ -x $ 时：
因为 $ (-x)^2 = x^2 $，所以 $ (-x)^2 + \frac{1}{(-x)^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} $。
2. 当 $ x $ 与 $ \frac{1}{x} $ 时：
因为 $ \left(\frac{1}{x}\right)^2 = \frac{1}{x^2} $，所以 $ \left(\frac{1}{x}\right)^2 + \frac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)^2} = \frac{1}{x^2} + x^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} $。
综上，猜想成立。

填写表格：
| $ x $ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $-\frac{1}{2}$ | $-\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{2}$ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 3 $ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $ x^{2} + \frac{1}{x^{2}} $ | $\frac{82}{9}$ | $\frac{17}{4}$ | $2$ | $\frac{17}{4}$ | $\frac{82}{9}$ | $\frac{82}{9}$ | $\frac{17}{4}$ | $2$ | $\frac{17}{4}$ | $\frac{82}{9}$ |
猜想：
对于非零实数 $ x $，$ x^2 + \frac{1}{x^2} $ 的值与 $ -x $ 和 $ \frac{1}{x} $ 对应的函数值相等，即 $ x^2 + \frac{1}{x^2} = (-x)^2 + \frac{1}{(-x)^2} = \left(\frac{1}{x}\right)^2 + \frac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)^2} $。
证明：
1. 当 $ x $ 与 $ -x $ 时：
因为 $ (-x)^2 = x^2 $，所以 $ (-x)^2 + \frac{1}{(-x)^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} $。
2. 当 $ x $ 与 $ \frac{1}{x} $ 时：
因为 $ \left(\frac{1}{x}\right)^2 = \frac{1}{x^2} $，所以 $ \left(\frac{1}{x}\right)^2 + \frac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)^2} = \frac{1}{x^2} + x^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} $。
综上，猜想成立。

4. 小聪填完题 3 中的表格后,又试了很多 $ x $ 的值,发现只有当 $ x = 1 $ 或 $ x = -1 $ 时,$ x^{2} + \frac{1}{x^{2}} $ 的值最小为 2,小聪的猜想是否正确呢？请说明理由.

小聪的猜想正确。
理由如下：
因为$x^{2} ＞0$，$\frac{1}{x^{2}}＞0$，根据平方项的非负性以及分式分母不为零则分式值大于零的性质（对于本题$x\neq0$，$\frac{1}{x^{2}}$有意义且大于$0$）。
根据基本不等式$a + b\geqslant2\sqrt{ab}$（$a＞0$，$b＞0$，当且仅当$a = b$时等号成立），在$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$中，$a = x^{2}$，$b=\frac{1}{x^{2}}$，则$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\geqslant2\sqrt{x^{2}×\frac{1}{x^{2}}}=2$。
当且仅当$x^{2}=\frac{1}{x^{2}}$时等号成立，由$x^{2}=\frac{1}{x^{2}}$可得$x^{4}=1$，即$x^{2}=1$，解得$x = \pm1$。
所以当$x = \pm1$时，$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$的值最小为$2$。