1. 如图,直线 $ l_{1}// l_{2} $,直线 $ l_{3} $ 与 $ l_{1} $,$ l_{2} $ 分别交于点 $ A $,$ C $,$ BC\perp l_{3} $ 交 $ l_{1} $ 于点 $ B $。若 $ \angle 1 = 70^{\circ} $,则 $ \angle 2 $ 的度数为()

A.$ 10^{\circ} $
B.$ 20^{\circ} $
C.$ 30^{\circ} $
D.$ 40^{\circ} $

B

因为 $ l_{1} // l_{2} $，所以 $ \angle BAC = \angle 1 = 70^{\circ} $（两直线平行，同位角相等）。
因为 $ BC \perp l_{3} $，所以 $ \angle ACB = 90^{\circ} $。
在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle 2 + \angle BAC + \angle ACB = 180^{\circ} $（三角形内角和为 $ 180^{\circ} $），
所以 $ \angle 2 = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ} $。

2. 已知 $ \triangle ABC $ 的三边长分别为 $ a $,$ b $,$ c $,且 $ a ＞ b ＞ c $。若 $ b = 5 $,$ c = 4 $,则周长 $ l $ 的取值范围是()
A.$ 1 ＜ l ＜ 9 $
B.$ 10 ＜ l ＜ 18 $
C.$ 14 ＜ l ＜ 18 $
D.$ 0 ＜ l ＜ 18 $

C

因为三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知$b = 5$，$c = 4$，且$a ＞ b ＞ c$，所以$a$的取值范围为$b ＜ a ＜ b + c$，即$5 ＜ a ＜ 5 + 4$，$5 ＜ a ＜ 9$。周长$l = a + b + c = a + 5 + 4 = a + 9$，所以$5 + 9 ＜ l ＜ 9 + 9$，$14 ＜ l ＜ 18$。

3. 如图,$ AD $,$ CE $ 分别是 $ \triangle ABC $ 的角平分线和中线,则下列说法正确的是()

A.$ DB = DC $,$ BE = EA $
B.$ BD = DC $,$ \angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC $
C.$ BE = \frac{1}{2}AB $,$ \angle BAD = \angle CAD $
D.$ BE = AE $,$ \angle BCE = \frac{1}{2}\angle ACB $

C

$AD$是角平分线，所以$\angle BAD=\angle CAD=\frac{1}{2}\angle BAC$。
$CE$是中线，故$BE=EA$，且$BE=\frac{1}{2}AB$是正确的描述，但选项中未完整包含此与角平分线的正确组合。
A：$DB=DC$无依据，错误。
B：$BD=DC$无依据，错误。
C：$BE=\frac{1}{2}AB$正确，且$\angle BAD=\angle CAD$正确。
D：$BE=AE$虽正确，但$\angle BCE=\frac{1}{2}\angle ACB$无依据，错误。

4. 一个三角形,其中一个外角的补角等于与它不相邻的两个内角的差,则这个三角形一定是()
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形

B

设三角形的一个外角为∠α，其补角为180°-∠α，与∠α不相邻的两个内角分别为∠β、∠γ（∠β＞∠γ）。根据三角形外角性质，∠α=∠β+∠γ。由题意得180°-∠α=∠β-∠γ，即180°-(∠β+∠γ)=∠β-∠γ，化简得180°=2∠β，∠β=90°。故此三角形有一个内角为90°，是直角三角形。

5. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 60^{\circ} $,$ \angle BAC = 75^{\circ} $,$ AD\perp BC $ 于点 $ D $,$ BE\perp AC $ 于点 $ E $,$ AD $ 与 $ BE $ 交于点 $ H $,则 $ \angle CHD = $()

A.$ 45^{\circ} $
B.$ 60^{\circ} $
C.$ 75^{\circ} $
D.$ 30^{\circ} $

A

在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，则∠ABC=180°-75°-60°=45°。
AD⊥BC，BE⊥AC，H为AD、BE交点（垂心）。设CD=1，在Rt△ADC中，∠CAD=30°（∠CAD=90°-∠ACB=30°），故AC=2CD=2，AD=√3。
在Rt△ABD中，∠ABD=45°，AD=√3，故BD=AD=√3，BC=BD+CD=√3+1。
在Rt△BEC中，∠EBC=30°（∠EBC=90°-∠ACB=30°），BE=BC·sin60°=(√3+1)·√3/2=(3+√3)/2，EC=BC·cos60°=(√3+1)/2。
AE=AC-EC=2-(√3+1)/2=(3-√3)/2，在Rt△AEH中，∠EAH=30°，EH=AE·tan30°=(3-√3)/2·(1/√3)=(√3-1)/2。
BH=BE-EH=(3+√3)/2-(√3-1)/2=2，在Rt△BDH中，BD=√3，由勾股定理得DH=√(BH²-BD²)=√(4-3)=1。
在Rt△HDC中，CD=1，DH=1，故∠HCD=45°，则∠CHD=90°-∠HCD=45°。

6. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle A = 70^{\circ} $,$ \angle B = 50^{\circ} $,$ M $,$ N $ 分别是 $ BC $,$ AB $ 上的动点,沿 $ MN $ 所在的直线折叠 $ \angle B $,使点 $ B $ 的对应点 $ B' $ 落在 $ AC $ 上。若 $ \triangle MB'C $ 为直角三角形,则 $ \angle MNB' $ 的度数为()

A.$ 60^{\circ} $
B.$ 55^{\circ} $
C.$ 85^{\circ} $
D.$ 55^{\circ} $或 $ 85^{\circ} $

D

在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，则∠C=60°。折叠后∠B=∠MB'N=50°，MB=MB'，∠BNM=∠B'NM。△MB'C为直角三角形，直角顶点只能为B'或M（∠C=60°不可能为直角）。
情况1：∠B'MC=90°（直角在M）
△MB'C中，∠C=60°，∠B'MC=90°，则∠MB'C=30°。
∵∠AB'N+∠NB'M+∠MB'C=180°，∠NB'M=50°，∴∠AB'N=100°。
△AB'N中，∠A=70°，∠AB'N=100°，则∠ANB'=10°。
∵∠ANB'+2∠MNB'=180°，∴∠MNB'=(180°-10°)/2=85°。
情况2：∠MB'C=90°（直角在B'）
△MB'C中，∠C=60°，∠MB'C=90°，则∠B'MC=30°。
∵∠AB'N+∠NB'M+∠MB'C=180°，∠NB'M=50°，∴∠AB'N=40°。
△AB'N中，∠A=70°，∠AB'N=40°，则∠ANB'=70°。
∵∠ANB'+2∠MNB'=180°，∴∠MNB'=(180°-70°)/2=55°。
综上，∠MNB'=55°或85°。

7. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB ＞ \angle B $,$ AD $ 平分 $ \angle BAC $,点 $ E $ 在射线 $ BC $ 上,$ EF\perp AD $ 于点 $ G $,分别交 $ AB $,$ AC $ 于点 $ F $,$ H $,$ GM\perp BC $ 于点 $ M $。有下列结论：① $ \angle DGM = \angle E $；② $ 2\angle ADE = \angle ACE + \angle B $；③ $ \angle DAC = \angle EGM - \angle B $；④ $ \angle E = \angle ACB - \angle B $。其中正确结论的个数为()

A.$ 4 $
B.$ 3 $
C.$ 2 $
D.$ 1 $

B

① ∵GM⊥BC，EF⊥AD，∴∠GMD=∠DGE=90°。在Rt△GMD中，∠DGM+∠GDE=90°；在Rt△GED中，∠E+∠GDE=90°，∴∠DGM=∠E，①正确。
② AD平分∠BAC，设∠BAD=∠DAC=β。∠ACE是△ABC外角，∴∠ACE=∠BAC+∠B=2β+∠B。∠ADE是△ABD外角，∴∠ADE=∠BAD+∠B=β+∠B，∴2∠ADE=2β+2∠B=∠ACE+∠B，②正确。
③ ∵GM⊥BC，∠GME=90°，∴∠EGM+∠E=90°。由①∠E=∠DGM，且∠DGM+∠GDE=90°，∠GDE=∠ADE=β+∠B，∴∠DGM=90°-(β+∠B)，∴∠EGM=90°-∠E=90°-∠DGM=β+∠B，∴∠DAC=β=∠EGM-∠B，③正确。
④ 在△EHC中，∠EHC=∠B+∠E（外角性质），∠AHF=∠EHC（对顶角）。△AFH为等腰三角形（AD平分∠BAC且AD⊥FH），∠AFH=∠AHF=∠B+∠E。∠ACB=∠EHC+∠E=∠B+2∠E，∴∠E=(∠ACB-∠B)/2≠∠ACB-∠B，④错误。
正确结论为①②③，共3个。

8. 若 $ a $,$ b $,$ c $ 分别为 $ \triangle ABC $ 的三边长,则 $ |a + b - c| + |a - c - b| = $ 。

2b

因为三角形两边之和大于第三边，所以$a + b ＞ c$，$b + c ＞ a$，即$a + b - c ＞ 0$，$a - c - b = a - (b + c) ＜ 0$。则$|a + b - c| = a + b - c$，$|a - c - b| = -(a - c - b) = b + c - a$。所以原式$=(a + b - c) + (b + c - a) = 2b$。