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概念建构
1.一般地,如果方程中只含有一个未知数,且含有未知数的式子都是整式,未知数的最高次数是
2.一元二次方程的一般形式是
3.使一元二次方程左右两边
1.一般地,如果方程中只含有一个未知数,且含有未知数的式子都是整式,未知数的最高次数是
2
,这样的方程叫作一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是
$ax^2 +bx +c=0(a≠0)$
,其中$ax^2$是二次项,$a$是二次项系数;$bx$是一次项,$b$是一次项系数;$c$是常数项.3.使一元二次方程左右两边
相等
的未知数的值,就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.答案
1.2 2.$ax^2 +bx +c=0(a≠0)$ 3.相等
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的相关基础概念，解题时直接对应概念要点逐一作答即可：①回忆一元二次方程的定义，“二次”即对应未知数的最高次数要求；②书写一元二次方程一般形式时，注意必须标注二次项系数不为0，否则方程会退化为一元一次方程或常数方程，不再是一元二次方程；③结合方程解的通用定义，即可得到第三空的答案。
【解析】
1. 根据一元二次方程的定义，在只含一个未知数、含未知数的式子都是整式的前提下，未知数的最高次数为2才符合“二次”的要求，故此处填2。
2. 一元二次方程整理为标准降幂排列的整式形式为$ax^2+bx+c=0$，为保证二次项存在，必须要求二次项系数$a≠0$，因此一般形式是$ax^2 +bx +c=0(a≠0)$。
3. 所有方程的解的定义都是使方程左右两边相等的未知数的值，一元二次方程的解也叫作根，故此处填相等。
【答案】
1.2 2.$ax^2 +bx +c=0(a≠0)$ 3.相等
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的一般形式；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是对一元二次方程基础概念的直接考查，属于基础类题目，熟练掌握核心概念即可快速答题，这些概念是后续学习一元二次方程解法、实际应用的必备基础。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程的相关基础概念，解题时直接对应概念要点逐一作答即可：①回忆一元二次方程的定义，“二次”即对应未知数的最高次数要求；②书写一元二次方程一般形式时，注意必须标注二次项系数不为0，否则方程会退化为一元一次方程或常数方程，不再是一元二次方程；③结合方程解的通用定义，即可得到第三空的答案。
【解析】
1. 根据一元二次方程的定义，在只含一个未知数、含未知数的式子都是整式的前提下，未知数的最高次数为2才符合“二次”的要求，故此处填2。
2. 一元二次方程整理为标准降幂排列的整式形式为$ax^2+bx+c=0$，为保证二次项存在，必须要求二次项系数$a≠0$，因此一般形式是$ax^2 +bx +c=0(a≠0)$。
3. 所有方程的解的定义都是使方程左右两边相等的未知数的值，一元二次方程的解也叫作根，故此处填相等。
【答案】
1.2 2.$ax^2 +bx +c=0(a≠0)$ 3.相等
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的一般形式；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是对一元二次方程基础概念的直接考查，属于基础类题目，熟练掌握核心概念即可快速答题，这些概念是后续学习一元二次方程解法、实际应用的必备基础。
【难度系数】
0.9
1. [2026 安庆期中] 下列方程中，一定是一元二次方程的是（
A.$x^2 +1=0$
B.$\frac{1}{x^2} + 2x =5$
C.$y=x^2$
D.$ax^2 +2x +1=0$
A
）A.$x^2 +1=0$
B.$\frac{1}{x^2} + 2x =5$
C.$y=x^2$
D.$ax^2 +2x +1=0$
答案
1.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确一元二次方程的四个判定标准：一是必须为整式方程（分母不含未知数）；二是只含有1个未知数；三是未知数的最高次数是2；四是二次项的系数不能为0。接下来逐一对照这四个标准分析每个选项，排除不符合的即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程需同时满足以下条件：①是整式方程；②仅含一个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不为0。
对各选项逐一判断：
选项A：$x^2 +1=0$，是整式方程，仅含未知数x，x的最高次数为2，二次项系数为1≠0，满足所有条件，属于一元二次方程；
选项B：$\frac{1}{x^2} + 2x =5$，分母含未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
选项C：$y=x^2$，含有x、y两个未知数，属于二元方程，不符合要求；
选项D：$ax^2 +2x +1=0$，未明确说明$a≠0$，若$a=0$，方程变为$2x+1=0$，是一元一次方程，因此不一定是一元二次方程。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程定义 2.整式方程判定
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查对一元二次方程判定条件的掌握，需要特别注意含参数的二次项系数必须不为0，同时要能区分整式方程和分式方程，避免因忽略限制条件错选。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确一元二次方程的四个判定标准：一是必须为整式方程（分母不含未知数）；二是只含有1个未知数；三是未知数的最高次数是2；四是二次项的系数不能为0。接下来逐一对照这四个标准分析每个选项，排除不符合的即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程需同时满足以下条件：①是整式方程；②仅含一个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不为0。
对各选项逐一判断：
选项A：$x^2 +1=0$，是整式方程，仅含未知数x，x的最高次数为2，二次项系数为1≠0，满足所有条件，属于一元二次方程；
选项B：$\frac{1}{x^2} + 2x =5$，分母含未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
选项C：$y=x^2$，含有x、y两个未知数，属于二元方程，不符合要求；
选项D：$ax^2 +2x +1=0$，未明确说明$a≠0$，若$a=0$，方程变为$2x+1=0$，是一元一次方程，因此不一定是一元二次方程。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程定义 2.整式方程判定
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查对一元二次方程判定条件的掌握，需要特别注意含参数的二次项系数必须不为0，同时要能区分整式方程和分式方程，避免因忽略限制条件错选。
【难度系数】
0.8
2.关于$x$的方程$(a-1)x^2 + x - 2 = 0$是一元二次方程，则$a$满足
【变式·分类讨论思想】若关于$x$的方程$(m+1)x^{|m-1|} + 2x - 1 = 0$是一元二次方程，则$m=$
$a≠1$
。【变式·分类讨论思想】若关于$x$的方程$(m+1)x^{|m-1|} + 2x - 1 = 0$是一元二次方程，则$m=$
3
。答案
2.$a≠1$ 【变式·分类讨论思想】3
解析
【分析】
要解决这类一元二次方程的参数求解问题，首先要明确一元二次方程的两个核心判定条件：一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不为0。
对于原题，只需找到二次项系数，令其不等于0即可得到a的取值范围；对于变式题，需要先根据“未知数最高次数为2”列方程求出m的可能值，再根据“二次项系数不为0”的要求排除不符合条件的解，就能得到最终结果。
【解析】
原题解答
根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，本题中二次项系数为$a-1$，因此：
$a-1≠0$
解得：$a≠1$
变式解答
方程是一元二次方程，需同时满足两个条件：
1. 未知数最高次数为2：$\vert m-1\vert=2$
解绝对值方程可得：$m-1=2$或$m-1=-2$，即$m=3$或$m=-1$
2. 二次项系数不为0：$m+1≠0$，即$m≠-1$
综合两个条件，舍去$m=-1$，得$m=3$
【答案】
$a≠1$；$3$
【知识点】
一元二次方程的定义；绝对值方程求解；分类讨论思想
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础应用题，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，解题时要牢记一元二次方程定义的两个核心要求，先求参数的可能值，再排除不符合条件的解即可。
【难度系数】
0.8
要解决这类一元二次方程的参数求解问题，首先要明确一元二次方程的两个核心判定条件：一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不为0。
对于原题，只需找到二次项系数，令其不等于0即可得到a的取值范围；对于变式题，需要先根据“未知数最高次数为2”列方程求出m的可能值，再根据“二次项系数不为0”的要求排除不符合条件的解，就能得到最终结果。
【解析】
原题解答
根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，本题中二次项系数为$a-1$，因此：
$a-1≠0$
解得：$a≠1$
变式解答
方程是一元二次方程，需同时满足两个条件：
1. 未知数最高次数为2：$\vert m-1\vert=2$
解绝对值方程可得：$m-1=2$或$m-1=-2$，即$m=3$或$m=-1$
2. 二次项系数不为0：$m+1≠0$，即$m≠-1$
综合两个条件，舍去$m=-1$，得$m=3$
【答案】
$a≠1$；$3$
【知识点】
一元二次方程的定义；绝对值方程求解；分类讨论思想
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础应用题，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，解题时要牢记一元二次方程定义的两个核心要求，先求参数的可能值，再排除不符合条件的解即可。
【难度系数】
0.8
知识点2 一元二次方程的一般形式
3.填表：
| 方程 | 一般形式 | 二次项系数 | 一次项系数 | 常数项 |
|--------------------|----------|------------|------------|--------|
| $3y^2 - 4y = 3$ | 图1 | | | |
| $2x^2 = 8x$ | | | | |
| $x(7x - 1) = 4 - x$| | | | |
3.填表：
| 方程 | 一般形式 | 二次项系数 | 一次项系数 | 常数项 |
|--------------------|----------|------------|------------|--------|
| $3y^2 - 4y = 3$ | 图1 | | | |
| $2x^2 = 8x$ | | | | |
| $x(7x - 1) = 4 - x$| | | | |
答案
解：
方程$3y^2 - 4y = 3$：
一般形式：$3y^2 - 4y - 3 = 0$
二次项系数：$3$
一次项系数：$-4$
常数项：$-3$
方程$2x^2 = 8x$：
一般形式：$2x^2 - 8x = 0$
二次项系数：$2$
一次项系数：$-8$
常数项：$0$
方程$x(7x - 1) = 4 - x$：
展开并整理得一般形式：$7x^2 - 4 = 0$
二次项系数：$7$
一次项系数：$0$
常数项：$-4$
方程$3y^2 - 4y = 3$：
一般形式：$3y^2 - 4y - 3 = 0$
二次项系数：$3$
一次项系数：$-4$
常数项：$-3$
方程$2x^2 = 8x$：
一般形式：$2x^2 - 8x = 0$
二次项系数：$2$
一次项系数：$-8$
常数项：$0$
方程$x(7x - 1) = 4 - x$：
展开并整理得一般形式：$7x^2 - 4 = 0$
二次项系数：$7$
一次项系数：$0$
常数项：$-4$
解析
【分析】
解题首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数、$b$是一次项系数、$c$是常数项。解题思路如下：第一步，对每个方程通过去括号、移项（将所有项移到等号左侧，右侧化为0）、合并同类项，整理为一般形式；第二步，根据整理后的一般形式对应提取各项系数，注意系数要包含项前面的符号，若缺少某一项，则该项的系数为0。
【解析】
1. 方程$3y^2 - 4y = 3$：
移项将右侧的3移到左侧变号，整理得一般形式：$3y^2 - 4y - 3 = 0$
二次项为$3y^2$，系数为3；一次项为$-4y$，系数为-4；常数项为-3。
2. 方程$2x^2 = 8x$：
移项将右侧的8x移到左侧变号，整理得一般形式：$2x^2 - 8x = 0$
二次项为$2x^2$，系数为2；一次项为$-8x$，系数为-8；无常数项，故常数项为0。
3. 方程$x(7x - 1) = 4 - x$：
先去括号得$7x^2 - x = 4 - x$，再移项合并同类项，一次项$-x$和$+x$抵消，整理得一般形式：$7x^2 - 4 = 0$
二次项为$7x^2$，系数为7；无一次项，故一次项系数为0；常数项为-4。
【答案】
| 方程 | 一般形式 | 二次项系数 | 一次项系数 | 常数项 |
|--------------------|-------------------|------------|------------|--------|
| $3y^2 - 4y = 3$ | $3y^2 - 4y - 3=0$ | 3 | -4 | -3 |
| $2x^2 = 8x$ | $2x^2 - 8x = 0$ | 2 | -8 | 0 |
| $x(7x - 1) = 4 - x$| $7x^2 - 4 = 0$ | 7 | 0 | -4 |
【知识点】
一元二次方程一般形式、整式化简、方程系数识别
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对一元二次方程一般形式的掌握，解题时要注意移项需变号，确定系数时要保留项前的符号，缺项对应的系数为0，避免出现符号错误或漏写0的情况。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数、$b$是一次项系数、$c$是常数项。解题思路如下：第一步，对每个方程通过去括号、移项（将所有项移到等号左侧，右侧化为0）、合并同类项，整理为一般形式；第二步，根据整理后的一般形式对应提取各项系数，注意系数要包含项前面的符号，若缺少某一项，则该项的系数为0。
【解析】
1. 方程$3y^2 - 4y = 3$：
移项将右侧的3移到左侧变号，整理得一般形式：$3y^2 - 4y - 3 = 0$
二次项为$3y^2$，系数为3；一次项为$-4y$，系数为-4；常数项为-3。
2. 方程$2x^2 = 8x$：
移项将右侧的8x移到左侧变号，整理得一般形式：$2x^2 - 8x = 0$
二次项为$2x^2$，系数为2；一次项为$-8x$，系数为-8；无常数项，故常数项为0。
3. 方程$x(7x - 1) = 4 - x$：
先去括号得$7x^2 - x = 4 - x$，再移项合并同类项，一次项$-x$和$+x$抵消，整理得一般形式：$7x^2 - 4 = 0$
二次项为$7x^2$，系数为7；无一次项，故一次项系数为0；常数项为-4。
【答案】
| 方程 | 一般形式 | 二次项系数 | 一次项系数 | 常数项 |
|--------------------|-------------------|------------|------------|--------|
| $3y^2 - 4y = 3$ | $3y^2 - 4y - 3=0$ | 3 | -4 | -3 |
| $2x^2 = 8x$ | $2x^2 - 8x = 0$ | 2 | -8 | 0 |
| $x(7x - 1) = 4 - x$| $7x^2 - 4 = 0$ | 7 | 0 | -4 |
【知识点】
一元二次方程一般形式、整式化简、方程系数识别
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对一元二次方程一般形式的掌握，解题时要注意移项需变号，确定系数时要保留项前的符号，缺项对应的系数为0，避免出现符号错误或漏写0的情况。
【难度系数】
0.8
4. [2026杭州模拟]已知一元二次方程$x^2 + 2mx +1=0$的一个根为1，则$m=$
-1
.答案
4.-1
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先回忆一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根；其次将已知的根x=1代入原方程，即可得到只含有未知数m的一元一次方程；最后解这个一元一次方程就能求出m的值。
【解析】
∵x=1是一元二次方程$x^2 + 2mx +1=0$的根，
根据方程根的定义，将x=1代入方程得：
$1^2 + 2m×1 + 1 = 0$
整理得：$2 + 2m = 0$
移项得：$2m = -2$
系数化为1得：$m = -1$
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考查对根的定义的理解与应用，只要掌握“方程的根代入原方程等式成立”这一规律，即可快速求解，是该章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.9
解题思路可分为三步：首先回忆一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根；其次将已知的根x=1代入原方程，即可得到只含有未知数m的一元一次方程；最后解这个一元一次方程就能求出m的值。
【解析】
∵x=1是一元二次方程$x^2 + 2mx +1=0$的根，
根据方程根的定义，将x=1代入方程得：
$1^2 + 2m×1 + 1 = 0$
整理得：$2 + 2m = 0$
移项得：$2m = -2$
系数化为1得：$m = -1$
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考查对根的定义的理解与应用，只要掌握“方程的根代入原方程等式成立”这一规律，即可快速求解，是该章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.9
5.有下列各数：-2，0，1，2，3，其中是一元二次方程$x^2 -4x +3=0$的根的是
1和3
。答案
5.1 和 3
解析
【分析】要判断给定的数是不是一元二次方程的根，有两种常用思路：一是根据一元二次方程根的定义，将每个数代入方程，若左右两边相等，则这个数是方程的根；二是先直接求解一元二次方程得到根，再对照给出的数筛选匹配的结果即可，两种方法难度都较低。
【解析】方法一：解方程法
对一元二次方程$x^2 -4x +3=0$因式分解，可得：
$(x-1)(x-3)=0$
令每个因式为0，得：
$x-1=0$ 或 $x-3=0$
解得$x_1=1$，$x_2=3$
对照给出的数-2、0、1、2、3，可知方程的根是1和3。
方法二：代入验证法
将各数分别代入方程左边$x^2-4x+3$计算：
①x=-2时，左边$=(-2)^2-4×(-2)+3=15≠0$，不是根；
②x=0时，左边$=0^2-4×0+3=3≠0$，不是根；
③x=1时，左边$=1^2-4×1+3=0=$右边，是根；
④x=2时，左边$=2^2-4×2+3=-1≠0$，不是根；
⑤x=3时，左边$=3^2-4×3+3=0=$右边，是根。
综上，方程的根是1和3。
【答案】1和3
【知识点】一元二次方程根的定义；因式分解法解方程
【点评】本题是一元二次方程的基础题，主要考察对根的概念的理解和基础解方程能力，两种解题方法都属于必须掌握的基础技能，解题时注意计算不要出错即可。
【难度系数】0.9
【解析】方法一：解方程法
对一元二次方程$x^2 -4x +3=0$因式分解，可得：
$(x-1)(x-3)=0$
令每个因式为0，得：
$x-1=0$ 或 $x-3=0$
解得$x_1=1$，$x_2=3$
对照给出的数-2、0、1、2、3，可知方程的根是1和3。
方法二：代入验证法
将各数分别代入方程左边$x^2-4x+3$计算：
①x=-2时，左边$=(-2)^2-4×(-2)+3=15≠0$，不是根；
②x=0时，左边$=0^2-4×0+3=3≠0$，不是根；
③x=1时，左边$=1^2-4×1+3=0=$右边，是根；
④x=2时，左边$=2^2-4×2+3=-1≠0$，不是根；
⑤x=3时，左边$=3^2-4×3+3=0=$右边，是根。
综上，方程的根是1和3。
【答案】1和3
【知识点】一元二次方程根的定义；因式分解法解方程
【点评】本题是一元二次方程的基础题，主要考察对根的概念的理解和基础解方程能力，两种解题方法都属于必须掌握的基础技能，解题时注意计算不要出错即可。
【难度系数】0.9
6. [2026 滁州期中]已知 m 是一元二次方程$x^2 + x - 2026 = 0$的一个根,则代数式$m^2 + m$的值为
2026
.答案
6.2026
解析
【分析】
解题思路：首先回忆一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的根。已知m是方程的根，因此将x=m代入原方程，等式成立，再通过移项即可直接求出代数式$m^2+m$的值，无需单独求解m的具体数值，采用整体代入的思路更简便。
【解析】
解：
∵m是一元二次方程$x^2 + x - 2026 = 0$的一个根，
根据一元二次方程根的定义，将x=m代入方程得：
$m^2 + m - 2026 = 0$，
移项可得：$m^2 + m = 2026$。
【答案】
2026
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 整体代入求值
【点评】
本题是基础常考题，核心考查对一元二次方程根的定义的应用，解题时运用整体思想不需要求出参数m的具体值，即可快速得到所求代数式的结果，要注意灵活运用整体代入的方法简化计算。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先回忆一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的根。已知m是方程的根，因此将x=m代入原方程，等式成立，再通过移项即可直接求出代数式$m^2+m$的值，无需单独求解m的具体数值，采用整体代入的思路更简便。
【解析】
解：
∵m是一元二次方程$x^2 + x - 2026 = 0$的一个根，
根据一元二次方程根的定义，将x=m代入方程得：
$m^2 + m - 2026 = 0$，
移项可得：$m^2 + m = 2026$。
【答案】
2026
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 整体代入求值
【点评】
本题是基础常考题，核心考查对一元二次方程根的定义的应用，解题时运用整体思想不需要求出参数m的具体值，即可快速得到所求代数式的结果，要注意灵活运用整体代入的方法简化计算。
【难度系数】
0.9
7. [2026 滁州期末] 两个连续偶数的积为120，设其中较小的偶数为x，则可列方程为
$x(x+2)=120$
。答案
7.$x(x+2)=120$
解析
【分析】
解题时首先明确题干给出的未知数：较小的偶数为x，接下来结合连续偶数的特征，相邻两个偶数的差为2，可表示出较大的连续偶数为x+2；再提取题干的等量关系“两个连续偶数的积为120”，将两个偶数的代数式相乘等于120，即可列出对应的方程。
【解析】
解：已知较小的偶数为x，
∵ 连续两个偶数相差2，
∴ 较大的连续偶数为$ x+2 $，
又
∵ 两个连续偶数的积为120，
∴ 可列方程为：$ x(x+2)=120 $。
【答案】
$ x(x+2)=120 $
【知识点】
1. 连续偶数表示
2. 列一元二次方程
3. 等量关系分析
【点评】
本题属于基础题，主要考查根据实际条件列方程的能力，解题的关键是掌握连续偶数差为2的特征，准确对应题干中的乘积等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题干给出的未知数：较小的偶数为x，接下来结合连续偶数的特征，相邻两个偶数的差为2，可表示出较大的连续偶数为x+2；再提取题干的等量关系“两个连续偶数的积为120”，将两个偶数的代数式相乘等于120，即可列出对应的方程。
【解析】
解：已知较小的偶数为x，
∵ 连续两个偶数相差2，
∴ 较大的连续偶数为$ x+2 $，
又
∵ 两个连续偶数的积为120，
∴ 可列方程为：$ x(x+2)=120 $。
【答案】
$ x(x+2)=120 $
【知识点】
1. 连续偶数表示
2. 列一元二次方程
3. 等量关系分析
【点评】
本题属于基础题，主要考查根据实际条件列方程的能力，解题的关键是掌握连续偶数差为2的特征，准确对应题干中的乘积等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9
8. [2025福建中考改编]为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5 m的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6 m²的长方形菜地作为实践基地，如图所示.设长方形的一边长为x m，根据题意可列方程为（
A.$5x^2=6$
B.$5(1+x^2)=6$
C.$x(5-x)=6$
D.$5(1+x)^2=6$
C
）A.$5x^2=6$
B.$5(1+x^2)=6$
C.$x(5-x)=6$
D.$5(1+x)^2=6$
答案
8.C
解析
【分析】
首先理解题意：直角围墙的两个边可以作为长方形菜地的两条邻边，因此总长5m的篱笆只需要围剩下的两条邻边。已知其中一条边长为x m，那么另一条邻边的长度就是篱笆总长减去x，即$(5 - x)$m。接下来回忆长方形的面积公式：面积=长×宽，已知面积为$6\ \mathrm{m}^2$，将两条邻边的长度代入公式，即可列出对应的方程，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：
∵菜地依靠直角围墙搭建，因此篱笆仅需围长方形的两条相邻边，篱笆总长为5 m。
设其中一条边长为x m，则另一条相邻边长为$(5 - x)$ m。
根据长方形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长} × \mathrm{宽}$，已知菜地面积为$6\ \mathrm{m}^2$，代入得：
$x(5 - x) = 6$
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
列一元二次方程；长方形面积计算
【点评】
这是一道结合生活实际的方程应用题，解题的核心是正确判断篱笆所围的边数，准确表示出长方形两条邻边的长度，再结合面积公式列方程，注意不要误将篱笆当做围三条或四条边来计算。
【难度系数】
0.85
首先理解题意：直角围墙的两个边可以作为长方形菜地的两条邻边，因此总长5m的篱笆只需要围剩下的两条邻边。已知其中一条边长为x m，那么另一条邻边的长度就是篱笆总长减去x，即$(5 - x)$m。接下来回忆长方形的面积公式：面积=长×宽，已知面积为$6\ \mathrm{m}^2$，将两条邻边的长度代入公式，即可列出对应的方程，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：
∵菜地依靠直角围墙搭建，因此篱笆仅需围长方形的两条相邻边，篱笆总长为5 m。
设其中一条边长为x m，则另一条相邻边长为$(5 - x)$ m。
根据长方形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长} × \mathrm{宽}$，已知菜地面积为$6\ \mathrm{m}^2$，代入得：
$x(5 - x) = 6$
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
列一元二次方程；长方形面积计算
【点评】
这是一道结合生活实际的方程应用题，解题的核心是正确判断篱笆所围的边数，准确表示出长方形两条邻边的长度，再结合面积公式列方程，注意不要误将篱笆当做围三条或四条边来计算。
【难度系数】
0.85
9.根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式.
(1)用一根长 30 cm 的铁丝折成一个斜边长为13 cm 的直角三角形，求这个直角三角形的直角边长(设这个直角三角形其中一条直角边长为x cm)；
(2)元旦前夕，某班数学小组的同学互相赠送卡片，每两名同学之间互相赠送一张，这样一共赠送了 90 张卡片，求这个数学小组有多少名同学(设数学小组有 y 名同学).
(1)用一根长 30 cm 的铁丝折成一个斜边长为13 cm 的直角三角形，求这个直角三角形的直角边长(设这个直角三角形其中一条直角边长为x cm)；
(2)元旦前夕，某班数学小组的同学互相赠送卡片，每两名同学之间互相赠送一张，这样一共赠送了 90 张卡片，求这个数学小组有多少名同学(设数学小组有 y 名同学).
答案
9.解：(1)$x^2 +(30-13-x)^2=13^2$,化成一般形式为$x^2 -17x +60=0$.(2)$y(y-1)=90$,化成一般形式为$y^2 -y -90=0$.
解析
【分析】
(1) 首先明确铁丝总长为直角三角形的周长，已知斜边长13cm，设一条直角边长为x cm，可推出另一条直角边长为(30-13-x)即(17-x)cm；直角三角形满足勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，据此等量关系列方程，再通过去括号、移项、合并同类项化为一元二次方程的一般形式即可。
(2) 设数学小组有y名同学，每两名同学互相赠送1张卡片，即每名同学需要向其余(y-1)名同学各赠送1张卡片，总赠送卡片数=人数×每人赠送的卡片数，结合总赠送90张的条件列方程，再整理为一元二次方程的一般形式即可。
【解析】
(1) 设其中一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为$30-13-x=17-x$ cm，根据勾股定理列方程：
$x^2 +(17-x)^2=13^2$
展开得：$x^2 + 289 - 34x + x^2 = 169$
移项、合并同类项得：$2x^2 - 34x + 120 = 0$
两边同时除以2，化为一般形式：$x^2 -17x +60=0$
(2) 设数学小组有y名同学，每人需赠送$(y-1)$张卡片，根据总赠送90张列方程：
$y(y-1)=90$
展开、移项化为一般形式：$y^2 - y -90=0$
【答案】
(1)所列方程为$x^2 +(30-13-x)^2=13^2$，一般形式为$x^2 -17x +60=0$；
(2)所列方程为$y(y-1)=90$，一般形式为$y^2 -y -90=0$。
【知识点】
1. 勾股定理
2. 一元二次方程的一般形式
3. 实际问题列方程
【点评】
本题考查结合实际情境列一元二次方程并化为一般形式，解题的核心是准确提取题目中的等量关系，注意互赠卡片问题中双方各送1张，无需除以2，避免和握手类问题混淆。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确铁丝总长为直角三角形的周长，已知斜边长13cm，设一条直角边长为x cm，可推出另一条直角边长为(30-13-x)即(17-x)cm；直角三角形满足勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，据此等量关系列方程，再通过去括号、移项、合并同类项化为一元二次方程的一般形式即可。
(2) 设数学小组有y名同学，每两名同学互相赠送1张卡片，即每名同学需要向其余(y-1)名同学各赠送1张卡片，总赠送卡片数=人数×每人赠送的卡片数，结合总赠送90张的条件列方程，再整理为一元二次方程的一般形式即可。
【解析】
(1) 设其中一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为$30-13-x=17-x$ cm，根据勾股定理列方程：
$x^2 +(17-x)^2=13^2$
展开得：$x^2 + 289 - 34x + x^2 = 169$
移项、合并同类项得：$2x^2 - 34x + 120 = 0$
两边同时除以2，化为一般形式：$x^2 -17x +60=0$
(2) 设数学小组有y名同学，每人需赠送$(y-1)$张卡片，根据总赠送90张列方程：
$y(y-1)=90$
展开、移项化为一般形式：$y^2 - y -90=0$
【答案】
(1)所列方程为$x^2 +(30-13-x)^2=13^2$，一般形式为$x^2 -17x +60=0$；
(2)所列方程为$y(y-1)=90$，一般形式为$y^2 -y -90=0$。
【知识点】
1. 勾股定理
2. 一元二次方程的一般形式
3. 实际问题列方程
【点评】
本题考查结合实际情境列一元二次方程并化为一般形式，解题的核心是准确提取题目中的等量关系，注意互赠卡片问题中双方各送1张，无需除以2，避免和握手类问题混淆。
【难度系数】
0.7
