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探究1：回顾之前学习的公因数的知识，求75，125的最大公因数。
答案
解：
∵75=25×3，125=25×5，
∴75，125的最大公因数是25。
∵75=25×3，125=25×5，
∴75，125的最大公因数是25。
解析
【分析】
求解两个正整数的最大公因数，常用分解质因数法：首先需要将两个数分别分解成多个因数相乘的形式，再从中找到两个数公有的因数，其中数值最大的公有因数就是这两个数的最大公因数。针对本题，我们先分别对75和125做因数分解，再找公共的最大因数即可。
【解析】
解：
∵75=25×3，125=25×5，
∴75，125的最大公因数是25。
【答案】
25
【知识点】
1. 分解质因数 2. 最大公因数的计算
【点评】
本题是最大公因数求解的基础题型，核心考查分解质因数法求最大公因数的应用，熟练掌握数的因数分解方法即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
求解两个正整数的最大公因数，常用分解质因数法：首先需要将两个数分别分解成多个因数相乘的形式，再从中找到两个数公有的因数，其中数值最大的公有因数就是这两个数的最大公因数。针对本题，我们先分别对75和125做因数分解，再找公共的最大因数即可。
【解析】
解：
∵75=25×3，125=25×5，
∴75，125的最大公因数是25。
【答案】
25
【知识点】
1. 分解质因数 2. 最大公因数的计算
【点评】
本题是最大公因数求解的基础题型，核心考查分解质因数法求最大公因数的应用，熟练掌握数的因数分解方法即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
探究2：在横线上写出下列多项式各项中共同的因式。
(1)$ac+bc$:
(2)$3x+x$:
(3)$3x+6$:
(4)$30mb+5nb$:
(5)$ab-2ab+ab$:
新知生成：我们把多项式各项都含有的
(1)$ac+bc$:
c
;(2)$3x+x$:
x
;(3)$3x+6$:
3
;(4)$30mb+5nb$:
5b
;(5)$ab-2ab+ab$:
ab
。新知生成：我们把多项式各项都含有的
相同因式
，叫作这个多项式各项的公因式。答案
(1) c (2) x (3) 3 (4) 5b (5) ab 多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式。
解析
【分析】
找多项式各项的公因式可按三步思路推导：①定系数：找各项系数的最大公约数；②定字母：找各项都含有的相同字母；③定次数：相同字母取次数最低的，最终将系数与字母部分相乘即为公因式。同时需准确记忆公因式的定义。
【解析】
我们逐个分析各多项式：
(1) $ac+bc$的两项为$ac$、$bc$：系数最大公约数为1，共有相同字母为$c$，$c$的次数为1，故公因式为$c$；
(2) $3x+x$的两项为$3x$、$x$：系数最大公约数为1，共有相同字母为$x$，$x$的次数为1，故公因式为$x$；
(3) $3x+6$的两项为$3x$、$6$：系数最大公约数为3，无共同含有的字母，故公因式为$3$；
(4) $30mb+5nb$的两项为$30mb$、$5nb$：系数30和5的最大公约数为5，共有相同字母为$b$，$b$的次数为1，故公因式为$5b$；
(5) $ab-2ab+ab$的三项为$ab$、$-2ab$、$ab$：系数最大公约数为1，共有相同字母为$a$、$b$，二者次数均为1，故公因式为$ab$。
根据公因式的定义，多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式。
【答案】
(1)$c$；(2)$x$；(3)$3$；(4)$5b$；(5)$ab$；相同因式
【知识点】
公因式的定义；公因式的确定方法
【点评】
本题为公因式相关的基础题型，主要考查公因式的确定规则和基本定义，熟练掌握“系数取最大公约数、相同字母取最低次幂”的判断方法即可快速解题，是后续学习提公因式法因式分解的重要基础。
【难度系数】
0.9
找多项式各项的公因式可按三步思路推导：①定系数：找各项系数的最大公约数；②定字母：找各项都含有的相同字母；③定次数：相同字母取次数最低的，最终将系数与字母部分相乘即为公因式。同时需准确记忆公因式的定义。
【解析】
我们逐个分析各多项式：
(1) $ac+bc$的两项为$ac$、$bc$：系数最大公约数为1，共有相同字母为$c$，$c$的次数为1，故公因式为$c$；
(2) $3x+x$的两项为$3x$、$x$：系数最大公约数为1，共有相同字母为$x$，$x$的次数为1，故公因式为$x$；
(3) $3x+6$的两项为$3x$、$6$：系数最大公约数为3，无共同含有的字母，故公因式为$3$；
(4) $30mb+5nb$的两项为$30mb$、$5nb$：系数30和5的最大公约数为5，共有相同字母为$b$，$b$的次数为1，故公因式为$5b$；
(5) $ab-2ab+ab$的三项为$ab$、$-2ab$、$ab$：系数最大公约数为1，共有相同字母为$a$、$b$，二者次数均为1，故公因式为$ab$。
根据公因式的定义，多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式。
【答案】
(1)$c$；(2)$x$；(3)$3$；(4)$5b$；(5)$ab$；相同因式
【知识点】
公因式的定义；公因式的确定方法
【点评】
本题为公因式相关的基础题型，主要考查公因式的确定规则和基本定义，熟练掌握“系数取最大公约数、相同字母取最低次幂”的判断方法即可快速解题，是后续学习提公因式法因式分解的重要基础。
【难度系数】
0.9
1. 多项式 $3x^2y^2 - 12x^2y^4 - 6x^3y^3$ 各项的公因式是 （）
A.$3x^2y^2z$
B.$x^2y^2$
C.$3x^2y^2$
D.$3x^3y^2z$
A.$3x^2y^2z$
B.$x^2y^2$
C.$3x^2y^2$
D.$3x^3y^2z$
答案
C
解析
【分析】
找多项式各项的公因式需遵循固定步骤：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找所有项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，两部分相乘就是公因式，仅部分项含有的字母不属于公因式的组成部分。本题可先通过原多项式不含字母z，直接排除带z的错误选项，再逐步验证系数和字母部分即可。
【解析】
1. 排除错误选项：原多项式各项均不含字母z，因此公因式不可能含z，直接排除A、D选项。
2. 确定系数部分：多项式各项系数为3、-12、-6，三个数的最大公约数是3，因此公因式的系数为3，可排除不含系数3的B选项。
3. 确定字母部分：多项式各项都含有的字母为x和y，x的次数依次为2、2、3，最低次幂是$x^2$；y的次数依次为2、4、3，最低次幂是$y^2$，因此字母部分为$x^2y^2$。
4. 组合得公因式为$3x^2y^2$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定，最大公约数计算，幂的概念
【点评】
本题是公因式判定的基础题，只要牢记公因式的查找规则，做到不遗漏系数、不多加不存在的字母、不取错字母的次数，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.85
找多项式各项的公因式需遵循固定步骤：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找所有项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，两部分相乘就是公因式，仅部分项含有的字母不属于公因式的组成部分。本题可先通过原多项式不含字母z，直接排除带z的错误选项，再逐步验证系数和字母部分即可。
【解析】
1. 排除错误选项：原多项式各项均不含字母z，因此公因式不可能含z，直接排除A、D选项。
2. 确定系数部分：多项式各项系数为3、-12、-6，三个数的最大公约数是3，因此公因式的系数为3，可排除不含系数3的B选项。
3. 确定字母部分：多项式各项都含有的字母为x和y，x的次数依次为2、2、3，最低次幂是$x^2$；y的次数依次为2、4、3，最低次幂是$y^2$，因此字母部分为$x^2y^2$。
4. 组合得公因式为$3x^2y^2$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定，最大公约数计算，幂的概念
【点评】
本题是公因式判定的基础题，只要牢记公因式的查找规则，做到不遗漏系数、不多加不存在的字母、不取错字母的次数，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.85
2. 单项式 $12x^{12}y^3$ 与 $8x^{10}y^6$ 的公因式是。
答案
解：
先确定系数的最大公约数：12和8的最大公约数是4，
再确定相同字母的最低次幂：x的最低次幂是$x^{10}$，y的最低次幂是$y^3$，
将上述部分相乘，得到两个单项式的公因式为$4x^{10}y^3$。
先确定系数的最大公约数：12和8的最大公约数是4，
再确定相同字母的最低次幂：x的最低次幂是$x^{10}$，y的最低次幂是$y^3$，
将上述部分相乘，得到两个单项式的公因式为$4x^{10}y^3$。
解析
【分析】
找两个单项式的公因式可按照“先定系数，再定字母”的思路求解：第一步先找两个单项式系数的最大公约数，作为公因式的系数；第二步找两个单项式共同含有的字母，每个相同字母都取次数更低的幂，作为公因式的字母部分；最后把系数和字母部分相乘，即可得到公因式。
【解析】
1. 确定系数的最大公约数：12和8的公因数有1、2、4，其中最大公约数是4；
2. 确定相同字母的最低次幂：两个单项式都含字母x和y，x的次数分别为12和10，最低次幂为$x^{10}$；y的次数分别为3和6，最低次幂为$y^3$；
3. 把系数和字母部分相乘，得到公因式为$4× x^{10}× y^3=4x^{10}y^3$。
【答案】
$4x^{10}y^3$
【知识点】
公因式的确定，最大公约数，最低次幂选取
【点评】
本题属于基础题型，主要考查单项式公因式的确定方法，按照固定步骤计算即可快速得出结果，是因式分解模块的基础内容，相关方法需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
找两个单项式的公因式可按照“先定系数，再定字母”的思路求解：第一步先找两个单项式系数的最大公约数，作为公因式的系数；第二步找两个单项式共同含有的字母，每个相同字母都取次数更低的幂，作为公因式的字母部分；最后把系数和字母部分相乘，即可得到公因式。
【解析】
1. 确定系数的最大公约数：12和8的公因数有1、2、4，其中最大公约数是4；
2. 确定相同字母的最低次幂：两个单项式都含字母x和y，x的次数分别为12和10，最低次幂为$x^{10}$；y的次数分别为3和6，最低次幂为$y^3$；
3. 把系数和字母部分相乘，得到公因式为$4× x^{10}× y^3=4x^{10}y^3$。
【答案】
$4x^{10}y^3$
【知识点】
公因式的确定，最大公约数，最低次幂选取
【点评】
本题属于基础题型，主要考查单项式公因式的确定方法，按照固定步骤计算即可快速得出结果，是因式分解模块的基础内容，相关方法需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
3. 分别写出下列多项式各项的公因式：
(1)$ax+ay$: ;
(2)$3x^3y^4+12x^2y$: ;
(3)$25a^3b^2+15a^2b-5a^3b^3$: ;
(4)$\frac{1}{4}x^3 - 2x^2 - xy$: 。
(1)$ax+ay$: ;
(2)$3x^3y^4+12x^2y$: ;
(3)$25a^3b^2+15a^2b-5a^3b^3$: ;
(4)$\frac{1}{4}x^3 - 2x^2 - xy$: 。
答案
解：
(1) $a$
(2) $3x^2y$
(3) $5a^2b$
(4) $\frac{1}{4}x$
(1) $a$
(2) $3x^2y$
(3) $5a^2b$
(4) $\frac{1}{4}x$
解析
【分析】
要确定多项式各项的公因式，需遵循固定的解题思路：第一步确定系数公因式：若各项系数为整数，取所有系数的最大公约数；若含分数，取分子的最大公约数作分子、分母的最小公倍数作分母，得到系数公因式。第二步确定字母公因式：找到多项式各项都包含的相同字母，每个相同字母的次数取所有项中的最低值。最后将系数公因式和字母公因式相乘，就是所求的公因式，我们按这个思路逐个求解即可。
【解析】
(1) 多项式$ax+ay$的两项系数均为1，最大公约数是1；两项共有的字母为$a$，$a$的次数均为1，$x、y$不是两项共有，因此公因式为$1× a=a$。
(2) 多项式$3x^3y^4+12x^2y$的两项系数为3、12，最大公约数是3；两项共有的字母为$x、y$，$x$的最低次数为2，$y$的最低次数为1，因此公因式为$3× x^2× y=3x^2y$。
(3) 多项式$25a^3b^2+15a^2b-5a^3b^3$的三项系数为25、15、-5，最大公约数是5；三项共有的字母为$a、b$，$a$的最低次数为2，$b$的最低次数为1，因此公因式为$5× a^2× b=5a^2b$。
(4) 多项式$\frac{1}{4}x^3 - 2x^2 - xy$的三项系数为$\frac{1}{4}、-2、-1$，系数的最大公约数是$\frac{1}{4}$；三项共有的字母只有$x$，$x$的最低次数为1，因此公因式为$\frac{1}{4}× x=\frac{1}{4}x$。
【答案】
(1) $a$；(2) $3x^2y$；(3) $5a^2b$；(4) $\frac{1}{4}x$
【知识点】
公因式的确定、最大公约数计算、最低次幂选取
【点评】
本题是因式分解模块的基础题型，核心考查公因式的确定方法，熟练掌握“先定系数、再定字母和次数”的求解步骤即可快速作答，掌握该知识点是后续学习提公因式法分解因式的必要前提。
【难度系数】
0.8
要确定多项式各项的公因式，需遵循固定的解题思路：第一步确定系数公因式：若各项系数为整数，取所有系数的最大公约数；若含分数，取分子的最大公约数作分子、分母的最小公倍数作分母，得到系数公因式。第二步确定字母公因式：找到多项式各项都包含的相同字母，每个相同字母的次数取所有项中的最低值。最后将系数公因式和字母公因式相乘，就是所求的公因式，我们按这个思路逐个求解即可。
【解析】
(1) 多项式$ax+ay$的两项系数均为1，最大公约数是1；两项共有的字母为$a$，$a$的次数均为1，$x、y$不是两项共有，因此公因式为$1× a=a$。
(2) 多项式$3x^3y^4+12x^2y$的两项系数为3、12，最大公约数是3；两项共有的字母为$x、y$，$x$的最低次数为2，$y$的最低次数为1，因此公因式为$3× x^2× y=3x^2y$。
(3) 多项式$25a^3b^2+15a^2b-5a^3b^3$的三项系数为25、15、-5，最大公约数是5；三项共有的字母为$a、b$，$a$的最低次数为2，$b$的最低次数为1，因此公因式为$5× a^2× b=5a^2b$。
(4) 多项式$\frac{1}{4}x^3 - 2x^2 - xy$的三项系数为$\frac{1}{4}、-2、-1$，系数的最大公约数是$\frac{1}{4}$；三项共有的字母只有$x$，$x$的最低次数为1，因此公因式为$\frac{1}{4}× x=\frac{1}{4}x$。
【答案】
(1) $a$；(2) $3x^2y$；(3) $5a^2b$；(4) $\frac{1}{4}x$
【知识点】
公因式的确定、最大公约数计算、最低次幂选取
【点评】
本题是因式分解模块的基础题型，核心考查公因式的确定方法，熟练掌握“先定系数、再定字母和次数”的求解步骤即可快速作答，掌握该知识点是后续学习提公因式法分解因式的必要前提。
【难度系数】
0.8
任务二 掌握提公因式法
探究1：如果一个多项式的各项含有，那么就可以把这个提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种因式分解的方法叫作法。
探究1：如果一个多项式的各项含有，那么就可以把这个提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种因式分解的方法叫作法。
答案
解：
公因式
公因式
提公因式
公因式
公因式
提公因式
解析
【分析】
本题考查提公因式法的基本定义，解题时回忆提公因式法的概念即可作答：首先明确，提公因式法的应用前提是多项式各项含有共同的因式（即公因式），若存在公因式，就可以将这个公因式提取出来，把多项式转化为两个因式相乘的形式，这种因式分解的方法就叫做提公因式法，对应三个空依次填入对应概念即可。
【解析】
根据提公因式法的定义：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫作提公因式法。因此三个空依次填写公因式、公因式、提公因式。
【答案】
公因式；公因式；提公因式
【知识点】
提公因式法的定义
【点评】
本题是对因式分解中提公因式法基础概念的直接考查，属于识记类基础题，熟练掌握相关概念是解答这类题的关键。
【难度系数】
0.9
本题考查提公因式法的基本定义，解题时回忆提公因式法的概念即可作答：首先明确，提公因式法的应用前提是多项式各项含有共同的因式（即公因式），若存在公因式，就可以将这个公因式提取出来，把多项式转化为两个因式相乘的形式，这种因式分解的方法就叫做提公因式法，对应三个空依次填入对应概念即可。
【解析】
根据提公因式法的定义：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫作提公因式法。因此三个空依次填写公因式、公因式、提公因式。
【答案】
公因式；公因式；提公因式
【知识点】
提公因式法的定义
【点评】
本题是对因式分解中提公因式法基础概念的直接考查，属于识记类基础题，熟练掌握相关概念是解答这类题的关键。
【难度系数】
0.9
探究2：用提公因式法因式分解。
(1)$3mx - 6my$；
(2)$x^2y + xy^2$；
(3)$12a^2b^3 - 8a^3b^2 - 16ab^4$；
(4)$3x^2 - 6xy + x$。
(1)$3mx - 6my$；
(2)$x^2y + xy^2$；
(3)$12a^2b^3 - 8a^3b^2 - 16ab^4$；
(4)$3x^2 - 6xy + x$。
答案
解：
(1) 原式$=3m· x - 3m· 2y = 3m(x - 2y)$
(2) 原式$=xy· x + xy· y = xy(x + y)$
(3) 原式$=4ab^2· 3ab - 4ab^2· 2a^2 - 4ab^2· 4b^2 = 4ab^2(3ab - 2a^2 - 4b^2)$
(4) 原式$=x· 3x - x· 6y + x· 1 = x(3x - 6y + 1)$
(1) 原式$=3m· x - 3m· 2y = 3m(x - 2y)$
(2) 原式$=xy· x + xy· y = xy(x + y)$
(3) 原式$=4ab^2· 3ab - 4ab^2· 2a^2 - 4ab^2· 4b^2 = 4ab^2(3ab - 2a^2 - 4b^2)$
(4) 原式$=x· 3x - x· 6y + x· 1 = x(3x - 6y + 1)$
解析
【分析】
用提公因式法分解因式需按两步思考：第一步先确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，两者的乘积就是公因式；第二步提取公因式：将原多项式的每一项都除以公因式，把得到的商相加后作为另一个因式，与公因式写成乘积形式即可，注意提取公因式后剩余的项数要和原多项式项数一致，不要漏写单独提取公因式后剩下的常数1。
【解析】
(1) 先确定公因式为$3m$，原式$=3m· x - 3m· 2y = 3m(x - 2y)$
(2) 先确定公因式为$xy$，原式$=xy· x + xy· y = xy(x + y)$
(3) 先确定公因式为$4ab^2$，原式$=4ab^2· 3ab - 4ab^2· 2a^2 - 4ab^2· 4b^2 = 4ab^2(3ab - 2a^2 - 4b^2)$
(4) 先确定公因式为$x$，原式$=x· 3x - x· 6y + x· 1 = x(3x - 6y + 1)$
【答案】
(1)$3m(x-2y)$；(2)$xy(x+y)$；(3)$4ab^2(3ab-2a^2-4b^2)$；(4)$x(3x-6y+1)$
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定；因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查公因式为单项式的提公因式法的应用，解题核心是准确找出公因式，需注意提取公因式后剩余的项不能漏项，当某一项恰好是公因式本身时，提取后剩余的项要保留1。
【难度系数】
0.8
用提公因式法分解因式需按两步思考：第一步先确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，两者的乘积就是公因式；第二步提取公因式：将原多项式的每一项都除以公因式，把得到的商相加后作为另一个因式，与公因式写成乘积形式即可，注意提取公因式后剩余的项数要和原多项式项数一致，不要漏写单独提取公因式后剩下的常数1。
【解析】
(1) 先确定公因式为$3m$，原式$=3m· x - 3m· 2y = 3m(x - 2y)$
(2) 先确定公因式为$xy$，原式$=xy· x + xy· y = xy(x + y)$
(3) 先确定公因式为$4ab^2$，原式$=4ab^2· 3ab - 4ab^2· 2a^2 - 4ab^2· 4b^2 = 4ab^2(3ab - 2a^2 - 4b^2)$
(4) 先确定公因式为$x$，原式$=x· 3x - x· 6y + x· 1 = x(3x - 6y + 1)$
【答案】
(1)$3m(x-2y)$；(2)$xy(x+y)$；(3)$4ab^2(3ab-2a^2-4b^2)$；(4)$x(3x-6y+1)$
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定；因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查公因式为单项式的提公因式法的应用，解题核心是准确找出公因式，需注意提取公因式后剩余的项不能漏项，当某一项恰好是公因式本身时，提取后剩余的项要保留1。
【难度系数】
0.8
