12. 如图,在△ABC中,AB= AC,AD为△ABC的角平分线.以点A为圆心,AD长为半径画弧,与AB,AC分别交于点E,F,连接DE,DF.
(1)求证：△ADE≌△ADF；
(2)若∠BAC= 80°,求∠BDE的度数.

(1)证明：∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD。
∵以点A为圆心，AD长为半径画弧，∴AE=AD，AF=AD，∴AE=AF。
在△ADE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l} AE=AF\\ ∠BAD=∠CAD\\ AD=AD\end{array}\right.$
∴△ADE≌△ADF(SAS)。
(2)解：∵AB=AC，∠BAC=80°，∴∠B=∠C=$\frac{180° - 80°}{2}$=50°。
∵AD为△ABC的角平分线，AB=AC，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=40°，∴∠ADE=∠AED=$\frac{180° - 40°}{2}$=70°，
∴∠BDE=∠ADB - ∠ADE=90° - 70°=20°。

(1)证明：
∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD。以点A为圆心，AD长为半径画弧，
∴AE=AD，AF=AD，
∴AE=AF。在△ADE和△ADF中，
∵AE=AF，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ADE≌△ADF(SAS)。
(2)
∵AB=AC，∠BAC=80°，
∴∠B=∠C=(180°-80°)/2=50°。
∵AD为△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=80°/2=40°，
∴∠ADB=90°。
∵AE=AD，
∴∠AED=∠ADE=(180°-40°)/2=70°。
∵∠AED=∠B+∠BDE，
∴∠BDE=∠AED-∠B=70°-50°=20°。

13. 在△ABC中,AB= AC.
(1)如图1,如果∠BAD= 30°,AD是BC上的高,AD= AE,则∠EDC= ；
(2)如图2,如果∠BAD= 40°,AD是BC上的高,AD= AE,则∠EDC= ；
(3)思考：通过以上两题,你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：；
(4)如图3,如果AD不是BC上的高,AD= AE,是否仍有上述关系？如有,请你写出来,并说明理由.

(1)15°；(2)20°；(3)∠EDC=1/2∠BAD；(4)仍有∠EDC=1/2∠BAD。

(1)∵AB=AC，AD是BC上的高，∴∠BAD=∠CAD=30°，∠ADC=90°，∠B=∠C。设∠EDC=x，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED。∠AED是△EDC外角，∴∠AED=∠C+∠EDC。∠BAC=60°，∠C=(180°-60°)/2=60°，则∠AED=60°+x。∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，∠ADE=∠AED=60°+x，∴60°+x+x=90°，解得x=15°。
(2)同理，∠BAD=40°，∠CAD=40°，∠BAC=80°，∠C=(180°-80°)/2=50°。设∠EDC=x，∠AED=∠C+∠EDC=50°+x，∠ADE=∠AED=50°+x。∠ADC=90°=∠ADE+∠EDC=50°+x+x，解得x=20°。
(3)由(1)(2)，∠EDC=1/2∠BAD。
(4)仍有∠EDC=1/2∠BAD。理由：AB=AC，∠B=∠C=β。AD=AE，∠ADE=∠AED。设∠BAD=α，∠EDC=x。∠ADC=∠B+∠BAD=β+α。∠DAE=∠BAC-∠BAD=180°-2β-α，∠ADE=(180°-∠DAE)/2=(2β+α)/2=β+α/2。∠ADC=∠ADE+∠EDC，即β+α=β+α/2+x，得x=α/2，即∠EDC=1/2∠BAD。