三、解答题
7. 如图，在四边形ABCD中，AB // CD，点E在BD上，连接CE.若∠1=∠2，AB=ED.
求证：DB=CD.

7. 提示：证明$△ABD≌△EDC$

【分析】
要证明DB=CD，可通过证明两条边所在的三角形全等来推导。首先根据AB//CD的条件，利用平行线的性质得到一组内错角相等，再结合题目已知的∠1=∠2、AB=ED，凑齐三角形全等的判定条件，证明△ABD和△EDC全等，最后根据全等三角形对应边相等的性质即可得出结论。
【解析】
证明：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ ABD=∠ EDC$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ ABD$和$△ EDC$中：
$\begin{cases}∠ ABD=∠ EDC \\∠1=∠2 \\AB=ED\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ EDC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore DB=CD$（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
$DB=CD$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是结合已知条件找到三角形全等的对应判定条件，需要熟练掌握平行线性质和全等三角形的判定、性质，是几何证明模块的常见基础题型。
【难度系数】
0.8

8. 如图,在$△ ABC$和$△ DBE$中,$∠ ABC=∠ DBE=90°$,$DB=BE$,$AB=BC$,连接$AD$,$CE$.
(1) 求证: $AD=CE$, $AD ⊥ CE$;
(2) 若$△ DBE$绕点$B$旋转到$△ ABC$的外部,其他条件不变,则(1)中结论是否仍成立?请证明.

(1) 提示：证明$△ABD ≌ △CBE$
(2) 成立.证法略

【分析】
要证明两条线段相等且垂直，可先证明线段所在的三角形全等。首先观察已知条件：AB=BC、DB=BE，已有两组对应边相等，只需推导两边的夹角相等即可。利用两个90°角减去公共角∠CBD，可得到∠ABD=∠CBE，用SAS即可证明△ABD≌△CBE，从而得到AD=CE；再利用全等三角形对应角相等，结合对顶角相等和三角形内角和，可证AD与CE的夹角为90°，即垂直。第二问旋转到外部时，两个90°角加上公共角∠CBD仍可得到∠ABD=∠CBE，同理可证全等和垂直，结论保持不变。
【解析】
(1) 证明：
∵ $∠ ABC=∠ DBE=90°$，
∴ $∠ ABC - ∠ CBD = ∠ DBE - ∠ CBD$，即$∠ ABD=∠ CBE$。
在$△ ABD$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}AB=BC(\mathrm{已知})\\∠ ABD=∠ CBE(\mathrm{已证})\\BD=BE(\mathrm{已知})\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ CBE(\mathrm{SAS})$。
∴ $AD=CE$（全等三角形对应边相等），$∠ BAD=∠ BCE$（全等三角形对应角相等）。
设AD交BC于点F，交CE于点G，
∵ 在$Rt△ ABF$中，$∠ BAD + ∠ AFB = 90°$，且$∠ AFB=∠ CFG$（对顶角相等），
∴ $∠ BCE + ∠ CFG = 90°$，
∴ $∠ CGF=180° - (∠ BCE + ∠ CFG)=90°$，即$AD ⊥ CE$。
(2) (1)中结论仍成立，证明如下：
∵ $∠ ABC=∠ DBE=90°$，
∴ $∠ ABC + ∠ CBD = ∠ DBE + ∠ CBD$，即$∠ ABD=∠ CBE$。
在$△ ABD$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}AB=BC(\mathrm{已知})\\∠ ABD=∠ CBE(\mathrm{已证})\\BD=BE(\mathrm{已知})\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ CBE(\mathrm{SAS})$。
∴ $AD=CE$，$∠ BAD=∠ BCE$。
设AD交BC于点F，交CE于点G，
∵ 在$Rt△ ABF$中，$∠ BAD + ∠ AFB = 90°$，且$∠ AFB=∠ CFG$（对顶角相等），
∴ $∠ BCE + ∠ CFG = 90°$，
∴ $∠ CGF=90°$，即$AD ⊥ CE$。
【答案】
(1) $AD=CE$且$AD ⊥ CE$，证明成立；
(2) (1)中结论仍成立。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，垂直的判定，旋转的性质
【点评】
本题是全等三角形的典型综合题，解题核心是利用角的和差得到相等的夹角，通过SAS判定三角形全等，再结合全等的性质推导边和角的关系，要注意动态旋转问题中不变的边角关系。
【难度系数】
0.7

9. 如图，在$8×8$的正方形网格中，$△ ABC$的顶点和线段$EF$的端点都在边长为1的小正方形的顶点上.
（1）$∠ ABC$的度数为________；
（2）请你在图中找出一点$D$，再连接$DE$，$DF$，使$△ DEF$与$△ ABC$全等，这样的点$D$共有几个？请把它们找出来.

9. (1) $135°$
(2) 点D的位置有4处，分别是图中的点$D_1$，$D_2$，$D_3$，$D_4$

【分析】
（1）求∠ABC的度数时，先观察网格特征：AB为水平线段，长度为2；BC是边长为1的小正方形的对角线，因此BC与水平向右方向的夹角为45°，结合平角的性质即可求出∠ABC的度数。
（2）找使△DEF≌△ABC的点D时，先计算△ABC的三边长：AB=2，BC=√2，AC=2√5，已知EF=AB=2，根据全等三角形的判定定理，分两种对应情况分析：一是EF对应AB，∠DEF对应∠ABC=135°且DE=BC；二是EF对应AB，∠DFE对应∠ABC=135°且DF=BC，每种情况在EF的上下方各有1个符合条件的点，合计4个点。
【解析】
（1）设每个小正方形的边长为1，由网格可得AB的长度为2，BC是边长为1的小正方形的对角线，因此BC与水平向右的夹角为45°，而AB沿水平向左方向，因此∠ABC = 180° - 45° = 135°。
（2）首先计算△ABC的三边长：AB=2，$BC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。已知EF=AB=2，根据全等三角形的SSS或SAS判定规则：
① 当EF对应AB，∠DEF=135°、DE=√2时，可找到2个符合条件的点$D_2$、$D_3$；
② 当EF对应AB，∠DFE=135°、DF=√2时，可找到2个符合条件的点$D_1$、$D_4$。
经验证这4个点构成的△DEF三边长均与△ABC三边长对应相等，满足全等条件，因此符合要求的点D共有4个。
【答案】
(1) $135°$
(2) 这样的点D共有4个，分别是图中的点$D_1$，$D_2$，$D_3$，$D_4$
【知识点】
三角形全等的判定，勾股定理的应用，网格角度计算
【点评】
本题结合网格考查全等三角形的判定和几何量计算，解题时需要注意全等三角形的对应关系存在多种情况，要逐一分析避免漏解，同时要熟练掌握网格中边长和特殊角度的求解方法。
【难度系数】
0.65