11. [2026合肥期末]如图，点B，C在线段AD上.若AC=BD，则下列等式不一定成立的是()

A.$AB=CD$
B.$AD=2AB+BC$
C.$BD=BC+AB$
D.$AC=AB+CD$

D

【分析】
解题时先根据线段的和差关系，结合已知AC=BD推导出AB=CD这个核心结论，再将每个选项中的线段拆解为基础线段的和，结合AB=CD逐一判断是否成立，注意题目要选的是“不一定成立”的选项。
【解析】
已知点B，C在线段AD上，根据线段的和差关系可得：
$AC = AB + BC$，$BD = BC + CD$
∵ $AC = BD$
∴ $AB + BC = BC + CD$，两边同时减去BC得：$AB = CD$，故A选项一定成立，不符合题意；
对B选项：$AD = AB + BC + CD$，又
∵$AB = CD$，代入得$AD = AB + BC + AB = 2AB + BC$，故B选项一定成立，不符合题意；
对C选项：$BD = BC + CD$，又
∵$CD = AB$，代入得$BD = BC + AB$，故C选项一定成立，不符合题意；
对D选项：$AC = AB + BC$，若$AC = AB + CD$，则需满足$BC = CD$，但题目未给出BC和CD相等的条件，因此该等式不一定成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
线段的和差运算，等式的性质
【点评】
本题考查线段的和差计算，解题的关键是先由已知条件推出AB=CD，再代入各选项验证，做题时要注意审题，明确题干要求选择不一定成立的选项，避免因粗心选错。
【难度系数】
0.7

12.如图,在操作课上,同学们按老师的要求操作:①作射线AM;②在射线AM上顺次截取AC=CD=5 cm;③在射线DM上截取DE=3 cm;④在线段EA上截取EB=4.5 cm,发现点B在线段CD上.由操作可知,线段CB= ()

A.2.5 cm
B.3 cm
C.3.5 cm
D.4 cm

C

【分析】
解题时首先要根据题目给出的操作步骤，明确射线AM上各点的排列顺序为A、C、D、E，再利用线段的和差关系逐步计算：先求出线段AE的总长度，再结合EB的长度算出AB的长度，最后用AB的长度减去AC的长度即可得到CB的长度；也可以先算出BD的长度，再用CD的长度减去BD的长度得到结果。
【解析】
根据操作步骤，射线AM上的点从左到右依次为A、C、D、E。
1. 计算AE的长度：
已知AC=CD=5cm，DE=3cm，根据线段和的关系可得：
AE = AC + CD + DE = 5 + 5 + 3 = 13（cm）
2. 计算AB的长度：
已知EB=4.5cm，且B在线段EA上，根据线段差的关系可得：
AB = AE - EB = 13 - 4.5 = 8.5（cm）
3. 计算CB的长度：
已知AC=5cm，根据线段差的关系可得：
CB = AB - AC = 8.5 - 5 = 3.5（cm）
【答案】
C
【知识点】
线段的和差运算、射线的概念、线段的度量
【点评】
本题是线段运算的基础题型，核心是理清同一直线上各点的位置顺序，找准各线段之间的数量关系，通过逐步推导即可求出未知线段的长度，解题时注意不要混淆各线段的位置关系。
【难度系数】
0.7

13.如图①,C为线段AB的中点,AB=10.若点D在直线AB上,且AD=2,则DC的长为.
【变式·模型构建】已知线段AB=12,在直线AB上截取线段BC=4.若D为线段AB的中点,E为线段BC的中点,则线段DE的长为.
【变式·一般化】如图②,已知点B,C在线段AD上,且AB=CD.
(1)已知AD=18,BC=12,M是AB的中点,N是CD的中点,求线段MN的长度;
(2)在(1)中,如果AD=a,BC=b,其他条件不变,那么MN=(用含a,b的式子表示).

3或7
【变式·模型构建】4或8
【变式·一般化】解：(1)由题意得$AB+CD=AD-BC=18-12=6$.因为M是AB的中点，N是CD的中点，所以$BM+CN=\dfrac{1}{2}AB+\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2}(AB+CD)=3$,所以$MN=BM+CN+BC=3+12=15$.
(2)$\dfrac{1}{2}(a+b)$

【分析】
1. 第一小问：点D在直线AB上，存在两种位置情况：①D在线段AB上；②D在BA的延长线上。先根据线段中点定义求出AC的长度，再结合AD的长度分情况计算DC的长度即可。
2. 变式·模型构建：点C在直线AB上，分两种情况：①C在线段AB上；②C在AB的延长线上。先根据中点定义分别求出BD、BE的长度，再结合线段和差关系分情况计算DE的长度。
3. 变式·一般化(1)：先根据线段和差关系求出AB+CD的总长度，再利用中点性质得到BM+CN的长度，最后加BC的长度即可求出MN；(2)把(1)中的具体数值替换为字母a、b，按照相同逻辑推导即可得到MN的表达式。
【解析】
原题
已知C为AB中点，AB=10，根据线段中点定义得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$
点D在直线AB上，AD=2，分两种情况：
① 当D在线段AB上时，$DC=AC-AD=5-2=3$；
② 当D在BA的延长线上时，$DC=AC+AD=5+2=7$。
变式·模型构建
已知D为AB中点，AB=12，得：
$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$
E为BC中点，BC=4，得：
$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2$
点C在直线AB上，分两种情况：
① 当C在线段AB上时，$DE=BD-BE=6-2=4$；
② 当C在AB的延长线上时，$DE=BD+BE=6+2=8$。
变式·一般化
(1) 已知$AD=18$，$BC=12$，根据线段和差关系：
$AB+CD=AD-BC=18-12=6$
∵M是AB中点，N是CD中点
∴$BM=\frac{1}{2}AB$，$CN=\frac{1}{2}CD$
∴$BM+CN=\frac{1}{2}(AB+CD)=\frac{1}{2}×6=3$
∴$MN=BM+CN+BC=3+12=15$
(2) 当$AD=a$，$BC=b$时：
$AB+CD=AD-BC=a-b$
同理可得$BM+CN=\frac{1}{2}(AB+CD)=\frac{1}{2}(a-b)$
∴$MN=\frac{1}{2}(a-b)+b=\frac{a+b}{2}$
【答案】
3或7
【变式·模型构建】4或8
【变式·一般化】(1)15；(2)$\dfrac{1}{2}(a+b)$
【知识点】
线段中点定义，线段和差运算，分类讨论思想
【点评】
本题围绕线段的运算展开，核心是中点性质和线段和差关系的应用，解题时需要注意“直线上的点”位置不唯一，需分类讨论避免漏解，一般化推导问题可参照具体数值的解题思路，掌握从特殊到一般的推导方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7

14.平面上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它与四个村庄的距离之和最小（A，B，C，D四个村庄的地理位置如图所示），并说明理由。

解：如图,连接AC,BD交于点H,点H就是蓄水池的位置,这一点到A,B,C,D四个村庄的距离之和最小.理由：两点之间的所有连线中,线段最短.

【分析】
要找到与四个村庄距离之和最小的点，我们可以结合线段的性质逐步推导：首先，若要某点到A、C的距离之和最小，根据两点之间线段最短的性质，该点必然在线段AC上，否则到A、C的距离之和会大于线段AC的长度；同理，若要某点到B、D的距离之和最小，该点必然在线段BD上。因此同时满足两个条件的点，就是线段AC和BD的交点，该点即为所求的蓄水池位置。
【解析】
1. 作图：连接AC、BD，两条线段的交点记为H；
2. 理由验证：任取一个不同于H的点H'，根据两点之间线段最短可得，H'A+H'C ＞ AC，H'B+H'D ＞ BD，因此H'到四个村庄的距离之和大于AC+BD；而H点到四个村庄的距离之和为AH+CH+BH+DH=AC+BD，因此H点到四个村庄的距离之和最小。
【答案】
如图,连接AC,BD交于点H,点H就是蓄水池的位置,这一点到A,B,C,D四个村庄的距离之和最小.理由：两点之间的所有连线中,线段最短.
【知识点】
1. 两点之间线段最短 2. 线段作图
【点评】
本题是线段性质的实际应用，解题关键是将实际的最短路径问题转化为数学问题，利用线段的基本性质找到最优位置，能有效考查学生对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.8

15. 推理能力 如图，已知数轴上A，B两点所表示的数分别为－2和8，点O表示原点.
(1)求线段AB的长.
(2)若P为射线BA上的一点(点P不与A，B两点重合)，M为PA的中点，N为PB的中点，当点P在射线BA上运动时，MN的长度是否发生改变？若不变，请求出线段MN的长度；若改变，请说明理由.

解：(1)因为A,B两点所表示的数分别为－2和8，
所以$OA=2$,$OB=8$,所以$AB=OA+OB=10$.
(2)线段MN的长度不发生改变.分下面两种情况：
①当点P在A,B两点之间运动时，如图a，
$MN=MP+NP=\dfrac{1}{2}PA+\dfrac{1}{2}PB=\dfrac{1}{2}(PA+PB)=\dfrac{1}{2}AB=5$；
②当点P在点A的左侧运动时，如图b，$MN=NP-MP=\dfrac{1}{2}BP-\dfrac{1}{2}AP=\dfrac{1}{2}AB=5$.
综上所述,线段MN的长度不发生改变,其长度为5.

【分析】
(1) 求数轴上两点的线段长度，本题中A在原点左侧，B在原点右侧，AB的长度等于A到原点的距离加B到原点的距离，代入两点对应的数值计算即可。
(2) 判断MN长度是否变化，先结合中点的性质得到MP与PA、NP与PB的数量关系，再分两种情况讨论点P的位置：①点P在A、B之间；②点P在A的左侧，分别利用线段的和差关系表示MN，化简后看结果是否为定值即可。
【解析】
(1) 已知A表示的数为-2，B表示的数为8，
则$OA=|-2|=2$，$OB=8$，
因此$AB=OA+OB=2+8=10$。
(2) 线段MN的长度不发生改变，理由如下：
∵M为PA中点，N为PB中点，
∴$MP=\frac{1}{2}PA$，$NP=\frac{1}{2}PB$。
① 当点P在A、B两点之间运动时，如图a：
$MN=MP+NP=\frac{1}{2}PA+\frac{1}{2}PB=\frac{1}{2}(PA+PB)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$；
② 当点P在点A左侧运动时，如图b：
$MN=NP-MP=\frac{1}{2}PB-\frac{1}{2}PA=\frac{1}{2}(PB-PA)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$。
综上，无论点P在射线BA上如何运动，MN的长度都不变。
【答案】
(1) 线段AB的长为10；
(2) 线段MN的长度不发生改变，长度为5。
【知识点】
数轴两点距离计算、线段中点的定义、线段的和差运算
【点评】
本题是线段动态计算的基础题，核心是利用中点的性质转化线段的数量关系，解题时需要注意对点的位置进行分类讨论，避免漏解，推导过程中可以总结出此类中点问题的通用规律，降低同类题的解题难度。
【难度系数】
0.7