10. 若$x$,$y的值均扩大为原来的3$倍,则下列分式的值保持不变的是()

A.$\frac{2 + x}{x - y}$
B.$\frac{2y}{x^{2}}$
C.$\frac{2y^{3}}{3x^{2}}$
D.$\frac{2y^{2}}{(x - y)^{2}}$

D

将x，y均替换为3x，3y，分别代入各选项：
A. $\frac{2+3x}{3x-3y}=\frac{3x+2}{3(x-y)}$，与原分式不同；
B. $\frac{2×3y}{(3x)^2}=\frac{6y}{9x^2}=\frac{2y}{3x^2}$，与原分式不同；
C. $\frac{2×(3y)^3}{3×(3x)^2}=\frac{2×27y^3}{3×9x^2}=\frac{54y^3}{27x^2}=\frac{2y^3}{x^2}$，与原分式不同；
D. $\frac{2×(3y)^2}{(3x-3y)^2}=\frac{2×9y^2}{9(x-y)^2}=\frac{2y^2}{(x-y)^2}$，与原分式相同。

11. 不改变分式的值,把分式的分子和分母中的各项系数化为整数,则$\frac{\frac{2}{5}x+\frac{3}{10}}{0.4x - 0.5}=$。

$\frac{4x + 3}{4x - 5}$

为了将分子和分母中的各项系数化为整数需要将分子和分母同时乘以一个数，这里选择10（因为分母中最大小数位数是1位但存在分数，10可以同时化简分数和小数）。
$原分式 = \frac{\frac{2}{5}x + \frac{3}{10}}{0.4x - 0.5}$，
$分子乘以10: 10 × (\frac{2}{5}x + \frac{3}{10}) = 4x + 3$，
$分母乘以10: 10 × (0.4x - 0.5) = 4x - 5$，
$新分式 = \frac{4x + 3}{4x - 5}$，
因此，不改变分式的值把分式的分子和分母中的各项系数化为整数后的分式是 $\frac{4x + 3}{4x - 5}$。

12. 已知$\frac{x}{2}= \frac{y}{3}= \frac{z}{4}$,则$\frac{xy + yz + zx}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$的值为。

$\frac{26}{29}$

设$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} = k$，则$x = 2k$，$y = 3k$，$z = 4k$。
$\begin{aligned}\frac{xy + yz + zx}{x^{2} + y^{2} + z^{2}}&=\frac{(2k)(3k) + (3k)(4k) + (4k)(2k)}{(2k)^{2} + (3k)^{2} + (4k)^{2}}\\&=\frac{6k^{2} + 12k^{2} + 8k^{2}}{4k^{2} + 9k^{2} + 16k^{2}}\\&=\frac{26k^{2}}{29k^{2}}\\&=\frac{26}{29}\end{aligned}$

13. 不改变分式的值,把下列分式的分子和分母中的各项系数化为整数。
(1) $\frac{0.01m+\frac{1}{4}n}{0.001m+\frac{1}{8}n}$；

(2) $\frac{0.1x+\frac{1}{2}ab}{0.05x-\frac{1}{20}ab}$；
(3) $\frac{1.5 - x-\frac{1}{2}x^{2}}{0.2x^{3}-\frac{4}{5}x^{2}+x}$。

(1)
分式的分子分母同时乘以 1000（分子分母中$m$、$n$相关项系数的最小公倍数的适当倍数，$0.01×1000 = 10$，$\frac{1}{4}×1000 = 250$，$0.001×1000 = 1$，$\frac{1}{8}×1000 = 125$）：
$\frac{(0.01m+\frac{1}{4}n)×1000}{(0.001m+\frac{1}{8}n)×1000}=\frac{10m + 250n}{m+125n}$
(2)
分式的分子分母同时乘以 20（分子分母中$x$、$ab$相关项系数的最小公倍数，$0.1×20 = 2$，$\frac{1}{2}×20 = 10$，$0.05×20 = 1$，$\frac{1}{20}×20 = 1$）：
$\frac{(0.1x+\frac{1}{2}ab)×20}{(0.05x-\frac{1}{20}ab)×20}=\frac{2x + 10ab}{x - ab}$
(3)
分式的分子分母同时乘以 10（分子分母中各项系数的最小公倍数，$1.5×10 = 15$，$1×10 = 10$，$\frac{1}{2}×10 = 5$，$0.2×10 = 2$，$\frac{4}{5}×10 = 8$）：
$\frac{(1.5 - x-\frac{1}{2}x^{2})×10}{(0.2x^{3}-\frac{4}{5}x^{2}+x)×10}=\frac{15 - 10x - 5x^{2}}{2x^{3}-8x^{2}+10x}$

14. 已知$x^{2}-5x + 1 = 0$,求$\frac{x^{2}}{x^{4}+1}$的值。

$\frac{1}{23}$

由$x^2 - 5x + 1 = 0$，知$x \neq 0$，方程两边同除以$x$得：$x - 5 + \frac{1}{x} = 0$，即$x + \frac{1}{x} = 5$。
对$x + \frac{1}{x} = 5$两边平方：$(x + \frac{1}{x})^2 = 25$，展开得$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 25$，即$x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 = 25$，故$x^2 + \frac{1}{x^2} = 23$。
将$\frac{x^2}{x^4 + 1}$分子分母同除以$x^2$（$x \neq 0$）得：$\frac{x^2}{x^4 + 1} = \frac{1}{x^2 + \frac{1}{x^2}}$。
代入$x^2 + \frac{1}{x^2} = 23$，得$\frac{x^2}{x^4 + 1} = \frac{1}{23}$。