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7. 如图,已知$AB是\odot O$的直径,点$D在\odot O$上,$C是\odot O$外一点. 若$AD // OC$,直线$BC与\odot O$相交,判断直线$CD与\odot O$的位置关系,并说明理由.
答案
解：直线CD与⊙O相切，理由如下：
连接OD，
∵AD//OC，
∴∠OAD=∠COB，∠ADO=∠DOC，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠COB=∠DOC，
∵OD=OB，OC=OC，
∴△DOC≌△BOC(SAS)，
∴∠ODC=∠OBC，
∵直线BC与⊙O相交，AB是⊙O的直径，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线CD与⊙O相切。
连接OD，
∵AD//OC，
∴∠OAD=∠COB，∠ADO=∠DOC，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠COB=∠DOC，
∵OD=OB，OC=OC，
∴△DOC≌△BOC(SAS)，
∴∠ODC=∠OBC，
∵直线BC与⊙O相交，AB是⊙O的直径，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线CD与⊙O相切。
8. 已知$\angle MAN = 30^{\circ}$,$O为边AN$上一点,以点$O$为圆心,$2为半径作\odot O$,交$AN于D$,$E$两点. 设$AD = x$.
(1)如图①,当$x$取何值时,$\odot O与AM$相切？
(2)如图②,当$x$取何值时,$\odot O交于B$,$C$两点,且$\angle BOC = 90^{\circ}$？
图① 图②
(1)如图①,当$x$取何值时,$\odot O与AM$相切？
(2)如图②,当$x$取何值时,$\odot O交于B$,$C$两点,且$\angle BOC = 90^{\circ}$？
图① 图②
答案
(1)解：过点O作OF⊥AM于点F，
∵⊙O与AM相切，
∴OF=半径=2，
∵∠MAN=30°，
∴在Rt△AOF中，AO=2OF=4，
∵AD=x，OD=2，
∴AO=AD+OD=x+2，
∴x+2=4，解得x=2。
(2)解：过点O作OG⊥AM于点G，
∵OB=OC=2，∠BOC=90°，
∴BC=√(OB²+OC²)=√(2²+2²)=2√2，
∵OG⊥BC，
∴BG=CG=BC/2=√2，
在Rt△OBG中，OG=√(OB²-BG²)=√(2²-(√2)²)=√2，
∵∠MAN=30°，
∴在Rt△AOG中，AO=2OG=2√2，
∵AD=x，OD=2，且点D在AO上，
∴AO=AD+OD=x+2，
∴x+2=2√2，解得x=2√2-2。
∵⊙O与AM相切，
∴OF=半径=2，
∵∠MAN=30°，
∴在Rt△AOF中，AO=2OF=4，
∵AD=x，OD=2，
∴AO=AD+OD=x+2，
∴x+2=4，解得x=2。
(2)解：过点O作OG⊥AM于点G，
∵OB=OC=2，∠BOC=90°，
∴BC=√(OB²+OC²)=√(2²+2²)=2√2，
∵OG⊥BC，
∴BG=CG=BC/2=√2，
在Rt△OBG中，OG=√(OB²-BG²)=√(2²-(√2)²)=√2，
∵∠MAN=30°，
∴在Rt△AOG中，AO=2OG=2√2，
∵AD=x，OD=2，且点D在AO上，
∴AO=AD+OD=x+2，
∴x+2=2√2，解得x=2√2-2。
【例题1】如图,$AB是\odot O$的直径,点$D在AB$的延长线上,$BD= OB$,点$C$在圆上,$\angle CAB= 30°$. 求证：$DC是\odot O$的切线.
答案
思路导引 连半径,证垂直.
证明：连接$OC$,$CB$.
$\because AB是\odot O$的直径,且$\angle CAB= 30°$,
$\therefore \angle ACB= 90°$.
$\therefore CB= \frac{1}{2}AB= OB= OC$. 即$\triangle BOC$是等边三角形,$\angle OCB= \angle OBC= 60°$.
又$BD= OB$,$\therefore CB= BD$.
$\therefore \angle BCD= \angle D= \frac{1}{2}\angle ABC= 30°$.
$\therefore \angle OCD= \angle OCB+\angle BCD= 60°+30°=90°$.
$\therefore OC\perp CD$. 又点$C$在圆上,
$\therefore DC是\odot O$的切线.
