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11.[转化思想]如图,点A为∠α边上的任意一点,作AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D.下列用线段比表示$\cosα$的值,错误的是（
A.$\frac{BD}{BC}$
B.$\frac{BC}{AB}$
C.$\frac{AD}{DC}$
D.$\frac{CD}{AC}$
C
）A.$\frac{BD}{BC}$
B.$\frac{BC}{AB}$
C.$\frac{AD}{DC}$
D.$\frac{CD}{AC}$
答案
11.C
解析
【分析】
要判断哪个选项表示$\cosα$的值是错误的，可按以下思路思考：
1. 明确余弦定义：在直角三角形中，锐角的余弦值等于该角的邻边长度与斜边长度的比值；
2. 结合垂直关系找等角：由$AC⊥ BC$，$CD⊥ AB$，根据同角的余角相等可得$∠α=∠ ACD$；
3. 分别在包含$∠α$、$∠ ACD$的直角三角形中，根据余弦定义写出$\cosα$的表达式，逐一比对选项即可找到错误项。
【解析】
解：已知$AC⊥ BC$，$CD⊥ AB$，因此$△ ABC$、$△ BCD$、$△ ACD$均为直角三角形，且$∠α=∠ ACD$（同角的余角相等）。
选项A：在$Rt△ BCD$中，$∠α$的邻边为$BD$，斜边为$BC$，故$\cosα=\frac{BD}{BC}$，A正确，不符合题意；
选项B：在$Rt△ ABC$中，$∠α$的邻边为$BC$，斜边为$AB$，故$\cosα=\frac{BC}{AB}$，B正确，不符合题意；
选项C：在$Rt△ ACD$中，$∠ ACD=∠α$，$AD$是$∠ ACD$的对边，$DC$是$∠ ACD$的邻边，故$\frac{AD}{DC}=\tan∠ ACD=\tanα$，不是$\cosα$，C错误，符合题意；
选项D：在$Rt△ ACD$中，$∠ ACD=∠α$，邻边为$CD$，斜边为$AC$，故$\cosα=\cos∠ ACD=\frac{CD}{AC}$，D正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
锐角余弦的定义，同角的余角相等，等角的三角函数值相等
【点评】
本题考查锐角三角函数的应用，解题关键是熟练掌握余弦的定义，利用角度相等转化对应三角函数值，注意区分直角三角形中锐角的对边、邻边和斜边，避免混淆三角函数的对应比值。
【难度系数】
0.7
要判断哪个选项表示$\cosα$的值是错误的，可按以下思路思考：
1. 明确余弦定义：在直角三角形中，锐角的余弦值等于该角的邻边长度与斜边长度的比值；
2. 结合垂直关系找等角：由$AC⊥ BC$，$CD⊥ AB$，根据同角的余角相等可得$∠α=∠ ACD$；
3. 分别在包含$∠α$、$∠ ACD$的直角三角形中，根据余弦定义写出$\cosα$的表达式，逐一比对选项即可找到错误项。
【解析】
解：已知$AC⊥ BC$，$CD⊥ AB$，因此$△ ABC$、$△ BCD$、$△ ACD$均为直角三角形，且$∠α=∠ ACD$（同角的余角相等）。
选项A：在$Rt△ BCD$中，$∠α$的邻边为$BD$，斜边为$BC$，故$\cosα=\frac{BD}{BC}$，A正确，不符合题意；
选项B：在$Rt△ ABC$中，$∠α$的邻边为$BC$，斜边为$AB$，故$\cosα=\frac{BC}{AB}$，B正确，不符合题意；
选项C：在$Rt△ ACD$中，$∠ ACD=∠α$，$AD$是$∠ ACD$的对边，$DC$是$∠ ACD$的邻边，故$\frac{AD}{DC}=\tan∠ ACD=\tanα$，不是$\cosα$，C错误，符合题意；
选项D：在$Rt△ ACD$中，$∠ ACD=∠α$，邻边为$CD$，斜边为$AC$，故$\cosα=\cos∠ ACD=\frac{CD}{AC}$，D正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
锐角余弦的定义，同角的余角相等，等角的三角函数值相等
【点评】
本题考查锐角三角函数的应用，解题关键是熟练掌握余弦的定义，利用角度相等转化对应三角函数值，注意区分直角三角形中锐角的对边、邻边和斜边，避免混淆三角函数的对应比值。
【难度系数】
0.7
12. 如图,在$5×5$的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,$△ ABC$的顶点都在格点(网格线的交点)上,则$\cos∠ ACB=$（
A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
D
）A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
答案
12.D
解析
【分析】要求$\cos∠ACB$，我们可以结合网格特征求解：首先利用勾股定理算出$△ ABC$各边的长度，再通过作高构造以$∠ ACB$为内角的直角三角形，最后根据锐角余弦的定义（邻边与斜边的比值）计算即可。
【解析】设每个小正方形的边长为1。
1. 计算各边长度：
$AC$：横向跨度为1，纵向跨度为3，由勾股定理得$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$；
$BC$：横向跨度为$5-1=4$，纵向跨度为3，由勾股定理得$BC=\sqrt{4^2+3^2}=5$；
$AB$在水平线上，长度为5。
2. 构造直角三角形求余弦：
先求$△ ABC$的面积：以$AB$为底，点$C$到$AB$的竖直距离为高，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × 3=\frac{1}{2}×5×3=\frac{15}{2}$。
过点$A$作$AH⊥ BC$，垂足为$H$，则$△ ACH$为直角三角形，$∠ AHC=90°$。
三角形面积也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC × AH$，代入面积和$BC=5$：
$\frac{1}{2}×5× AH=\frac{15}{2}$，解得$AH=3$。
在$Rt△ ACH$中，由勾股定理得$CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{(\sqrt{10})^2-3^2}=\sqrt{10-9}=1$。
根据余弦的定义，$\cos∠ ACB=\frac{邻边}{斜边}=\frac{CH}{AC}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。
【答案】D
【知识点】勾股定理，余弦的定义，网格图形计算
【点评】本题是网格中三角函数计算的常见题型，解题的核心是掌握格点线段长度的计算方法，以及通过作高将非直角三角形中的锐角转化为直角三角形内角来求解三角函数值。
【难度系数】0.7
【解析】设每个小正方形的边长为1。
1. 计算各边长度：
$AC$：横向跨度为1，纵向跨度为3，由勾股定理得$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$；
$BC$：横向跨度为$5-1=4$，纵向跨度为3，由勾股定理得$BC=\sqrt{4^2+3^2}=5$；
$AB$在水平线上，长度为5。
2. 构造直角三角形求余弦：
先求$△ ABC$的面积：以$AB$为底，点$C$到$AB$的竖直距离为高，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × 3=\frac{1}{2}×5×3=\frac{15}{2}$。
过点$A$作$AH⊥ BC$，垂足为$H$，则$△ ACH$为直角三角形，$∠ AHC=90°$。
三角形面积也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC × AH$，代入面积和$BC=5$：
$\frac{1}{2}×5× AH=\frac{15}{2}$，解得$AH=3$。
在$Rt△ ACH$中，由勾股定理得$CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{(\sqrt{10})^2-3^2}=\sqrt{10-9}=1$。
根据余弦的定义，$\cos∠ ACB=\frac{邻边}{斜边}=\frac{CH}{AC}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。
【答案】D
【知识点】勾股定理，余弦的定义，网格图形计算
【点评】本题是网格中三角函数计算的常见题型，解题的核心是掌握格点线段长度的计算方法，以及通过作高将非直角三角形中的锐角转化为直角三角形内角来求解三角函数值。
【难度系数】0.7
13. 如图，在$△ ABC$中，点$D$在边$BC$上，$AD ⊥ AC$，$∠ BAD = ∠ C$，$BD = 2$，$CD = 6$，那么$\tan C =$
$\frac{1}{2}$
。答案
13.$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，发现有一组公共角∠B和一组相等角∠BAD=∠C，可先利用“两角分别相等的两个三角形相似”证明△BAD∽△BCA；再根据相似三角形对应边成比例求出AB的长度；最后结合AD⊥AC的垂直条件，可知tanC是Rt△ADC中∠C的对边与邻边的比，即AD/AC，利用相似三角形的对应边比例即可求出该比值，得到tanC的值。
【解析】
解：
1. 证明三角形相似：
在△BAD和△BCA中，
$\{\begin{array}{l}∠B=∠B\quad (\mathrm{公共角})\\∠BAD=∠C\quad (\mathrm{已知})\end{array} $
∴$△ BAD ∽ △ BCA$（两角分别相等的两个三角形相似）
2. 利用相似性质求AB的长度：
由相似三角形对应边成比例，得：$\frac{BA}{BC}=\frac{BD}{BA}=\frac{AD}{AC}$
已知$BD=2$，$CD=6$，
∴$BC=BD+CD=2+6=8$
代入比例式得：$BA^2=BC · BD=8 × 2=16$
∵边长为正，
∴$BA=4$
3. 求$\tan C$的值：
∵$AD ⊥ AC$，
∴$∠ DAC=90°$，$△ ADC$是直角三角形
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\tan C=\frac{\mathrm{∠C的对边}}{\mathrm{∠C的邻边}}=\frac{AD}{AC}$
由相似三角形的比例关系，$\frac{AD}{AC}=\frac{BA}{BC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$
∴$\tan C=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【点评】
本题将相似三角形和锐角三角函数结合考查，解题的突破口是通过两组角相等证明三角形相似，借助相似的比例关系得到直角三角形中对应边的比值，属于基础综合题，解题时要注意相似三角形对应边的对应关系不要找错。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察已知条件，发现有一组公共角∠B和一组相等角∠BAD=∠C，可先利用“两角分别相等的两个三角形相似”证明△BAD∽△BCA；再根据相似三角形对应边成比例求出AB的长度；最后结合AD⊥AC的垂直条件，可知tanC是Rt△ADC中∠C的对边与邻边的比，即AD/AC，利用相似三角形的对应边比例即可求出该比值，得到tanC的值。
【解析】
解：
1. 证明三角形相似：
在△BAD和△BCA中，
$\{\begin{array}{l}∠B=∠B\quad (\mathrm{公共角})\\∠BAD=∠C\quad (\mathrm{已知})\end{array} $
∴$△ BAD ∽ △ BCA$（两角分别相等的两个三角形相似）
2. 利用相似性质求AB的长度：
由相似三角形对应边成比例，得：$\frac{BA}{BC}=\frac{BD}{BA}=\frac{AD}{AC}$
已知$BD=2$，$CD=6$，
∴$BC=BD+CD=2+6=8$
代入比例式得：$BA^2=BC · BD=8 × 2=16$
∵边长为正，
∴$BA=4$
3. 求$\tan C$的值：
∵$AD ⊥ AC$，
∴$∠ DAC=90°$，$△ ADC$是直角三角形
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\tan C=\frac{\mathrm{∠C的对边}}{\mathrm{∠C的邻边}}=\frac{AD}{AC}$
由相似三角形的比例关系，$\frac{AD}{AC}=\frac{BA}{BC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$
∴$\tan C=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【点评】
本题将相似三角形和锐角三角函数结合考查，解题的突破口是通过两组角相等证明三角形相似，借助相似的比例关系得到直角三角形中对应边的比值，属于基础综合题，解题时要注意相似三角形对应边的对应关系不要找错。
【难度系数】
0.6
14. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$AB=5$，$BC=4$，求 $\cos A.$
答案
14.$\frac{3}{5}$或$\frac{5\sqrt{41}}{41}$
解析
【分析】
题目给出的是未明确直角顶点的直角三角形，因此解题首先要分类讨论直角的位置，首先排除不可能的情况：若∠A为直角，则斜边BC需为最长边，但BC=4＜AB=5，矛盾，因此仅需讨论∠C为直角、∠B为直角两种情况；再分别用勾股定理求出对应未知边的长度，最后根据余弦的定义（锐角的余弦=邻边/斜边）计算cosA的值即可。
【解析】
解：
∵Rt△ABC未指明直角顶点，需分类讨论：
1. 当∠C=90°时，斜边为AB=5
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$
根据余弦定义：$\cos A=\frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$
2. 当∠B=90°时，斜边为AC
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}$
此时∠A的邻边为AB=5，因此$\cos A=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{\sqrt{41}}=\frac{5\sqrt{41}}{41}$
综上，$\cos A$的值为$\frac{3}{5}$或$\frac{5\sqrt{41}}{41}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$或$\frac{5\sqrt{41}}{41}$
【知识点】
勾股定理、余弦的定义、分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略直角顶点未明确的条件，直接默认∠C为直角导致漏解，解题时遇到未明确直角的直角三角形问题，要先分析所有可能的直角位置，排除矛盾情况后再逐一计算。
【难度系数】
0.6
题目给出的是未明确直角顶点的直角三角形，因此解题首先要分类讨论直角的位置，首先排除不可能的情况：若∠A为直角，则斜边BC需为最长边，但BC=4＜AB=5，矛盾，因此仅需讨论∠C为直角、∠B为直角两种情况；再分别用勾股定理求出对应未知边的长度，最后根据余弦的定义（锐角的余弦=邻边/斜边）计算cosA的值即可。
【解析】
解：
∵Rt△ABC未指明直角顶点，需分类讨论：
1. 当∠C=90°时，斜边为AB=5
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$
根据余弦定义：$\cos A=\frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$
2. 当∠B=90°时，斜边为AC
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}$
此时∠A的邻边为AB=5，因此$\cos A=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{\sqrt{41}}=\frac{5\sqrt{41}}{41}$
综上，$\cos A$的值为$\frac{3}{5}$或$\frac{5\sqrt{41}}{41}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$或$\frac{5\sqrt{41}}{41}$
【知识点】
勾股定理、余弦的定义、分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略直角顶点未明确的条件，直接默认∠C为直角导致漏解，解题时遇到未明确直角的直角三角形问题，要先分析所有可能的直角位置，排除矛盾情况后再逐一计算。
【难度系数】
0.6
15.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,sin A=$\frac{5}{13}$,点D在AB边上,且∠BDC=45°,BC=5.
(1)求AD的长;
(2)[一题多解题]求∠ACD的正弦值.
(1)求AD的长;
(2)[一题多解题]求∠ACD的正弦值.
答案
15.(1)7 (2)$\frac{7\sqrt{2}}{26}$
解析
【分析】
(1) 先在Rt△ABC中，根据正弦的定义$\sin A=\frac{BC}{AC}$，结合已知的$\sin A$和BC的长度求出AC的长，再用勾股定理计算AB的长度；再观察Rt△BCD，由$∠ BDC=45°$、$∠ B=90°$可得△BCD是等腰直角三角形，推出$BD=BC$，最后用$AB-BD$即可得到AD的长度。
(2) 求$∠ ACD$的正弦值，可过点A作$AE⊥ CD$交CD的延长线于E，先利用对顶角相等得$∠ ADE=∠ BDC=45°$，判定△AED为等腰直角三角形，求出AE的长度，再根据正弦的定义$\sin∠ ACD=\frac{AE}{AC}$代入计算即可。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，
$\because \sin A=\frac{BC}{AC}=\frac{5}{13}$，$BC=5$，
$\therefore AC=\frac{BC}{\sin A}=\frac{5}{\frac{5}{13}}=13$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$，
在$Rt△ BCD$中，$∠ B=90°$，$∠ BDC=45°$，
$\therefore △ BCD$是等腰直角三角形，
$\therefore BD=BC=5$，
$\therefore AD=AB-BD=12-5=7$。
(2) 过点A作$AE⊥ CD$，交CD的延长线于点E，
$\because ∠ ADE=∠ BDC=45°$，$∠ E=90°$，
$\therefore △ AED$是等腰直角三角形，
$\therefore AE=AD·\sin45°=7×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
在$Rt△ AEC$中，$∠ E=90°$，$AC=13$，
$\therefore \sin∠ ACD=\frac{AE}{AC}=\frac{\frac{7\sqrt{2}}{2}}{13}=\frac{7\sqrt{2}}{26}$。
【答案】
(1)$7$；(2)$\frac{7\sqrt{2}}{26}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是熟练掌握直角三角形的相关性质和三角函数的定义，必要时通过作辅助线构造直角三角形求解未知角的三角函数值。
【难度系数】
0.6
(1) 先在Rt△ABC中，根据正弦的定义$\sin A=\frac{BC}{AC}$，结合已知的$\sin A$和BC的长度求出AC的长，再用勾股定理计算AB的长度；再观察Rt△BCD，由$∠ BDC=45°$、$∠ B=90°$可得△BCD是等腰直角三角形，推出$BD=BC$，最后用$AB-BD$即可得到AD的长度。
(2) 求$∠ ACD$的正弦值，可过点A作$AE⊥ CD$交CD的延长线于E，先利用对顶角相等得$∠ ADE=∠ BDC=45°$，判定△AED为等腰直角三角形，求出AE的长度，再根据正弦的定义$\sin∠ ACD=\frac{AE}{AC}$代入计算即可。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，
$\because \sin A=\frac{BC}{AC}=\frac{5}{13}$，$BC=5$，
$\therefore AC=\frac{BC}{\sin A}=\frac{5}{\frac{5}{13}}=13$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$，
在$Rt△ BCD$中，$∠ B=90°$，$∠ BDC=45°$，
$\therefore △ BCD$是等腰直角三角形，
$\therefore BD=BC=5$，
$\therefore AD=AB-BD=12-5=7$。
(2) 过点A作$AE⊥ CD$，交CD的延长线于点E，
$\because ∠ ADE=∠ BDC=45°$，$∠ E=90°$，
$\therefore △ AED$是等腰直角三角形，
$\therefore AE=AD·\sin45°=7×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
在$Rt△ AEC$中，$∠ E=90°$，$AC=13$，
$\therefore \sin∠ ACD=\frac{AE}{AC}=\frac{\frac{7\sqrt{2}}{2}}{13}=\frac{7\sqrt{2}}{26}$。
【答案】
(1)$7$；(2)$\frac{7\sqrt{2}}{26}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是熟练掌握直角三角形的相关性质和三角函数的定义，必要时通过作辅助线构造直角三角形求解未知角的三角函数值。
【难度系数】
0.6
16.类似在直角三角形中研究三角函数,我们新定义:等腰三角形中腰与底边的比叫作底角的邻对(can).如图1,在△ABC中,AB=AC,底角B的邻对记作can B,这时$can\ B=\frac{腰}{底边}=\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{BC}$.容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的.
根据上述底角的邻对的定义,解答下列问题:
(1)计算: $can\ 30°=$
(2)如图2,已知在△ABC中,AB=AC, $can\ B=\frac{13}{24}$.若△ABC的周长为50,求△ABC的面积.
根据上述底角的邻对的定义,解答下列问题:
(1)计算: $can\ 30°=$
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
, $can\ 45°=$$\frac{\sqrt{2}}{2}$
, $can\ 60°=$$1$
.(2)如图2,已知在△ABC中,AB=AC, $can\ B=\frac{13}{24}$.若△ABC的周长为50,求△ABC的面积.
答案
16.(1)$\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $1$
(2)过点$A$作$AD⊥BC$于点$D$.
$\because can\ B=\frac{13}{24},\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{AC}{BC}=\frac{13}{24}.$
$\because △ABC$是等腰三角形,$\therefore BC=2BD,\therefore \frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}=\frac{13}{12}.$
$\because △ABC$的周长为$50,\therefore AB+BD=AC+CD=25,$
$\therefore BD=12,AB=AC=13,BC=24.$
在$\mathrm{Rt}△ABD$中,$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=5,$
$\therefore S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}×24×5=60.$
(2)过点$A$作$AD⊥BC$于点$D$.
$\because can\ B=\frac{13}{24},\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{AC}{BC}=\frac{13}{24}.$
$\because △ABC$是等腰三角形,$\therefore BC=2BD,\therefore \frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}=\frac{13}{12}.$
$\because △ABC$的周长为$50,\therefore AB+BD=AC+CD=25,$
$\therefore BD=12,AB=AC=13,BC=24.$
在$\mathrm{Rt}△ABD$中,$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=5,$
$\therefore S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}×24×5=60.$
解析
【分析】
（1）首先明确新定义：等腰三角形底角的邻对can B为腰长与底边长的比值。要计算指定角度的邻对值，只需构造对应底角的等腰三角形，作底边上的高，结合等腰三角形三线合一与三角函数表示出腰长、底边长的关系，再求比值即可。
（2）解题思路：先根据can B的定义得到腰长与底边长的比例关系，再结合等腰三角形三线合一的性质，将周长条件转化为腰长与底边一半的和，进而求出各边长度，最后通过勾股定理求出底边上的高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 分别计算三个角度的邻对：
① 当底角∠B=30°时，过A作AD⊥BC于D，设腰AB=AC=a，在Rt△ABD中，$BD=AB·\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，则底边$BC=2BD=\sqrt{3}a$，故$can\ 30°=\frac{AB}{BC}=\frac{a}{\sqrt{3}a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
② 当底角∠B=45°时，同理设腰AB=a，$BD=AB·\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，$BC=2BD=\sqrt{2}a$，故$can\ 45°=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
③ 当底角∠B=60°时，等腰△ABC为等边三角形，AB=BC，故$can\ 60°=\frac{AB}{BC}=1$。
(2) 过点$A$作$AD⊥BC$于点$D$，
∵ $can\ B=\frac{13}{24}$，根据定义得$\frac{AB}{BC}=\frac{13}{24}$，
∵ △ABC是等腰三角形，AB=AC，AD⊥BC，
∴ $BC=2BD$，
∴ $\frac{AB}{2BD}=\frac{13}{24}$，化简得$\frac{AB}{BD}=\frac{13}{12}$，
∵ △ABC的周长为50，
∴ $AB+AC+BC=2AB+2BD=50$，即$AB+BD=25$，
设$AB=13k$，$BD=12k$，则$13k+12k=25$，解得$k=1$，
∴ $AB=AC=13$，$BD=12$，$BC=2BD=24$，
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，由勾股定理得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$，
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}×24×5=60$。
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{3}}{3}$；$\frac{\sqrt{2}}{2}$；$1$
(2) $60$
【知识点】
新定义运算；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题以新定义为背景，考查等腰三角形性质和勾股定理的综合应用，解题的关键是准确理解“邻对”的定义，将新定义问题转化为常规的等腰三角形边长、面积计算问题，能有效考查知识迁移和应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）首先明确新定义：等腰三角形底角的邻对can B为腰长与底边长的比值。要计算指定角度的邻对值，只需构造对应底角的等腰三角形，作底边上的高，结合等腰三角形三线合一与三角函数表示出腰长、底边长的关系，再求比值即可。
（2）解题思路：先根据can B的定义得到腰长与底边长的比例关系，再结合等腰三角形三线合一的性质，将周长条件转化为腰长与底边一半的和，进而求出各边长度，最后通过勾股定理求出底边上的高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 分别计算三个角度的邻对：
① 当底角∠B=30°时，过A作AD⊥BC于D，设腰AB=AC=a，在Rt△ABD中，$BD=AB·\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，则底边$BC=2BD=\sqrt{3}a$，故$can\ 30°=\frac{AB}{BC}=\frac{a}{\sqrt{3}a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
② 当底角∠B=45°时，同理设腰AB=a，$BD=AB·\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，$BC=2BD=\sqrt{2}a$，故$can\ 45°=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
③ 当底角∠B=60°时，等腰△ABC为等边三角形，AB=BC，故$can\ 60°=\frac{AB}{BC}=1$。
(2) 过点$A$作$AD⊥BC$于点$D$，
∵ $can\ B=\frac{13}{24}$，根据定义得$\frac{AB}{BC}=\frac{13}{24}$，
∵ △ABC是等腰三角形，AB=AC，AD⊥BC，
∴ $BC=2BD$，
∴ $\frac{AB}{2BD}=\frac{13}{24}$，化简得$\frac{AB}{BD}=\frac{13}{12}$，
∵ △ABC的周长为50，
∴ $AB+AC+BC=2AB+2BD=50$，即$AB+BD=25$，
设$AB=13k$，$BD=12k$，则$13k+12k=25$，解得$k=1$，
∴ $AB=AC=13$，$BD=12$，$BC=2BD=24$，
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，由勾股定理得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$，
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}×24×5=60$。
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{3}}{3}$；$\frac{\sqrt{2}}{2}$；$1$
(2) $60$
【知识点】
新定义运算；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题以新定义为背景，考查等腰三角形性质和勾股定理的综合应用，解题的关键是准确理解“邻对”的定义，将新定义问题转化为常规的等腰三角形边长、面积计算问题，能有效考查知识迁移和应用能力。
【难度系数】
0.7
