例1 计算：(1)$\dfrac{5x+3y}{x^{2}-y^{2}}-\dfrac{2x}{x^{2}-y^{2}}$；
(2)$\dfrac{x+3y}{x^{2}-y^{2}}-\dfrac{x+2y}{x^{2}-y^{2}}+\dfrac{2x-3y}{x^{2}-y^{2}}$.

(1) $\dfrac{5x+3y}{x^{2}-y^{2}}-\dfrac{2x}{x^{2}-y^{2}}$
$=\dfrac{(5x + 3y)-2x}{x^{2}-y^{2}}$
$=\dfrac{3x + 3y}{x^{2}-y^{2}}$
$=\dfrac{3(x + y)}{(x + y)(x - y)}$
$=\dfrac{3}{x - y}$
(2) $\dfrac{x+3y}{x^{2}-y^{2}}-\dfrac{x+2y}{x^{2}-y^{2}}+\dfrac{2x-3y}{x^{2}-y^{2}}$
$=\dfrac{(x + 3y)-(x + 2y)+(2x - 3y)}{x^{2}-y^{2}}$
$=\dfrac{x + 3y - x - 2y + 2x - 3y}{x^{2}-y^{2}}$
$=\dfrac{2x - 2y}{x^{2}-y^{2}}$
$=\dfrac{2(x - y)}{(x + y)(x - y)}$
$=\dfrac{2}{x + y}$

例2 计算：
(1)$\dfrac{1}{2p+3q}-\dfrac{1}{2p-3q}$；
(2)$\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1-x}{6+2x}-\dfrac{6}{x^{2}-9}$.

(1)
原式$=\dfrac{1}{2p + 3q}-\dfrac{1}{2p-3q}$
$=\dfrac{2p - 3q-(2p + 3q)}{(2p + 3q)(2p-3q)}$
$=\dfrac{2p - 3q - 2p - 3q}{4p^{2}-9q^{2}}$
$=\dfrac{-6q}{4p^{2}-9q^{2}}$
(2)
原式$=\dfrac{1}{x - 3}+\dfrac{1 - x}{2(x + 3)}-\dfrac{6}{(x + 3)(x - 3)}$
$=\dfrac{2(x + 3)+ (1 - x)(x - 3)-12}{2(x + 3)(x - 3)}$
$=\dfrac{2x+6+(x-3-x^{2}+3x)-12}{2(x + 3)(x - 3)}$
$=\dfrac{2x+6+x - 3-x^{2}+3x-12}{2(x + 3)(x - 3)}$
$=\dfrac{-x^{2}+6x - 9}{2(x + 3)(x - 3)}$
$=\dfrac{-(x^{2}-6x + 9)}{2(x + 3)(x - 3)}$
$=\dfrac{-(x - 3)^{2}}{2(x + 3)(x - 3)}$
$=-\dfrac{x - 3}{2(x + 3)}$

例3 甲、乙两位采购员两次同去购买饲料.两次饲料的价格有变化,分别为$m$元/千克和$n$元/千克($m$,$n$是正数,且$m\neq n$),两位采购员的购货方式也不同,其中甲每次购买1000千克,乙每次用去1000元.
(1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？
(2)谁的购货方式更合算？

（1）甲所购饲料的平均单价：
甲两次购买饲料总重量为$1000 + 1000 = 2000$（千克），总费用为$1000m + 1000n$（元）。
根据“单价 = 总费用÷总重量”，可得甲所购饲料的平均单价是$\frac{1000m + 1000n}{2000}=\frac{m + n}{2}$（元/千克）。
乙两次购买饲料总费用为$1000 + 1000 = 2000$（元），总重量为$(\frac{1000}{m}+\frac{1000}{n})$千克。
所以乙所购饲料的平均单价是$\frac{2000}{\frac{1000}{m}+\frac{1000}{n}}=\frac{2mn}{m + n}$（元/千克）。
（2）计算$\frac{m + n}{2}-\frac{2mn}{m + n}$
$\frac{m + n}{2}-\frac{2mn}{m + n}=\frac{(m + n)^{2}-4mn}{2(m + n)}=\frac{m^{2}+2mn + n^{2}-4mn}{2(m + n)}=\frac{m^{2}-2mn + n^{2}}{2(m + n)}=\frac{(m - n)^{2}}{2(m + n)}$。
因为$m$，$n$是正数，且$m\neq n$，所以$m + n\gt0$，$(m - n)^{2}\gt0$，则$\frac{(m - n)^{2}}{2(m + n)}\gt0$，即$\frac{m + n}{2}\gt\frac{2mn}{m + n}$。
所以乙的购买方式更合算。
综上，答案为：（1）甲所购饲料的平均单价是$\frac{m + n}{2}$元/千克，乙所购饲料的平均单价是$\frac{2mn}{m + n}$元/千克；（2）乙的购货方式更合算。

(1)甲所购饲料的平均单价是$\dfrac{1000m + 1000n}{1000 + 1000} = \dfrac{m + n}{2}$(元/千克)，乙所购饲料的平均单价是$\dfrac{2000}{\dfrac{1000}{m} + \dfrac{1000}{n}} = \dfrac{2mn}{m + n}$(元/千克)。
(2)$\dfrac{m + n}{2} - \dfrac{2mn}{m + n} = \dfrac{(m + n)^2 - 4mn}{2(m + n)} = \dfrac{(m - n)^2}{2(m + n)}$，因为$m$，$n$是正数且$m \neq n$，所以$m + n ＞ 0$，$(m - n)^2 ＞ 0$，则$\dfrac{(m - n)^2}{2(m + n)} ＞ 0$，即$\dfrac{m + n}{2} ＞ \dfrac{2mn}{m + n}$，所以乙的购货方式更合算。

如图,在数轴上,$A$,$B两点分别表示-\dfrac{2}{1+a}$,$\dfrac{a^{2}}{a^{2}+a}$,若$a$表示正整数,则$AB$的长为.

$\dfrac{a+2}{a+1}$

因为B点表示的数为$\dfrac{a^{2}}{a^{2}+a}=\dfrac{a^{2}}{a(a+1)}=\dfrac{a}{a+1}$，A点表示的数为$-\dfrac{2}{a+1}$，且B在A右边，所以AB的长为$\dfrac{a}{a+1}-\left(-\dfrac{2}{a+1}\right)=\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{2}{a+1}=\dfrac{a+2}{a+1}$。